Soluzione degli esercizi dello scritto di Meccanica del 04/02/2019

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1 Soluzione degli esercizi dello scritto di eccanica del 04/02/209 Esercizio Un supporto orizzontale fisso e privo di attrito è costituito da due parti separate da un gradino (vedi figura). Una lastra di assa = 2. g, alta quanto il gradino, è inizialente appoggiata al gradino e può scivolare senza attrito sul supporto orizzontale. Dalla parte sinistra del supporto arriva un corpo di assa = 900 g e velocità v 0 = 2.9 /s û, che all istante t 0 inizia a scorrere in presenza di attrito sulla lastra. Siano µ s = 0.4 e µ d = 0.3 i coefficienti attrito, rispettivaente, statico e dinaico tra e. All istante t il corpo si fera rispetto alla lastra ed i due corpi proseguono in odo solidale il loro oto verso destra. Calcolare: a) l intervallo di tepo t t 0 durante il quale è in oto rispetto a ; b) il lavoro W copiuto dalla forza di attrito dinaico sul corpo di assa. Ad un certo istante la lastra incontra una olla di costante elastica = 73 / e la coprie di un tratto = 0 c fino a ferarsi. c) Quanto vale, in questa condizione, la forza di attrito statico F as tra e? Verificare che il corpo sia effettivaente fero rispetto alla lastra. v 0 scabro ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ liscio y y F ad g F ad F as Fas O O a g F el Figura : Diagrai delle forze agenti sui corpi di assa e. A sinistra, durante il oto relativo di rispetto a. A destra, quando l unico corpo forato da e coprie la olla di un tratto. a) Consideriao i diagrai delle forze che agiscono sui corpi di assa e (riquadro a sinistra di Fig. ) e scriviao la seconda legge della dinaica per entrabi i corpi, che ricordiao essere valida solo nel sistea di riferiento inerziale Oy: {û : F ad = a û y : g = 0, () (2)

2 {û : F ad = a û y : g = 0. (3) (4) Dato che i corpi sono a contatto, ricordiao che per il terzo principio della dinaica, la forza di attrito F ad e la reazione vincolare, agiscono su entrabi i corpi, con stessi odulo, direzione e retta d azione, a verso opposto (vettori rossi in figura). Dal sistea si ottiene l espressione esplicita del odulo della forza di attrito dinaico F ad = µ d = µ d g. Il corpo si fera rispetto al corpo quando entrabi hanno la stessa velocità v. Dal sistea ricaviao le espressioni per le due accelerazioni: a = µ d g a = µ d g. (5) (6) Dato che risultano costanti, ipostiao la legge della velocità per un oto rettilineo uniforeente accelerato per entrabi i corpi e iponiao che abbiano la stessa velocità al tepo t, ovvero v (t ) = v (t ) v: { v = v0 + a t v = a t, da cui, utilizzando le accelerazioni ricavate precedenteente e ipostando t 0 = 0, otteniao l intervallo di tepo t t 0 = t in cui il corpo si fera rispetto a a) t = v 0 = 0.69 s. (9) µ d g( + ) ota: Si ottiene lo stesso risultato considerando il corpo nel sistea O y in oto solidale al corpo. Il sistea obile accelera con accelerazione a, pertanto la relazione tra le accelerazioni di viste dai due sistei di riferiento è a = a + a. Ipostando che la velocità di nel sistea non inerziale in oto passa da v 0 a 0 attraverso la relazione v (t ) = 0 = v 0 + a t, si ottiene il risultato (9). (7) (8) b) Il lavoro della forza di attrito dinaico agente su si calcola dal teorea dell energia cinetica W = E = 2 (v2 v0 2 ). Avendo già ricavato il tepo t nel punto precedente, la velocità finale di si ottiene dal sistea (7)-(8), da cui otteniao il lavoro della forza di attrito dinaico: b) W = ( + 2) 2 ( + ) 2 v0 2 = 3.44 J. (0) c) Consideriao i diagrai delle forze che agiscono sui corpi di assa e (riquadro a destra di Fig. ) e scriviao la seconda legge della dinaica per entrabi i corpi. Dato che si richiede che il corpo sia fero rispetto a, ipostiao che entrabi i corpi abbiano la stessa accelerazione a = aû : {û : F as = a û y : g = 0, () (2) 2

3 {û : F el + F as = a û y : g = 0. (3) (4) Ricavando a = F as / dalla () e sapendo che il odulo della forza elastica è F el =, dalla (3) si ottiene c) F as = + = 2.9. (5) Il valore assio che la forza di attrito statico può assuere è F as,a = µ s = µ s g = 3.53 e si verifica che il corpo sia effettivaente fero rispetto a dalla condizione F as < F as,a. ERRATA CORRIGE: nel testo è presente un dato ridondante di cui non ci siao acccorti. La costante elastica della olla e la copressione della olla sono legati, infatti, dalla conservazione dell energia: 2 ( + )v2 = 2 2. er antenere il risultato c) e al contepo soddisfare la conservazione dell energia, occorre odificare e in odo che ( ) resti invariato. I nuovi valori sono = / e = 3. c. Usando questi nuovi valori, F as e la condizione di attrito statico F as < F as,a non cabiano. In definitiva, con questi nuovi dati nuerici per cui la conservazione dell energia è soddisfatta, non è cabiata né la risoluzione dell esercizio né il concetto di fondo, a soltanto la correttezza dei dati nuerici. ella valutazione dell esercizio, abbiao tenuto per valide sia le soluzioni illustrate sopra, sia eventualente quelle che si basino sulla conservazione dell energia. 3

4 Esercizio 2 Due aste sottili, entrabe di lunghezza L =.4 e assa =.2 g, perpendicolari e unite tra loro nel punto O, forano un corpo rigido unico che si trova fero in un piano verticale. Tale corpo rigido può ruotare senza attrito attorno ad un asse perpendicolare al piano delle aste, passante per O. a) Calcolare il oento di inerzia I O del corpo rigido rispetto all asse passante per O. Un proiettile di assa p = 6, di diensioni trascurabili, arriva con velocità v p in direzione û e si conficca nell estreo dell asta verticale. Sapendo che, dopo tale urto, il odulo della velocità angolare dell intero sistea è ω = 4.3 rad/s, calcolare b) la variazione di quantità di oto totale del sistea tot tra pria e dopo l urto; c) l angolo assio di rotazione θ a del corpo rigido in seguito all urto. L O O L g y θ a g p v p p ω a) Il corpo rigido considerato è coposto da due aste sottili di uguale lunghezza L e aventi stessa assa. Il oento di inerzia l asta posta in orizzontale rispetto a O, che coincide con il suo centro di assa, è pari a I (O) = 2 L2. Il oento di inerzia dell asta posta in verticale rispetto a O si calcola con il teorea di Huygens-Steiner I (O) 2 = 2 L2 + ( L 2 )2 = 3 L2. Il oento di inerzia totale del corpo rigido rispetto a O è dato, quindi, dalla soa dei singoli oenti di inerzia delle due aste I (O) = I (O) + I (O) 2, ovvero: a) I (O) = 5 2 L2 = 0.98 g 2. (6) b) La quantità di oto iniziale p 0 è data unicaente dal proiettile (unico corpo in oto), e varrà quindi p 0 = p v p. L urto è copletaente anelastico, si conserva quindi solo il oento angolare L rispetto al polo O. Considerando l asse z uscente dal foglio: L 0 = p v p Lẑ = L = I tot ω v p = I totω 6 L = 6(I O + p L2 )ω L = 6( 5 2 L2 + 6 L2 )ω L = 7 2 L ω. Subito dopo l urto il corpo rigido forato dalle due aste e dal proiettile inizia a ruotare, e bisogna quindi considerare la quantità di oto del suo centro di assa. Il centro di assa di tutti i corpi che copongono il sistea si trova lungo l asse parallelo all asse y passante per O quindi possiao calcolare la posizione unicaente della coordinata y del centro di assa globale. Scegliendo l origine in O si otterrà: y C = y p p + y C + y C2 p + + = L p 2 L p + + = 2 3 L tot = 4 3 L. 4

5 Il valore assoluto di questa quantità r C = y C è il raggio su cui ruota il centro di assa, che quindi avrà una quantità di oto, subito dopo l urto p = tot ωr C ˆ = 2 3Lωˆ da cui: b) tot = p p 0 = ( 2 3 Lω ) 6 v p ˆ = 2 Lωˆ = 0.6 g ˆ. (7) s c) Dopo l urto, non agiscono forze non conservative quindi si può conservare l energia totale. L energia eccanica del sistea subito dopo l urto è E (i) = 2 I totω 2, prendendo coe zero dell energia potenziale la quota del centro di assa y C. Il sistea ruota attorno all asse passante per O e si fera, per poi invertire il suo oto, quando il centro di assa arriva a quota h. L energia eccanica in questo istante di tepo vale E (f) = tot gh. Dalla conservazione dell energia eccanica E (i) = E (f), si ottiene 2 I totω 2 = tot gh 7 24 L2 ω 2 = 3 6 gh, dove h = r C [ cos(θ a )] = 4 3 L [ cos(θ a)]. ossiao quindi ottenere c) 2 3 gl [ cos(θ a)] = 7 24 L2 ω 2 cos(θ a ) = 7 Lω 2 6 g θ a 99. (8) 5

6 Esercizio 3 Un cilindro, pieno e oogeneo, di assa = 800 g e raggio r = 20 c rotola senza strisciare su di una guida scabra, coposta da un tratto curvilineo generico (tra A e B in figura) e un arco di circonferenza di raggio R = 0.8 sotteso da un angolo θ = 50 (tra B e C in figura). Sapendo che, all istante iniziale t 0 = 0 s, il cilindro parte da fero in A e che arriva in C con velocità angolare ω = 5.4 rad/s, si calcoli: a) l altezza h a cui si trova il suo centro di assa all istante iniziale; b) la reazione vincolare che agisce sul cilindro nel punto C della guida circolare. Una volta raggiunta la posizione C, il cilindro si stacca dalla guida e si uove sotto l azione della sola accelerazione di gravità g. Calcolare: c) la velocità v del punto del cilindro (in coordinate cartesiane) subito pria di toccare il suolo. OTA: il disegno non è in scala. y A r h R θ ω B C R θ F as u$ n u$ t g a) Dal diagraa delle forze in figura, si ha che l unica forza agente sul cilindro che copie un lavoro non nullo è la forza peso, che è conservativa. Consideriao il oto del cilindro da A a C e utilizziao la conservazione dell energia eccanica E (A,C) = 0. Scegliao un asse verticale y e coe zero dell energia potenziale il suolo. Sapendo che il cilindro parte da fero, E (A), e che in C esso ha un energia cinetica interaente rotazionale rispetto all asse passante per il punto di contatto E (C) = 2 I Cω 2, dove I C = 3 2 r2, abbiao che: E (A) + E (A) p = E (C) + E (C) p gh = 3 4 r2 ω 2 + g[r (R r) cos θ] 6

7 da cui otteniao l altezza del centro di assa in A a) h = 3 (rω) 2 + R (R r) cos θ =.4 (9) 4 g b) Dal diagraa delle forze in figura, scoponiao la seconda legge della dinaica, applicata al centro di assa del cilindro, lungo il sistea di assi ortogonali û n e û t, rispettivaente, norale e tangente alla traiettora circolare. Lungo la direzione norale si ha û n : g cos θ = (ωr)2 R r, dove la coponente centripeta dell accelerazione tiene conto che il centro di assa ruota su una circonferenza di raggio R r con velocità v C = ωr, data dalla condizione di puro rotolaento. Allora la reazione vincolare in C sarà data dall espressione: ( b) ω 2 r 2 ) = R r + g cos θ û n = 7.69 û n. (20) c) Dopo il distacco dalla guida, il cilindro si uove di oto roto-traslatorio: continua a ruotare di velocità angolare ω attorno ad un asse passante per il centro di assa (conservazione del oento angolare) e il suo centro di assa si uove di oto parabolico. ertanto la velocità v del punto del cilindro appena pria che tocchi il suolo, sarà data dalla soa vettoriale della sua velocità dovuta alla rotazione v (rot) e della velocità del centro di assa v appena pria che tocchi il suolo, ossia v = v (rot) + v. La coponente rotazionale è data sepliceente da v (rot) = ω r = ω r û. Quando il cilindro si stacca dalla guida, è sottoposto alla sola forza peso (conservativa) agente sul centro di assa. ossiao applicare la conservazione dell energia eccanica durante il oto parabolico e ottenere il odulo della velocità del centro di assa v appena pria che il cilindro tocchi il suolo, ossia quando il centro del cilindro si trova ad un altezza r dal suolo: 2 I Cω v2 C + g[r (R r) cos θ] = 2 I Cω v2 + gr. er ottenere questa espressione abbiao utilizzato il teorea di König per l energia cinetica, sia nel punto C, 2 I Cω v2 C, che nel punto in cui tocca il suolo, 2 I Cω v2. Ricaviao, pertanto, il odulo della velocità del centro di assa quando il cilindro tocca il suolo v = ω 2 r 2 + 2g(R r)( cos θ). (2) Dato che lungo la direzione non agiscono forze, la coponente orizzontale della velocità del centro di assa riane invariata durante il oto parabolico: v = v C cos θ = ωr cos θ. In coponenti cartesiane, il odulo di v si può espriere coe v = v 2 + vy, 2 da cui otteniao la coponente y di v: v y = ω 2 r 2 sin 2 θ + 2g(R r)( cos θ). (22) In definitiva, la velocità v = v (rot) + v del cilindro, appena pria di tocccare il suolo, è c) v = (v ω r) û + v y û y = ω r (cos θ ) û + ω 2 r 2 sin 2 θ + 2g(R r)( cos θ) û y (23) =.0 s û 3.3 s ûy. 7