b) DIAGRAMMA DELLE FORZE

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1 DELLO SCRITTO DELL SETTEMBRE 5 - ESERCIZIO - Un corpo di massa m = 9 g e dimensioni trascurabili è appeso ad uno dei capi di una molla di costante elastica k = 5 N/m e lunghezza a riposo L = cm. L'altro estremo della molla è appeso al soffitto di una stanza. Il corpo si sta muovendo su un percorso circolare in un piano orizzontale e in queste condizioni la lunghezza totale della molla è pari a L. Si determinino: a) il modulo F el della forza che la molla esercita sul corpo; b) l'angolo ϑ che la molla forma con la verticale; c) il raggio R della traiettoria d) il modulo v della velocità del corpo. a) Il modulo F el della forza elastica può essere valutato che la molla è allungata di una quantità Δx=L -L =L, quindi poiché il modulo della forza elastica è legato all allungamento della molla dalla relazione F el =kδx, si ottiene: a) F el =kl. b) DIAGRAMMA DELLE FORZE Poiché il corpo ruota su traiettoria circolare in un piano orizzontale, non c è accelerazione lungo l asse verticale. Impostando F i = ma, proiettando lungo l asse y e considerando che a y = si ottiene: F el cos ϑ -mg=, da cui: cos ϑ = b) mg = F mg el kl. Quindi: mg ϑ = arccos kl c) Il raggio R della traiettoria può essere ottenuto come proiezione della molla sul piano orizzontale nel quale avviene il moto, quindi: c) R=L sen ϑ d) La componente orizzontale della forza elastica è rivolta verso il centro della circonferenza ed è

2 quindi responsabile dell accelerazione centripeta del corpo, quindi: F el sen ϑ =m R v, da cui v kl sen ϑ = m. Vale quindi: L senϑ Soluzioni numeriche 6k d) v=l sen ϑ m a) F el = 5N b) ϑ = 5 c) R =.7 m d) v =. m/s - ESERCIZIO - Un corpo di massa m = g e dimensioni trascurabili è inizialmente in moto su un piano orizzontale con velocità che forma un angolo ϑ = con l'asse delle x come mostrato in figura e in modulo pari a v = m/s. Ad un certo istante, esso urta un corpo di massa m = g in moto con velocità che forma un angolo ϑ =55 con l'asse x come mostrato in figura e in modulo pari a v =m/s. Dopo l'urto, i corpi rimangono attaccati. Si determinino: a) la velocità v f dell'insieme dei due corpi dopo l'urto (componenti cartesiane); b) l'impulso J della forza esercitata da m su m durante l'urto (componenti cartesiane); c) la variazione ΔK di energia cinetica del sistema durante l'urto. a) L urto è non vincolato, possiamo quindi impostare la conservazione della quantità di moto del sistema. Si noti che viene detto che i corpi dopo l urto rimangono attaccati (urto completamente anelastico) e si muoveranno quindi con la stessa velocità v f. Nota: Si noti che poiché non è esplicitamente detto che l urto è elastico, non si possono fare considerazioni sulla conservazione dell energia cinetica. Impostando Δ p tot = e proiettando sui due assi: m v cos ϑ + m v cos ϑ =(m +m )v f,x m v sen ϑ m v sen ϑ =(m +m )v f,y Da cui si ottiene: a) v f,x = v f,y = mv cosϑ + mv cosϑ m + m mvsenϑ mvsenϑ m + m

3 b) L impulso J delle forze che agiscono sul corpo m durante l urto sarà pari alla variazione della quantità di moto del corpo m tra prima e dopo l urto. Vale quindi: J = Δ p. Scomponendo per componenti: b) J,x =m (v f,x v cos ϑ ) J,y = m (v f,y ( v sen ϑ )) c) La variazione di energia cinetica del sistema sarà pari a: NUMERICHE c) ΔK= (m + m)(vf,x + vf,y) mv + mv a) v f,x =. m/s v f,y =.5 m/s b) J,x =.77 kg m/s J,y =.5 kg m/s c) ΔE =.9 J - ESERCIZIO - Un cilindro di raggio R = cm e un cubo di spigolo R, aventi la stessa massa m =. kg, sono inizialmente tenuti in quiete su una superficie scabra avente un'inclinazione ϑ = sopra l'orizzontale. Ad un certo istante, i due corpi vengono lasciati liberi di muoversi. Si osserva che il cilindro rotola lungo il piano senza strisciare e il cubo scivola senza rotolare. Si nota inoltre che la distanza tra i due corpi non varia in funzione del tempo nonostante i corpi non siano vincolati tra loro. Si determinino: a) il modulo a cil dell'accelerazione del cilindro; b) il modulo ω della velocità angolare del cilindro quando questo si è spostato di L =. m lungo il piano; c) il coefficiente di attrito dinamico µ d tra superficie e cubo; d) il lavoro W compiuto dalle forze di attrito quando il cubo si è spostato di L = m lungo il piano. a) Diagramma delle forze

4 Si può impostare la II legge della dinamica F = ma cil e = Iα, scegliendo il centro di massa i per il calcolo dei momenti e un asse z entrante nel piano rappresentato. Si noti inoltre che, poiché il moto è di puro rotolamento attorno al punto C di contatto tra cilindro e piano inclinato, vale a cil = α R, da cui in modulo a cil =αr per come sono stati scelti gli assi. Scomponendo forze e momenti sugli assi: I: Forze lungo x: mgsen ϑ F as =ma cil II: Forze lungo y: N mgcos ϑ = III: Momenti rispetto c.m. F as R= α IV: Condiz. puro rotolamento a cil =αr Inserendo IV in III e sommandole con R I si ottiene: mgrsen ϑ =a cil + a) a cil = gsenϑ M i a cil, da cui: b) Il cilindro compie un moto di puro rotolamento, ovvero rotola senza strisciare. Poiché sul cilindro agisce la forza di attrito statico che non compie lavoro (perché lo spostamento del punto C di azione della forza è nullo) si può impostare la conservazione dell energia meccanica (in questo caso entrano in gioco l'energia cinetica e l'energia potenziale gravitazionale). ΔU+ΔK==U f U +K f K. Per quanto riguarda la valutazione dell'energia potenziale gravitazionale, si noti che assumendo nulla la quota iniziale, la quota finale sarà: z = L sen ϑ. Per il calcolo dell'energia cinetica, si consideri che il moto di puro rotolamento del cilindro può essere istantaneamente descritto come una pura rotazione attorno ad un asse passante per il punto C. Calcolando con il teorema di Huygens-Steiner il momento d'inerzia all'asse passante per C e parallelo all'asse del cilindro: I C = istantaneamente espressa come K= MR I C ω = + MR = MR, l energia cinetica può essere ω (nota: un approccio alternativo consiste nel descrivere il puro rotolamento del cilindro come una rotazione del cilindro attorno al CM in moto. Utilizzando il teorema di Konig per l'energia cinetica si ottiene K= I quindi K= CMω + mvcm= ω ). ω + mv CM. Per la condizione di puro rotolamento vale v CM =ωr,

5 Inserendo nelle formule per la conservazione dell energia i dati per l istante t (corpo fermo a quota ) e t (corpo in moto a quota z con velocità angolare ω ): si ottiene: mgz = ω da cui: b) ω = glsenϑ R c) Diagramma delle forze Si ricordi che la forza di attrito dinamico ha un valore definito e vale in modulo: F ad =µ d N. Impostando la seconda legge della dinamica per il cubo e proiettando sugli assi vale quindi: V: lungo x: mgsen ϑ µ d N = ma cubo VI: lungo y: N mgcos ϑ = I due corpi non variano la propria distanza durante il moto, allora devono avere la stessa accelerazione: a cubo =a cil e avere la stessa velocità iniziale (dichiarata nulla per entrambi dal problema). Si ottiene quindi: mgsen ϑ µ d mgcos ϑ = mgsenϑ. Da cui si ottiene: c) µ d = tan ϑ d) Il cubo scivola sul piano. Si ricordi la definizione di lavoro: W= F ds. In questo caso lo L spostamento e la forza hanno stessa direzione e verso opposto, quindi W= Fad dx = L = µ mgcosϑcos(8 ) dx, da cui: d d) W = µ d mgcos ϑ L NUMERICHE a) a cil =.7 m/s b) ω = 8.8 rad/s c) µ d =.9 d) W =.96 J