POLITECNICO DI MILANO Scuola di Ingegneria Industriale Fondamenti di Fisica Sperimentale, a.a III Appello, 4 febbraio 2014

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1 POLITECNICO DI MILANO Scuola di Ingegneria Industriale Fondamenti di Fisica Sperimentale, a.a III Appello, 4 febbraio 2014 Giustificare le risposte e scrivere in modo chiaro e leggibile. Sostituire i valori numerici solo alla fine, dopo aver ricavato le espressioni letterali. Indicare nome e cognome (in stampatello) e matricola su ogni foglio. 1. Un blocco di massa m = 1 kg viene lanciato verso l alto su un piano inclinato scabro (coefficiente di attrito dinamico µ D = 0.2) con velocità iniziale parallela al piano inclinato e di modulo v 0 = 3 m/s. L inclinazione del piano è α = 30. Calcolare: a) la distanza s percorsa dal blocco sul piano fino al punto di inversione del moto; b) il tempo impiegato a percorrere la distanza s e il tempo totale impiegato per tornare al punto di partenza; c) l energia dissipata lungo l intero percorso di andata e ritorno. 2. Una massa m = 2 kg è collegata a un estremo di una molla ideale di costante elastica k = 3 N/m e lunghezza a riposo L = 80 cm. La massa e la molla giacciono su un piano orizzontale privo di attrito e l'altro estremo della molla è vincolato a un perno anch'esso privo di attrito. a) Si dica, giustificando le risposte, se durante un generico atto di moto della massa vincolata alla molla si conservano le seguenti grandezze: energia totale; quantità di moto; momento angolare. b) Supponendo che la massa compia un moto circolare con velocità angolare costante ω R = 0.5 rad/s intorno al perno, si calcoli l'allungamento della molla. c) Si calcoli l energia meccanica della massa nella situazione descritta al punto (b). 3. Una massa di rame m = 2 kg alla temperatura T a = -10 C viene inserita in un recipiente adiabatico di capacità termica trascurabile contenete una massa M = 1 kg di acqua alla temperatura T 0 = 10 C. a) Si calcoli la temperatura T f di equilibrio del blocco di rame e dell acqua. b) Si dica se all equilibrio l acqua nel recipiente si è solidificata e, in caso di risposta affermativa, si calcoli la massa del ghiaccio. c) Si ripeta il calcolo precedente [punti (a) e (b)] supponendo che la temperatura iniziale del blocco di rame sia T b = -100 C. [Calore specifico del rame: c rame = kj kg -1 K -1 ; calore specifico dell acqua: c acqua = kj kg -1 K -1 ; calore latente di fusione dell acqua. λ = 334 kj kg -1 ] 4. Si considerino due piani paralleli indefiniti di carica (come mostrato in figura), σ 1 σ 2 posti a distanza D = 1 cm. Sul piano di sinistra la carica è distribuita con densità superficiale omogenea positiva σ 1 = 1 nc/m 2, su quello di destra con densità superficiale omogenea negativa σ 2 = -3 nc/m 2. Una carica negativa puntiforme + q = -1 nc viene emessa dal piano di sinistra verso quello di destra, in direzione y - orizzontale, con energia cinetica iniziale E K = 1 nj. x a) Si calcoli il modulo del campo elettrostatico nella regione di spazio compresa tra i piani; b) Si calcoli a quale distanza d dall armatura di sinistra la carica inverte il suo moto. c) Posta tra i due piani di carica una molecola con momento di dipolo elettrico p = pû y, di modulo p = C m, si calcoli il lavoro fatto dal campo per portare il dipolo nella posizione di equilibrio stabile. [ε 0 = C 2 N -1 m -2 ]

2 Soluzioni Esercizio 1 a) Il moto avviene sotto l azione della forza peso e della forza d attrito. Il sistema non è quindi conservativo. La variazione di energia meccanica sarà quindi pari al lavoro delle forze non conservative: = +h= cos. Dove h= sin è la quota massima raggiunta dal corpo. Inserendo quest ultima ugaglianza nell equazione precedente e risolvendo in funzione di s, si ottiene: = =0.68 m.!"#$%&'( ) *+#&, b) Abbiamo due situazioni diverse per salita (andata) e discesa (ritorno): i. salita - l equazione del moto (direzione positiva verso il basso del piano) è 2 3 ="sin+ cos,. L accelerazione è quindi costante e il moto uniformemente accelerato. Vale perciò: 4= 24 = "sin+ cos,4. Il tempo necessario per la salita corrisponde a quello per portare a zero la velocità finale. Con questa condizione si ottiene infine: 4 3 = =0.46 s.!"#$%&'( ) *+#&, ii. discesa - l equazione del moto (direzione positiva verso il basso del piano) è 2 ="sin cos,. Impongo che la massa percorra una distanza s: = 24 = "sin cos,4. Ricavo da qui il tempo di discesa: e quindi il tempo totale è t Tot = 1.1 s. 2 4 =6 "sin cos, =0.65 s c) Parto di nuovo da =, sapendo che l energia dissipata corrisponde al lavoro esterno fatto dalle forza non conservative. Considerato l intero moto di andata e ritorno (punto finale coincide con quello iniziale), tale lavoro si scrive: = 9:;.

3 Mi manca solo l informazione sulla velocità finale, che posso ottenere dalle equazioni del moto di discesa: 9:; =2 4 =<2"sin cos,=2.1 m/s. Mettendo questo valore nell equazione precedente ottengo L NC = -2.3 J. Esercizio 2 a) La forza esercitata dalla molla sulla massa è di tipo centrale. Pertanto l energia totale si conserva durante il moto perché agiscono solo forze conservative. La quantità di moto p = mv non si conserva perché sulla massa agiscono delle forze esterne. Il momento angolare L = r p rispetto al perno cui è vincolata la molla si conserva perché è una costante del moto nei campi di forze centrali. b) La forza centripeta che determina il moto circolare è data dalla forza elastica della molla. L equazione del moto del sistema si può scrivere quindi come: 2? =A B C =D, dove naturalmente è l allungamento della molla, cosicchè il raggio dell orbita descritta dalla massa sarà C =+. Sostituendo tali termini nell equazione sopra e risolvendo per l allungamento si ha: c) L energia meccanica della massa vale = EF G HIEF G =0.16 m. JKJ =? + L = A B C + D =0.42 J.

4 Esercizio 3 a) Supponiamo, in un primo momento, che l acqua NON congeli. Per il primo principio della termodinamica possiamo scrivere mc rame (T f T a) = -Mc acqua (T f T 0), dalla quale otteniamo T f = (Mc acqua T 0 + mc rame T a ) / (Mc acqua + mc rame) = 6.9 C. Il fatto di ottenere un valore di T f maggiore di 0 C conferma la correttezza dell ipotesi che l acqua non congeli. b) Se sostituiamo nell equazione precedente il valore di T b a quello di T a, otteniamo un valore di T f minore di 0 C, pertanto l acqua deve congelare, almeno parzialmente. In questo caso dobbiamo innanzitutto calcolare la temperatura T c del rame quando tutta la massa d acqua si è portata alla temperatura di 0 C: mc rame (T c T a) = -Mc acqua (0 C T 0) T c = C. A questo punto il calore Q che deve essere fornito al blocco di rame per portarlo alla temperatura di 0 C vale: Q = mc rame (0 C T c) = 36.2 kj. Q vine fornito dal congelamento di una massa M ghiaccio di acqua pari a: M ghiaccio = Q/λ = 108 g.

5 Esercizio 4 a) Il campo elettrostatico è dato dalla sovrapposizione dei contributi dei due piani e può essere calcolato come: NO =NO +NO =P Q R S Q S TUV W 226 V/mUV W. b) Il campo elettrostatico è conservativo, quindi per il moto della carica si può scrivere: = +Z [ =0. L energia cinetica finale è pari a zero. Per quanto riguarda la differenza di potenziale possiamo scrivere: Si ottiene così _ 0.44 cm. ] [ = \ NO _Ò = anoa_. c) La posizione di equilibrio stabile del dipolo è con lo stesso parallelo al campo elettrico. Il lavoro può essere calcolato a partire dalla variazione di energia potenziale del dipolo nel campo uniforme compreso tra i piani di carica, secondo l espressione b = co NO. Nella posizione iniziale il dipolo è ortogonale al campo. Ne consegue che il lavoro fatto dal campo per ruotare il dipolo sarà: = b = b,9:; =c Ie J.