Prova in itinere di Fisica (I modulo) Scienze e Tecnologie dell Ambiente. Soluzioni

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1 Prova in itinere di Fisica (I modulo) Scienze e Tecnologie dell Ambiente 30 Novembre 2007 Soluzioni A) a=2at = 24 m/s 2. a m = v(t 1 + t) v(t 1 ) t = 24.6 m/s 2 3) B) s(t 1 ) = s 0 + t1 0 (At 2 + B)dt = A t Bt 1 = 12 m Scegliamo l asse x parallelo alla direzione del piano, con verso positivo verso l alto ed origine alle base del piano inclinato. a=-gsenα 4.9 m/s 2 per entrambi i corpi. Entrambi i corpi si muovono di moto rettilineo uniformemente accelerato lungo il piano inclinato, x 0 =0 per B ed x 0 =L per A. Allo stesso istante t, i corpi A e B hanno posizioni date da: x A = L 1/2gsenα t 2 x B = v 0 t 1/2gsenα t 2. 1

2 Al tempo di incontro, t i, i due corpi hanno percorso lo stesso tratto pari ad L/2, da cui determiniamo il tempo di incontro: t i = L/gsenα. Per determinare le velocità al momento dello scontro utilizziamo la relazione: v(t)= v 0 + at, da cui otteniamo per i due corpi: v A = gsenα t i = glsenα = 8.58 m/s v B = v 0 gsenα t i = 0 m/s y O T2 M 1 T3 x T2 T3 M 2 g M 3 g Figura 1: figura problema C C) Le forze agenti sono presentate in figura 1. Il problema si risolve applicando la seconda legge di Newton alle 3 masse ed imponendo che le accelerazioni di ciascuna massa siano uguali a zero: T3 T2 = 0 2

3 T2 M 2 g = 0 T3 M 3 g = 0 da cui si ricava: M 3 =M 2. Il problema si risolve applicando la seconda legge di Newton alle 3 masse e notando che le tre masse si muovono con la stessa accelerazione in modulo. Quindi: T3 T2 = M 1 a T2 M 2 g = M 2 a T3 M 3 g = M 3 a D) Da cui si ricava: a = M 3 M 2 M 1 + M 2 + M 3 g = M 2 4M 2 = 2.45 m/s 2 Scegliendo l asse x lungo la direzione della molla e l origine dell asse x nella posizione di lunghezza a riposo della molla si ha: Mg kx eq = 0 x eq = mg/k = 22.6 cm Il corpo si muove di moto armonico attorno alla posizione di equilibrio. Imponendo x eq come origine del mio asse x si ha: a = k m x = ω2 x ω = 6.59 rad/s. Il periodo del moto è: T = 2π ω = 0.95 s. E) 3

4 Nel caso di angolo limite, oltre il quale il corpo passa dalla quiete al moto, si ha che il modulo della forza di attrito statico è: F stat att = µ s N (dove N e il modulo della reazione vincolare del piano=mgcosα). La direzione della forza di attrito statico è tangente al piano ed ha verso tale da opporsi all insorgere del moto. Le forze che agiscono nella direzione del piano inclinato sono la forza di attrito statico e la componente lungo il piano inclinato della forza peso, che tende a far scivolare il corpo lungo il piano inclinato. Nel caso di angolo limite: µ s mgcosα = mgsenα e quindi µ s =tgα. Risolvendo nei due casi: α 1 = 40 o µ s1 = 0.84 α 2 = 14 o µ s2 = 0.25 y h A h/2 O x Figura 2: figura problema F F) Sul punto materiale agiscono la forza peso, conservativa, e la reazione vincolare. dato che il vincolo è liscio, la reazione vincolare è ortogonale allo spostamento di P e non compie lavoro. Pertanto si conserva l energia totale meccanica del punto materiale. Detta v A la velocità del punto materiale nel punto A, si ha: E = mgh = 1 2 mv2 A + mg h 2 v A = gh = 9.9 m/s 4

5 Nel sistema di riferimento cartesiano mostrato in figura 2, con origine in O, asse x orizzontale diretto verso destra ed asse y verticale diretto verso l alto, prendendo come t=0 l istante in cui il punto materiale raggiunge il punto A, l istante t dell impatto con il suolo si ricava imponendo: y(t ) = 0 = h gt 2 t = h/g 1.01 s G) Il lavoro della reazione vincolare del piano inclinato è nullo perchè la direzione della forza è ortogonale a quella dello spostamento. Il lavoro della forza F è: Fcosα AB = 20.8 J. Il lavoro della forza di attrito dinamico è: - µ d N AB, dove N è il modulo della reazione vincolare del piano inclinato: N= Mgcosα + Fsenα. Il lavoro della forza di attrito e quindi uguale a J. Il lavoro della forza peso è: -Mg senα AB J 5