Fisica I - Ing. Sicurezza e Protezione, prof. Schiavi A.A Soluzioni proposte per il Foglio di Esercizi n. 2

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1 Fisica I - Ing. Sicurezza e Protezione, prof. Schiavi A.A Soluzioni proposte per il Foglio di Esercizi n Il proiettile ed il sasso cadono lungo y per effetto della accelerazione di gravità con la stessa legge: y(t) = y 0 + v y0 t 1 2 gt2 = h 1 2 gt2 e toccano terra allo stesso istante t = 2h g = s. Mentre il sasso cade sulla verticale, il proiettile percorre in orizzontale una distanza pari a d = v x t = = 271 m Il corpo fermo sulla superficie della Terra percorre un moto circolare uniforme di raggio r = R RT cos θ = 5516, 6 km. La velocità angolare della Terra è ω = 2π = 2π = 2π = 7.25 T 24h rad/s. Possiamo ora ricavare il modulo della velocità e dell accelerazione centripeta del corpo v = ωr = ω R RT cos θ = 400 m/s a r = v2 r = ω2 r = ω 2 R RT cos θ = m/s 2 w R RT cosq q 2.3. Indicando con t il tempo per arrivare al suolo, scriviamo: H = 1 2 g t 2 (1) H h = 1 2 g( t τ) 2 (2) Sottraendo (2) (1): h = 1 2 gτ(τ 2 t) t = 3.11 s H = = 47.4 m 2.4. Per l osservatore solidale al suolo il punto materiale avrà al momento del lancio una velocità verticale v y0 = v 0 ed una velocità orizzontale v x0 = v x. Il punto materiale descriverà quindi una traiettoria parabolica nel piano x-y: x(t) = x 0 + v x0 t y(t) = y 0 + v y0 t 1 2 gt2 Per un osservatore sul carrello invece, il moto del punto materiale sarà unidimensionale uniformemente accelerato ed averrà lungo la verticale del punto di lancio Il filo fornisce l accelerazione radiale centripeta necessaria a mantenere il punto materiale su una traiettoria circolare di raggio L: T = m a r = m v2 L = mω2 L,

2 da cui la velocità angolare massima sarà quella corrispondente al carico di rottura del filo ω max = T r /ml = 1000/2 = 22.4 rad/s L istante di tempo t in cui il punto materiale arriva a θ = π/2 è dato da π t = α. θ( t) = 1 2 α t 2 = π 2 Il moto è circolare uniformemente accelerato e la velocità angolare ω cresce linearmente nel tempo secondo la legge ω(t) = α t. Da questa legge possiamo ricavare l andamento temporale dei moduli della velocità, dell accelerazione tangenziale e di quella radiale centripeta: v y p /2 x v = ω R = αrt a t = d v = αr dt a r = v 2 R = α2 Rt 2 a t y ar p /2 x Scriviamo esplicitamente i vettori della velocità e dell accelerazione in componenti cartesiane: v x (θ = π/2) = v(t = t) = αr π α v y (θ = π/2) = 0 v (θ = π/2) = 0.89 m/s = 0.89 m/s a x (θ = π/2) = a t = αr = 0.5 m/s 2 a y (θ = π/2) = a r = α 2 R π = 1.57 m/s2 α a (θ = π/2) = = 1.65 m/s La forza di attrito statico deve bilanciare la componente della forza peso parallela al piano: f s = mg sin θ = = 24.5 N 2.8. (a). Se la forza F fosse orizzontale, per spostare il corpo dovrebbe valere F > µ s n = µ s m g = 981 N (b). Se invece F forma un angolo α = 30 con il piano orizzontale, per spostare il corpo occorre µ s mg F cos α > µ s n = µ s (mg F sin α) F > cos α + µ s sin α = 718 N 2.9. Scegliamo un sistema di riferimento solidale al piano scabro. Quando il piano è in quiete, il sistema è inerziale e scriviamo la seconda legge di Newton per il corpo ΣF = mg + n + f k = ma,

3 e proiettando lungo gli assi coordinati otteniamo m a y = n mg = 0 n = mg m a x = f k = µ k n = µ k mg ovvero il corpo scivola lungo il piano rimanendo in contatto con la superficie (a y = 0) e decelerando uniformemente (a x = µ k g). Lo spazio percorso prima di arrestarsi è dato da d = x = v2 0 2 a x = v2 0 2µ k g (1). Quando il piano orizzontale accelera verticalmente con accelerazione a p = a p ĵ, il sistema di riferimento scelto (solidale al piano) non è inerziale. Un osservatore in questo sistema accelerato dovrà introdurre nella seconda legge di Newton una forza apparente (o fittizia) F app = ma p : ΣF = mg + n + f k + F app = ma, dove l apice indica che le forze e le accelerazioni sono misurate nel sistema accelerato. In particolare a è l accelerazione del corpo vista dall osservatore in movimento. In componenti m a y = n m g + m a p = 0 n = m(g a p ) m a x = f k = µ k n = µ k m(g a p ) Lo spazio d arresto è dato ora da 2d = x = v2 0 2 a x = v 2 0 2µ k (g a p ) (2). Utilizzando adesso le due relazioni (1) e (2) ricaviamo d = v2 0 2µ k g = x 2 = v 2 0 4µ k (g a p ), da cui, per confronto, otteniamo il risultato cercato g = 2(g a p ) a p = g/2. Rispondere concisamente ai seguenti quesiti Dato un punto materiale che si muove in un piano x-y ricavare le due componenti dell accelerazione rispettivamente tangente e perpendicolare alla traiettoria. Possiamo scomporre il vettore accelerazione a in due componenti, una tangente alla traiettoria ed una perpendicolare ad essa a = a t + a r. Ricordiamo che la velocità istantanea v è tangente in ogni punto alla traiettoria. La direzione tangente è pertanto individuata dal versore della velocità ˆv = v v

4 La componete tangente a t dell accelerazione è data dalla proiezione di a lungo ˆv: a t = (a ˆv) ˆv, mentre la componente perpendicolare a r è data da a r = a a t. L accelerazione tangenziale a t è responsabile della variazione del modulo della velocità, mentre l accelerazione perpendicolare a r (detta radiale o centripeta) è quella che causa la deviazione della direzione della velocità e quindi della traiettoria. Ricavare la gittata R di un proiettile in funzione della velocità iniziale v del lancio. Scegliamo un sistema di riferimento x y con origine nel punto in cui si trova il proiettile al momento del lancio. Le componenti della velocità iniziale saranno v 0x e v 0y, ed il moto del proiettile scomposto lungo gli assi coordinati sarà x(t) = v 0x t y(t) = v 0y t 1 2 g t2 Cerchiamo gli istanti di tempo per cui y(t) = 0: y(t) = v 0y t 1 2 g t2 0 = t (v 0y 1 2 g t), dove la soluzione t 1 = 0 corrisponde al momento del lancio, mentre quella t 2 = 2 v 0y /g corrisponde al momento in cui il proiettile tocca il suolo dopo la parabola di tiro. La gittata R è data dalla velocità lungo x per il tempo di volo t 2 : R = v 0x (2 v 0y g ) = 2v 0x v 0y g. Scrivere le equazioni del moto x(t) e y(t) per un punto che si muove di moto circolare uniforme lungo una circonferenza di raggio R nel piano x-y. Dato un angolo θ, le coordinate cartesiane del punto sono x = R cos θ y = R sin θ In un moto circolare uniforme l angolo θ varia con legge lineare θ(t) = θ 0 + ωt, dove ω è la velocità angolare costante. Le equazione del moto in coordinate cartesiane sono x(t) = R cos θ(t) = R cos(θ 0 + ωt) y(t) = R sin θ(t) = R sin(θ 0 + ωt) Cos è una forza? Fare un esempio di come si può misurare una forza e dire qual è la sua unità di misura nel SI. Le forze sono la causa della variazione della velocità di un corpo. L accelerazione impartita ad un corpo è proporzionale all intensità della forza applicata ed inversamente proporzionale alla massa del corpo stesso (2 a legge di Newton). Una forza è definita

5 da un vettore: modulo=intensità, versore=direzione dell accelerazione impartita ad un corpo. Per misurare una forza si può utilizzare un dinamometro (descrizione ed esempio con disegno). Da F = m a si ricava che nel SI l unità di misura delle forze è il Newton: 1N = kg m/s 2. Cos è la reazione vincolare normale? La reazione vincolare è la forza che rappresenta il fatto che due corpi a contatto non possono compenetrarsi, ovvero passare uno attraverso l altro senza che ci siano deformazioni. La reazione vincolare n è ortogonale alla superficie di contatto (fare un disegno schematico di come è diretta la forza normale). L intensità della reazione vincolare è tale da bilanciare il risultante delle altre forze agenti nella direzione normale entrante nella superficie di contatto. Che differenza c è tra forza d attrito statico e forza d attrito dinamico? La principale differenza è che l attrito statico impedisce il movimento relativo delle superfici di contatto, mentre l attrito dinamico si manifesta quando le superfici di contatto scorrono l una rispetto all altra. L intensità della forza d attrito statico è variabile entro un limite massimo fissato dal coefficiente d attrito statico µ s e dal modulo della forza normale n: f s f s max = µ s n. L attrito dinamico è una forza resistente (opposta alla direzione del moto) di intensità (approssimativamente) costante f k = µ k n.