Forza centrifuga. Funi e molle. Equazioni del moto

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1 La forza è un particolare tipo di forza apparente, presente quando il sistema non inerziale (SNI) è in moto rototraslatorio rispetto ad un sistema di riferimento inerziale (SI). Nel moto rototraslatorio la posizione dell origine e l orientamento degli assi cartesiani del SNI descritta in termini del SI cambia nel tempo. 1 / 55

2 La forza è un particolare tipo di forza apparente, presente quando il sistema non inerziale (SNI) è in moto rototraslatorio rispetto ad un sistema di riferimento inerziale (SI). Nel moto rototraslatorio la posizione dell origine e l orientamento degli assi cartesiani del SNI descritta in termini del SI cambia nel tempo. 2 / 55

3 La forza è un particolare tipo di forza apparente, presente quando il sistema non inerziale (SNI) è in moto rototraslatorio rispetto ad un sistema di riferimento inerziale (SI). Nel moto rototraslatorio la posizione dell origine e l orientamento degli assi cartesiani del SNI descritta in termini del SI cambia nel tempo. 3 / 55

4 La forza è un particolare tipo di forza apparente, presente quando il sistema non inerziale (SNI) è in moto rototraslatorio rispetto ad un sistema di riferimento inerziale (SI). Nel moto rototraslatorio la posizione dell origine e l orientamento degli assi cartesiani del SNI descritta in termini del SI cambia nel tempo. 4 / 55

5 5 / 55

6 P (t 1) = r(t 1)P r(t 1) + θ(t 1)P θ(t 1) 6 / 55

7 P (t 1) = r(t 1)P r(t 1) + θ(t 1)P θ(t 1) 7 / 55

8 P (t 1) = r(t 1)P r(t 1) + θ(t 1)P θ(t 1) P (t 1) = OO (t 1) + P (t 1) 8 / 55

9 P (t 1) = r(t 1)P r(t 1) + θ(t 1)P θ(t 1) P (t 1) = OO (t 1) + P (t 1) P (t 2) = r(t 2)P r(t 2) + θ(t 2)P θ(t 2) P (t 2) = OO (t 2) + P (t 2) 9 / 55

10 P (t 1) = r(t 1)P r(t 1) + θ(t 1)P θ(t 1) P (t 1) = OO (t 1) + P (t 1) P (t 2) = r(t 2)P r(t 2) + θ(t 2)P θ(t 2) P (t 2) = OO (t 2) + P (t 2) 10 / 55

11 P (t 1) = r(t 1)P r(t 1) + θ(t 1)P θ(t 1) P (t 1) = OO (t 1) + P (t 1) P (t 2) = r(t 2)P r(t 2) + θ(t 2)P θ(t 2) P (t 2) = OO (t 2) + P (t 2) Nel caso di rotazione rigida come quella dell auto la velocità angolare dell origine O è uguale alla velocità angolare di rotazione del sistema non inerziale. Questo non è vero in generale. 11 / 55

12 P (t) = r(t)p r(t) + θ(t)p θ(t) P (t) = OO (t) + P (t) dp dt dp dt = V P = d(oo (t) + P (t)) dt = d( r(t)p r(t) + θ(t)p θ(t)) dt = ( r(t) dp r(t) dt + θ(t) dp θ(t) dt = V O + dp = ) + ( d r(t) dt = V P + ω(t)p r(t) θ(t) ω(t)p θ(t) r(t) = = V P + V tr V P = V O + V P + V tr dt P r(t) + d θ(t) P θ(t)) = dt 12 / 55

13 V P = V O + V P + V tr dv P dt dv P dt = A O + d(v P + V tr) dt d( r(t) dp r(t) = = A P + V r dv tr dt d r(t) dt dt + V θ + θ(t) dp θ(t) ) dt = dt d θ(t) dt = d(ω(t)p r(t) θ(t) ω(t)p θ(t) r(t)) dt = A P + ω(t)v r (t) θ(t) ω(t)v θ (t) r(t) = ω(t)v r (t) θ(t) ω(t)v θ (t) r(t) ω 2 ( rp r + θp θ)+ + dω dt (P r(t) θ(t) P θ(t) r(t)) A = A + A O + A cor(ω, V ) + A centr + A tang = 13 / 55

14 A = A + A O + A cor (ω, V )+ + A trascinamento centripeta + A trascinamento tangenziale Consideriamo ora un sistema di riferimento non inerziale posto in moto circolare (non necessariamente uniforme) con rotazione rigida rispetto ad un altro sistema di riferimento inerziale, con velocità angolare ω(t), e con l origine che percorre una traiettoria di raggio R. In tale sistema ogni oggetto avrà un accelerazione A diversa da quella che avrebbe se il sistema di riferimento fosse inerziale, e quindi sarà soggetto a forze apparenti. 14 / 55

15 Centrifuga Se un oggetto è posto nell origine del sistema di riferimento NI ed è tenuto fermo in tale sistema di riferimento, abbiamo: A NI = A I A O A O = ω 2 (t)r r + dω dt R θ F NI = F I + F apparente F apparente = ma O = mω 2 (t)r r m dω dt R θ F = mω 2 (t)r r 15 / 55

16 Funi ideali Una fune è uno strumento usato per spostare il punto di applicazione di una forza o per permettere a due corpi che non sono in contatto tra di loro di avere un interazione. Un modello ideale di fune è: Priva di massa - la massa della fune è considerata trascurabile rispetto alle forze e alle masse in gioco. Inestensibile - la lunghezza della fune è costante. Unidimensionale - la fune è estremamente sottile. Per capire qual è il comportamento di una fune ideale può essere utile ricavarlo come caso limite di una fune non ideale. 16 / 55

17 Modello di fune Modelliziamo una fune come un corpo di massa m posto tra due corpi di massa m 1 e m 2. Fune inestensibile, ovvero spostamenti, velocità e accelerazioni uguali tra i tre corpi 17 / 55

18 Modello di fune Modelliziamo una fune come un corpo di massa m posto tra due corpi di massa m 1 e m 2. Fune inestensibile, ovvero spostamenti, velocità e accelerazioni uguali tra i tre corpi x 2 = x = x 1 v 2 = dx 2 dt = dx dt = v = v 1 18 / 55

19 Modello di fune Modelliziamo una fune come un corpo di massa m posto tra due corpi di massa m 1 e m 2. Fune inestensibile, ovvero spostamenti, velocità e accelerazioni uguali tra i tre corpi 19 / 55 x 2 = x = x 1 v 2 = dx 2 = dx dt dt = v = v 1 a 2 = a = a 1

20 Modello di fune Modelliziamo una fune come un corpo di massa m posto tra due corpi di massa m 1 e m 2. Azione e reazione a 2 = a = a 1 F m2 = a m 2 20 / 55

21 Modello di fune Modelliziamo una fune come un corpo di massa m posto tra due corpi di massa m 1 e m 2. Azione e reazione a 2 = a = a 1 F m2 = a m 2 F 2m = F m2 21 / 55

22 Modello di fune Modelliziamo una fune come un corpo di massa m posto tra due corpi di massa m 1 e m 2. Azione e reazione a 2 = a = a 1 F m2 = a m 2 F 2m = F m2 F 1m = F m1 22 / 55

23 Modello di fune Modelliziamo una fune come un corpo di massa m posto tra due corpi di massa m 1 e m 2. Fune massiccia F + F m1 = am 1 23 / 55

24 Modello di fune Modelliziamo una fune come un corpo di massa m posto tra due corpi di massa m 1 e m 2. Fune massiccia F + F m1 = am 1 F 1m + F 2m = am 24 / 55

25 Modello di fune Modelliziamo una fune come un corpo di massa m posto tra due corpi di massa m 1 e m 2. Fune massiccia F + F m1 = am 1 F 1m + F 2m = am F m2 = am 2 25 / 55

26 Modello di fune Modelliziamo una fune come un corpo di massa m posto tra due corpi di massa m 1 e m 2. Fune massiccia F + F m1 = am 1 F 1m + F 2m = am F 1m = a(m + m 2 ) F m2 = am 2 26 / 55

27 Modello di fune Modelliziamo una fune come un corpo di massa m posto tra due corpi di massa m 1 e m 2. Fune massiccia F + F m1 = am 1 F = a(m + m 1 + m 2 ) F 1m + F 2m = am F 1m = a(m + m 2 ) F m2 = am 2 27 / 55

28 Modello di fune Modelliziamo una fune come un corpo di massa m posto tra due corpi di massa m 1 e m 2. Fune massiccia F + F m1 = am 1 F = a(m + m 1 + m 2 ) F 1m + F 2m = am F 1m = a(m + m 2 ) = F F m2 = am 2 m + m 2 m + m 1 + m 2 28 / 55

29 Modello di fune Modelliziamo una fune come un corpo di massa m posto tra due corpi di massa m 1 e m 2. Fune massiccia F + F m1 = am 1 F = a(m + m 1 + m 2 ) F 1m + F 2m = am F 1m = a(m + m 2 ) = F F m2 = am 2 = F m 2 m + m 1 + m 2 m + m 2 m + m 1 + m 2 29 / 55

30 Modello di fune Modelliziamo una fune come un corpo di massa m posto tra due corpi di massa m 1 e m 2. Fune massiccia F 1m + F 2m = am F 1m = a(m + m 2 ) = F m 2 F m2 = am 2 = F m + m 1 + m 2 m + m 2 F m1 = F m + m 1 + m 2 m + m 2 m + m 1 + m 2 30 / 55

31 Modello di fune Modelliziamo una fune come un corpo di massa m posto tra due corpi di massa m 1 e m 2. Fune massiccia F 1m + F 2m = am F 1m = a(m + m 2 ) = F m 2 F m2 = am 2 = F m + m 1 + m 2 m + m 2 F m1 = F m + m 1 + m 2 m + m 2 m + m 1 + m 2 31 / 55

32 Fune ideale Usiamo ora la mancanza di massa della fune, facendo il limite per m 0. Massa della fune che tende a zero m 2 F m2 = am 2 = F m + m 1 + m 2 m + m 2 F m1 = F m + m 1 + m 2 32 / 55

33 Fune ideale Usiamo ora la mancanza di massa della fune, facendo il limite per m 0. Massa della fune che tende a zero m 2 F m2 = am 2 = F m + m 1 + m 2 m + m 2 F m1 = F m + m 1 + m 2 lim = F m 0 lim = F m 0 m 2 m 1 + m 2 m 2 m 1 + m 2 = F m2 33 / 55

34 Fune ideale Usiamo ora la mancanza di massa della fune, facendo il limite per m 0. Tensione della corda pari a T 34 / 55 m 1 a = F T m 2 a = T T = F m 2 m 1 + m 2

35 Fune ideale Usiamo ora la mancanza di massa della fune, facendo il limite per m 0. Unidimensionalità della corda: la forza che la corda applica è orientata lungo la corda 35 / 55

36 Molle ideali 36 / 55 L elasticità di una molla può essere descritta dalla legge di Hooke, che lega la forza esercitata su o da un oggetto elastico a seguito di una deformazione. Una molla ideale è: Priva di massa - analogamente al caso della fune, la massa è piccola e considerata trascurabile rispetto alle forze e alle masse in gioco. Lineare - la risposta della molla è direttamente proporzionale attraverso una costante alla deformazione della molla stessa. Unidimensionale - la fune è sottile ed esercita la sua azione lungo la sua unica dimensione, come una fune. Un altra idealizzazione che può essere usata è quella della lunghezza a riposo nulla - a dire il vero, solo negli esercizietti di fisica 1...

37 Legge di Hooke Lunghezza a riposo l 0: la molla non esercita alcuna forza, è a riposo. 37 / 55

38 Legge di Hooke F = k l = k(l 1 l 0) F (l) = kl 0 kl Linearità della molla: ovviamente per grandi valori di l la relazione non vale più. Linearità della molla: la costante di proporzionalità k si misura in N/m. Sistema di riferimento unidimensionale: la molla si deforma lungo una sola direzione, e esercita forza lungo una direzione. 38 / 55

39 Legge di Hooke F = k l = k(l 1 l 0) La forza di una molla priva di massa, al pari della tensione di una corda, si esercita ugualmente ad entrambe le estremità. 39 / 55

40 40 / 55 Il secondo principio della dinamica mette in relazione le forze che agiscono su un corpo e l accelerazione del corpo. Questa relazione costituisce in genere un equazione differenziale che coinvolge posizione, velocità (derivata della posizione rispetto al tempo) e accelerazione (derivata della velocità). In genere le equazioni differenziali sono molto difficili da risolvere e non è possibile trovare in modo analitico la soluzione x(t). Sotto assunzioni molto generali e tipicamente soddisfatte è però possibile dire che: Se la soluzione esiste, è anche unica. Questo implica la capacità di prevedere il moto di un corpo. La soluzione x(t) dipende da DUE costanti, che possono essere determinate a partire, per esempio, da posizione e velocità iniziali.

41 41 / 55 Abbiamo già risolto il moto di un corpo conoscendone l accelerazione, per cui abbiamo già un certo numero di soluzioni dell equazione F = ma. F = 0. Accelerazione nulla e moto rettilineo uniforme. F = F 0. Moto ad accelerazione costante: moto rettilineo uniformemente accelerato o moto parabolico, in funzione delle condizioni iniziali (velocità iniziale orientata o meno lungo la forza). F = rf 0. Moto con accelerazione costante diretta verso l origine: moto circolare uniforme - SOLO nel caso che la velocià iniziale e la posizione iniziale siano tali da avere la relazione F 0 = v2 0 x 0, e che velocità iniziale e posizione iniziale siano perpendicolari tra di loro... Affrontiamo ora l equazione di un corpo soggetto a forze elastiche.

42 Equazione di un corpo attaccato ad una molla Un corpo legato ad una molla attaccata ad un muro è soggetto ad una forza che dipende dalla sua posizione in un sistema di riferimento unidimensionale. F = k(x(t) l 0) = ma(t) 42 / 55

43 Equazione di un corpo attaccato ad una molla Un corpo legato ad una molla attaccata ad un muro è soggetto ad una forza che dipende dalla sua posizione in un sistema di riferimento unidimensionale. F = k(x(t) l 0) = ma(t) 43 / 55

44 Equazione di un corpo attaccato ad una molla Un corpo legato ad una molla attaccata ad un muro è soggetto ad una forza che dipende dalla sua posizione in un sistema di riferimento unidimensionale. F = k(x(t) l 0) = ma(t) 44 / 55

45 Soluzione dell equazione elastico La soluzione dell equazione differenziale ma(t) + k(x(t) l 0 ) = 0 è: F = k(x(t) l 0 ) = ma(t) x(t) = l 0 + A sin(t k/m + φ) ω 0 = k/m x(t) l 0 = x(t) = A sin(ω 0 t + φ) v(t) = dx(t) dt = ω 0 A cos(ω 0 t + φ) Lo spostamento del corpo dalla posizione di equilibrio - quella in cui il corpo è sottoposto a forza nulla - è descritta da una sinusoide di pulsazione ω 0 = k/m. 45 / 55 Le costanti A (elongazione) e φ (fase iniziale) sono determinate a partire dalla posizione e velocità ad un momento.

46 Soluzione dell equazione elastico Diamo per esempio le condizioni al contorno x(0) = X 0 e v(0) = 0. x(0) = l 0 + A sin(φ) = X 0 v(0) = Aω 0 cos(φ) = 0 φ = π/2 x(0) = l 0 + A = X 0 A = X 0 l 0 x(t) = l 0 + (X 0 l 0 ) cos(ω 0 t) v(t) = ω 0 X 0 sin(ω 0 t) 46 / 55

47 Moto elastico 47 / 55

48 Moto elastico 48 / 55

49 Moto elastico 49 / 55

50 Moto elastico 50 / 55

51 Moto elastico 51 / 55

52 Moto elastico 52 / 55

53 Moto elastico 53 / 55

54 Moto elastico I concetti di posizione di equilibrio e forza proporzionale alla deformazione risultano utili per descrivere il moto di un corpo appeso verticalmente ad una molla. Se un corpo è sottoposto a forze costanti ed ad una forza elastica il suo moto è una oscillazione sinusoidale intorno alla posizione di equilibrio. La frequenza di oscillazione è sempre fissata dalla massa del corpo e dalla costante elastica della molla e non dipende dalle altre forze costanti. 54 / 55

55 Moto elastico ma(t) = F el + mg a(t) = 0 F el = mg F el = k(x(t) l 0) x eq = mg k + l0 ma(t) = k(x(t) x eq) 55 / 55