Equazioni del moto in 1 dimensione:

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1 Equazioni del moto in 1 dimensione: O Velocità media come rapporto incrementale tra spazio percorso e tempo In generale la velocità varia istante per istante 1

2 Velocità istantanea: limite del rapporto incrementale DERIVATA x dx(t ) v lim t 0 t dt La velocità è una grandezza derivata e nel SI si misura in m/s Accelerazione media a = v (t ) v ( t 1 ) t t 1 Δv Δt Accelerazione istantanea v dv(t ) d x(t ) a lim t 0 t dt dt Nel SI [a] = m/s

3 Cosa provoca le variazioni di velocità? LA FORZA F = ma Se m = 1 kg e a = 1 m/s : Newton (N) 3

4 Un esempio semplice di integrazione dell equazione del moto: il moto uniformemente accelerato. Ipotesi: la forza che agisce è costante: Per sapere come varia nel tempo la velocità e quale sia la legge oraria x(t) dobbiamo risolvere l equazione differenziale Prima integrazione: t t dv dt dt= a 0 dt=a 0 (t t0 ) v (t)=v 0 +a 0 t t t 0 0 Seconda integrazione: t t t dx 1 dt = v dt= (a t+v )dt= a (t t dt )+v 0 (t t 0) t t t x (t)= a 0 t +v 0 t+ x 0 se t 0=0 4

5 In conclusione, le formule del moto uniformemente accelerato sono Con v0 e x0 costanti arbitrarie determinate dalle condizioni iniziali: 5

6 i Equazioni del moto in 3 dimensioni: C B A Vettore: entità geometrica dotata di MODULO, DIREZIONE e VERSO Verso B A Direzione Modulo 6

7 OPERAZIONI COI VETTORI Moltiplicazione di un vettore per un numero 7

8 Somma di vettori C AC BC AB A B AC = AB + BC Regola del parallelogramma AB C BC A AC B 8

9 Differenza di due vettori Nel parallelogramma dei vettori la diagonale maggiore dá la somma, quella minore la differenza dei due vettori 9

10 In due o tre dimensioni spostamenti, velocità, accelerazioni e forze sono descritte da vettori. O 10

11 La velocità istantanea come vettore deve essere tangente alla traiettoria O In generale la velocità è un vettore dipendente dal tempo: 11

12 Allora posto L accelerazione istantanea come vettore sarà definita come a = lim Δ t 0 ( Δ v Δt ) Vettori saranno pertanto anche le forze A parità di modulo della forza due situazioni diverse 1

13 Moto parabolico in D 1 r = r 0 + v 0 t + at Equazioni del moto in forma vettoriale. Condizioni iniziali x =0= y 0=0 v x 0 0 v y

14 Equazione della traiettoria: esprimere y in funzione di x mentre la soluzione dà x e y in funzione di t. Calcolare massima altezza e massima distanza v0 x v0 y xm = g v 1 0y ym = g Oppure: 14

15 MOTO CURVO IN GENERALE Abbiamo visto che il vettore velocità è sempre tangente alla traiettoria. Nulla invece si può dire in generale della accelerazione. Accelerazione centripeta Cambiamento del modulo di Cambiamento della direzione di 15

16 Moto circolare uniforme x=r cos ( ωt ) y=r sin ( ωt ) 16

17 Accelerazione centripeta v=v sin( θ)=v θ v a= =v θ =v ω t t v a=v ω= =ω R R In forma vettoriale (ricordare la regola della mano destra per il verso del vettore rotazione): R v = ω a= ω v 17

18 Se l accelerazione è diversa da zero deve esistere una forza diretta verso il centro che tiene il corpo vincolato alla traiettoria: N.B. Questa relazione è di natura generale, vale per qualunque moto circolare uniforme, in quanto segue dalla natura cinematica del moto. Quale forza stia agendo dipende dal particolare problema. Fionda Tensione della fionda Sistema Terra-Luna Forza gravitazionale Atomo H Forza elettrica 18

19 Un velocista corre i 100 m in 10 s. Si approssima il moto ipotizzando una accelerazione costante a per i primi 15 m e poi una velocità costante v per i rimanenti 85 m. Si calcoli: a) il tempo t1 impiegato per percorrere i primi 15 m, b) il tempo t impiegato per percorrere gli 85 m, c) la accelerazione a dei primi 15 m, d) La velocità finale v x (t 1)=1/ a t 1=15 m v ( t 1 )=a t 1 Cercare equazione in t1 x (t f )=x (t 1)+ v (t 1)( t f t 1)= x (t 1 )+ a t 1 (t f t 1 ) x (t 1) t 1 x (t f )=x (t 1)+ (t f t 1 ) t1 Con t f =10 s, x ( t f )=100 m, x( t 1 )=15 m t f x (t 1) t 1= = =.61 s x (t f )+ x ( t 1 ) t =t f t 1=7.39 s a= x (t 1)/ t 1=4.4 m / s v f =a t 1=11.4 m/ s=41 km/ h 19

20 La centrifuga di una lavatrice compie 1500 giri al minuto. Se il cestello ha un diametro di 55 cm, calcolare la velocità angolare, la frequenza e il periodo del moto π ω= =157 rad / s 60 ω T = π π T = ω =0.04 s 1 1 ν= =5 s T Un treno stà viaggiando ad una velocità v= 100 km/h e deve affrontare una curva di raggio R = 1 km. Poichè la massima accelerazione accettabile dai passeggeri è 0.6 m/s, calcolare se il macchinista deve frenare prima della curva. v 3 v =ω R ω= =100 rad / h= rad / s R a=ω R=0.77 m / s SI, deve frenare 0

21 Davide fa ruotare la corda della sua fionda lunga 30 cm per lanciare un proiettile. Quando lascia andare, il proiettile viaggia a 00 km/h. Qual'è la velocità angolare della fionda nel momento in cui Davide lascia la presa? v =ω R= ω= =55.6 m / s =185.1 rad / s 0.3 n giri al secondo 9.5 1