Corso di Fisica Esercizi

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1 Corso di Laurea in Medicina e Chirurgia Corso di Fisica Esercizi Prof.ssa Laura Marzetti 1

2 Un aereo percorre 100 km a una velocità di 800 km/h; poi aumenta la sua velocità a 1000 km/h per i successivi 1800 km. Quanto dura complessivamente il viaggio? Quanto vale la velocità scalare media durante il viaggio? v 1 = 800 km/h v = 1000 km/h 100 km 1800 km s 1 t 1 = v = km 800 km/h =.65 h s t = = v 1800 km 1000 km/h = 1.8 h

3 t totale = t 1 + t = 4.45 h s totale = s 1 + s = 3900 km s totale v media = = t totale 3900 km 4.45 h = km/h = km/h

4 Una velocista accelera da ferma a 10.0 m/s in 1.35 s. Qual è la sua accelerazione (a) in m/s e (b) in km/h? v iniz = 0 m/s v fin = 10.0 m/s a = v t v = v fin v iniz = 10.0 m/s 0 m/s = 10 m/s t = 1.35 s a = v t = 10.0 m/s 1.35 s = m/s = 7.41 m/s

5 1 m s = h km = km/h = 3.6 km/h 1 1 m 1000 = s h km = h km/h = 1960 km/h 7.41 m/s = km/h = km/h = km/h

6 Moto uniformemente accelerato Fissato un opportuno sistema di riferimento, un punto materiale che si muove di moto uniformemente accelerato (a = costante) occupa nel tempo posizioni che sono descritte dalla relazione: s(t) = s v 0 t + a t s(t) s 0 v 0 a = posizione all istante t = posizione iniziale = velocità iniziale = accelerazione del punto materiale

7 Moto uniformemente accelerato Spesso il moto può essere studiato più vantaggiosamente attraverso le componenti lungo gli assi cartesiani: 1 x(t) = x 0 + v 0x t + a x t 1 y(t) = y 0 + v 0y t + a y t Se a = 0, il moto è rettilineo uniforme: x(t) = x 0 + v 0x t y(t) = y 0 + v 0y t

8 Un cannone spara un proiettile con una velocità v 0 = 100 m/s. Trascurando l attrito dell aria: a) stabilire se il proiettile può colpire un bersaglio che si trova a una distanza L= km dal punto di lancio e alla stessa altezza; b) calcolare la velocità minima di lancio perché venga colpito il bersaglio. y g v 0 α G x

9 y g Condizioni iniziali: x 0 = 0, y 0 = 0 v 0 α Leggi orarie: G x(t) = (v 0 cosα) t 1 y(t) = (v 0 senα) t - g t x v 0x = v 0 cosα v 0y = v 0 senα pongo y = 0 nella seconda e risolvo rispetto a t: (v 0 senα) t - 1 g t = 0 t = 0; t = v 0 senα g

10 y g Sostituisco il valore trovato per t nella legge oraria x(t) per trovare la gittata G: v 0 α G x G = (v 0 cosα) v 0 senα g = v 0 g senα cosα v 0 = sen α g G dipende da v 0 e da α. Per v 0 fissata, G sarà massima quando senα = 1, cioè quando α = 45 : v 0 G max = = 1, m < L g

11 y g v 0 α G x b) Voglio che G max sia uguale ad L: v 0min G max = = L v 0min = Lg = 10 4 = 140 m/s g

12 Un masso poggia su una rupe alta 400 m. Ad un certo punto il masso rotola giù staccandosi dalla rupe con una velocità di 50 m/s. A valle c è una città a 300 m dalla base della rupe. Determinare: a) se il masso colpirà la città oppure no; b) la velocità del masso quando colpirà il suolo; c) la componente orizzontale della velocità al momento dell impatto; d) quanto tempo resterà in aria il masso. y Condizioni iniziali: 400 m 30 v 0 = 50 m/s x 0 = 0; y 0 = 400 m v 0x = v 0 cos 30 = 43,3 m/s v 0y = - v 0 sen 30 = 5 m/s 300 m x

13 Le leggi orarie diventano: x(t) = v 0x t 1 y(t) = y 0 + v 0y t + a y t x(t) = 43,3 t 1 y(t) = t - 10 t All istante di impatto col suolo avrò y = 0. Per trovare questo istante pongo y(t) = 0 e risolvo rispetto al tempo: - 11,8 s t - 10 t = 0 t = 6,78 s Sostituisco questo tempo nella legge oraria per x e trovo la gittata: x(6,78) = 43,3 6,78 = 93,84 m

14 y b) la velocità del masso quando colpirà il suolo; c) la componente orizzontale della velocità al momento dell impatto; d) quanto tempo resterà in aria il masso. Velocità iniziale: v 0 = 50 m/s 400 m v 0x = v 0 cos 30 = 43,3 m/s v 0y = - v 0 sen 30 = 5 m/s v x (t) = v 0x = 43,3 m/s v fx x v y (t) = v 0y + a y t v fy v f v y (t) = t v y (6,78) = ,78 = -9,8 m/s v f = v fx + v fy = 10,4 m/s

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16 0 0 1 ) ( = = + + = v x at t v x t x a) Quanto tempo impiega per percorrere il primo centimetro? t = = t s t 8 10 =

17 b) Qual è la sua velocità dopo aver percorso il primo centimetro? v( t) = v 0 + at = = = 10 6 m / s c) Quanto tempo impiega a percorrere gli altri 10 cm fino allo schermo?

18 Un grave P 1 viene lasciato cadere liberamente da una quota h. Un secondo grave P viene contemporaneamente lanciato dal suolo verso l alto. Trascurando la resistenza dell aria, calcolare: a) la velocità v 0 con cui deve essere lanciato P se si vuole che i due gravi arrivino a terra nello stesso istante; b) la quota di P 1 nell istante in cui P inverte il suo moto. y P1 h P

19 a) y Condizioni iniziali: h P1 P y 01 = h, y 0 = 0 v 01 = 0 v 0 devo determinarla y 1 (t) = - 1 g t + h y (t) = - 1 g t + v 0 t pongo y = 0 in entrambe (si vuole che i due gravi arrivino a terra nello stesso istante) e risolvo rispetto a t: t 1 = t 1 - g t + h = g t + v 0 t = 0 t 1 = ± h g t = 0; t = v 0 g h g = v 0 g v 0 = gh

20 b) y P1 y 1 P Calcolare la quota di P1 quando P inverte il suo moto Per trovare il tempo al quale P inverte il suo moto osserviamo che ciò avviene quando la sua velocità diventa uguale a zero. La velocità in funzione del tempo varia secondo la legge: v (t) = v 0 - g t Quindi pongo v=0 nella legge oraria per la velocità e risolvo rispetto a t: v 0 - g t = 0 t = v 0 g gh 1 = = g h g Sostituisco questo tempo nella legge oraria per y 1 : y 1 (t) = - 1 g t + h 1 h 3 y 1 = - g + h = h g 4

21 Una pietra viene lanciata verticalmente verso l alto dal bordo del tetto di un edificio con una velocità iniziale di 5.0 m/s. L edificio è alto h = 50.0 m. Determinare: a) Il tempo impiegato dalla pietra per raggiungere la massima altezza; b) la massima altezza raggiunta; c) il tempo impiegato dalla pietra per raggiungere terra, cioè la base dell edificio; d) la velocità della pietra dopo t = 3.0 s dal lancio. y v 0 h x

22 y v 0 h g x Il moto considerato è quello di un grave, cioè un moto uniformemente accelerato. 1 y ( t ) = y0 + v0 t gt a) Il tempo impiegato per raggiungere il punto di massima altezza. v ( t ) = v gt 0 Nel punto di massima altezza: v ( t ) = 0 v gt 0 0 MAX = v0 5.0 t MAX = = =. 6s g 9.8

23 y v 0 h g b) La massima altezza raggiunta x v0 5.0 t MAX = = =. 6s g y ( t ) = y0 + v0t gt y MAX ( t MAX ) = h + v t = = 8.9m 0 MAX 1 1 gt = 9.8 (.6) =

24 y v 0 h g c) Il tempo impiegato dalla pietra per raggiungere terra x Quando la pietra tocca terra: y( t) = 1 v 0 t h h + v0 t gt = 0 t = 0 g g t = v g ± ± v g h g = 0 6.7s = 1.5s

25 y v 0 h g d) la velocità della pietra dopo t = 3.0 s dal lancio x v ( t ) = v0 gt = = 4.4m / s

26 Quanti giri al minuto deve fare una centrifuga per produrre un accelerazione di 31 g su una persona posta a 5 m dal centro? R = 5 m R Quanti giri al minuto per ottenere un accelerazione centripeta a c = 31 g = = 310 m/s? L accelerazione centripeta vale V /R dove V è la velocità tangenziale V a c = = 310 m/s R La velocità angolare è V = = 39,37 m/s V 39,37 ω = = = 7,87 rad/s R 5

27 1 giro = π rad; 1 minuto = 60 s R 7,87 rad/s = 7,87 / π giri/s = 7,87 60 / π = 75,19 giri/min Oppure: V = 39,37 m/s 1 giro = πr metri giri/min = V πr 60 = 1,5 60 = 75,19 giri/min Ricordiamo che la frequenza ν = 1/T si misura in Hertz: 1 Hz = 1s -1

28 Un corpo è tenuto fermo da un cavo lungo un piano inclinato privo di attrito. (a) se θ = 60 e m = 50 kg, si trovino la tensione nel cavo e la forza normale esercitata dal piano inclinato. (b) si trovi la tensione in funzione di θ e di m e si controlli il risultato per θ = 0 e θ = 90. R T θ P

29 Un corpo è tenuto fermo da un cavo lungo un piano inclinato privo di attrito. (a) se θ = 60 e m = 50 kg, si trovino la tensione nel cavo e la forza normale esercitata dal piano inclinato. (b) si trovi la tensione in funzione di θ e di m e si controlli il risultato per θ = 0 e θ = 90. R T θ P

30 Un corpo è tenuto fermo da un cavo lungo un piano inclinato privo di attrito. (a) se θ = 60 e m = 50 kg, si trovino la tensione nel cavo e la forza normale esercitata dal piano inclinato. (b) si trovi la tensione in funzione di θ e di m e si controlli il risultato per θ = 0 e θ = 90. Per i moduli: P T = P sen θ = mg sen θ R T P N = P cos θ = mg cos θ P T = sen 60 = 433 N P N = cos 60 = 50 N P T θ P P N

31 (b) T = mg sen θ : θ = 0 T = 0 θ = 90 T = mg = P R T P T P N θ P

32 Un peso di 80 N è sostenuto da un cavo attaccato a un puntone incernierato ad un muro. Il puntone è sostenuto da un secondo cavo, nel quale c è la tensione T, com è mostrato in figura. La massa del puntone è trascurabile. Quali sono le tre forze che agiscono sul puntone? y 30 x

33 y T R 30 T 1 x

34 y R T T x 30 T y Condizioni di equilibrio per il puntone -T 1 + T y = 0 T 1 T x + R x = 0 x y 30 80N T 1 Condizioni di equilibrio per la massa x T 1 80 = 0 T 1 = 80N

35 y R T x T 30 T y T 1 x -T 1 + T y = T y = 0 T y = 80 N T = T y / sen 30 = 160 N T x = -T cos 30 = -138,5 N T x + R x = 0 R x = 138,5 N

36 Due corpi di 5 kg sono collegati da una corda leggera, com è mostrato in figura. Il tavolo è privo d attrito e la corda scorre su un piolo privo d attrito. Si trovi l accelerazione delle masse e la tensione nella corda. M 1 T M M g

37 M 1 M g -T = M a T = M 1 a M M g - M 1 a = M a T = M 1 a M g = (M 1 + M ) a T = M 1 a a = g/ = 5 m/s T = M 1 a T = M 1 a = 5 N

38 M 1 T M T = M 1 + M F T = M g II legge della dinamica: M F T = M T a M g a = F T M T 5g = = 0,5 g 10 T = M 1 a = 5 0,5 g = 5 N

39 Un corpo di kg è sospeso a un dinamometro (tarato in Newton) attaccato al soffitto di un ascensore. Che cosa indica il dinamometro (a) se l ascensore sale con la velocità costante di 30 m/s, (b) se l ascensore scende con la velocità costante di 30 m/s e (c) se l ascensore accelera verso l alto con l accelerazione di 10 m/s? (d) Da t=0 a t=s l ascensore sale a 10 m/s; poi la velocità viene ridotta uniformemente a zero nei s successivi, fino a fermarsi a t= 4 s. Si descriva l indicazione del dinamometro nell intervallo di tempo tra t=0 e t=4s.

40 (a) V costante: T sommatoria delle forze che agiscono sul corpo = 0 P Quindi T = P = 0 N (b) V costante: come in (a)

41 (c) T a m = kg a = 10 m/s sommatoria delle forze che agiscono sul corpo = ma P Considerando i moduli: T - P = ma T = P + ma = mg + ma = 40 N

42 (d) T P a da 0 a s V = cost: T = 0 N da a 4s a = V/ t = -10/ = -5m/s T - P = - ma T = P - ma = mg - ma = 10 N

43 Una palla di kg legata ad una corda viene fatta ruotare su una circonferenza orizzontale con raggio 0.4 m. La corda forma un angolo di 30 con la verticale. Si trovi la tensione nella corda e la velocità della palla. 30 T T y T x 0.4 m P

44 30 T x 0.4 m T T y Asse y: T y = P = mg Asse x: T x = ma c = m V R 3 T y = T sen 60 = T 1 P T x = T cos 60 = T 3 T = 10 1 V T = T = N V = T 4 T = 3.1 N V = 1.5 m/s

45 Un camion pieno di salami, ognuno dei quali ha una massa m, percorre una curva di raggio R con una velocità v. Se i salami sono appesi al tetto del camion per mezzo di corde, che angolo formano con la verticale mentre il camion percorre la curva? α T T y v R T x P

46 Asse y: T y - mg = 0 Asse x: T x = ma c T y T x = mg = m v R T x T y = tg α v v tg α = v α = arctg v Rg Rg α T T y R T x P

47 Due corpi vengono spinti su una superficie orizzontale priva di attrito, com è mostrato in figura. Le masse dei corpi sono kg e 1 kg. La spinta sul corpo di kg è di 5 N. (a) Quale è l accelerazione del sistema? (b) Quale è l accelerazione del corpo di 1 kg? Si trovi la forza risultante che agisce su questo corpo. (c) Si mostrino tutte le forze che agiscono sul corpo di kg. Quale è la forza risultante che agisce su di esso? (a) M T = M A + M B F = 5 N M A = kg M B = 1 kg II legge della dinamica: F = M T a a = = 1,67 m/s F M T

48 M A = kg M B = 1 kg F AB (b) a B = a = 1,67 m/s F B = F AB = M B a B = 1,67 N

49 F = 5 N M A = kg M B = 1 kg F BA F AB (c) F BA = - F AB = - 1,67 N F A = F - F AB = 3,33 N

50 Si trovi la velocità della massa di kg, inizialmente ferma, dopo che è discesa di un tratto di m, trascurando l attrito. M 1 M 1 = 4 kg M = kg M m V?

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52 M 1 M m Conservazione dell energia Meccanica: E i = E f V? E pi = M gh E ci = 0 E pf = 0 E i = + E f = + E cf = ½ M 1 V 1 + ½ M V

53 M gh = ½ M 1 V + ½ M V M gh = ½ V ( M 1 + M ) V = M gh /( M 1 + M ) V = 3.65 m /s

54 Il sistema in figura è inizialmente fermo quando si taglia il tratto inferiore di corda. Si trovi la velocità dei due oggetti nell istante in cui sono alla stessa quota. M 1 = 3 kg M = kg M 1 1 m Conservazione dell energia Meccanica: E i = E f M

55 M 1 E i = E f 1 m E ci+ E pi = E cf + E pf M 0 + M 1 gh = ½ M 1 V 1 + ½ M V + M 1 gh 1 + M gh ma V 1 = V ; h 1 = h = h/ M 1 gh = ½ (M 1 + M )V + (M 1 + M ) gh/ = ½ (3+)V + (3+)10 0,5 V = 1,41 m/s

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58 Una slitta, lanciata su un piano ghiacciato orizzontale alla velocità v = 4 m/s, si ferma dopo aver percorso uno spazio S = 8 m. Trascurando la resistenza dell aria, calcolare: (a) il coefficiente di attrito fra il piano e la slitta; (b) Il valore della forza di attrito se la slitta ha massa M = 40 kg. v F a S (a) L= E c = E cf - E ci = 0 ½ MV = -½ MV L= F a S = µ d MgS -½ MV = µ d MgS V µ d = = 0,1 gs

59 (b) F a = µ d Mg = 0,1 40 9,8 = 39, N

60 Un blocco di kg, inizialmente fermo, striscia lungo una rampa curva priva di attrito partendo da una quota di 3 m. Esso poi striscia per 9 m su una superficie orizzontale ruvida prima di fermarsi. (a) Qual è la velocità del blocco in fondo alla rampa? (b) Quanto lavoro viene compiuto sul blocco dalla forza di attrito? (c) Qual è il coefficiente d attrito tra il blocco e la superficie orizzontale? A 3 m 9 m B C

61 A 3 m 9 m B C (a) E A = E B E ca + E pa = E cb + E pb 0 + Mgh = ½ M V B + 0 Mgh = ½ M V B V B = (gh) 1/ = 7,75 m/s

62 A 3 m 9 m B C (b) Quanto lavoro viene compiuto sul blocco dalla forza di attrito? (c) Qual è il coefficiente d attrito tra il blocco e la superficie orizzontale? (b) L = E c = 0 ½ M V B = - 60 J (c) L= F a S = µ d MgS (cos180 = -1) -60 = µ d MgS -60 = µ d 10 9 µ d = 1/3

63 Un blocco di 3 kg, inizialmente fermo, viene lasciato cadere da una quota di 5 m su una rampa curva priva di attrito. In fondo alla rampa c è una molla di costante elastica k= 400 N/m. Il blocco striscia giù lungo la rampa e colpisce la molla, accorciandola di un tratto x prima di fermarsi. Si trovi x. h = 5 m A B x

64 h=5 m A B Conservazione dell energia: ½ MV B = ½ k x x ma ½ MV B = Mgh Mgh = ½ k x x = Mgh k x = 0,87 m