Cinematica del punto materiale

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1 Cinematica del punto materiale Punto materiale Velocità e accelerazione Moto rettilineo uniforme Moto naturalmente accelerato Moto parabolico Moto armonico Antonio Pierro Per consigli, suggerimenti, eventuali errori o altro potete scrivere una a antonio.pierro[at]gmail.com Typesetting math: 100%

2 Punto materiale In Fisica, si definisce punto materiale un corpo privo di dimensioni, o le cui dimensioni sono trascurabili rispetto a quelle della regione di spazio in cui può muoversi e degli altri oggetti con cui può interagire. Esempio: se si vuole studiare il moto della Luna rispetto alla Terra, sia la Luna che la Terra possono essere approssimate a punti materiali, dato che le loro dimensioni sono molto più piccole rispetto alla loro distanza.

3 Velocità 1/2 Consideriamo un punto mobile P sopra una qualsiasi linea. Se P si muove sulla curva al variare del tempo t, allora sarà funzione di t e si s s = s (t) scriverà: Se dopo un intervallo di tempo Δt, cioè all'istante t + Δt, il punto mobile si troverà in Q, lo spazio percorso a quell'istante sarà: Osserviamo dunque che all'incremento Δt della variabile tempo corrisponde, per lo spazio, l'incremento: (t + t) che rappresenta lo spazio percorso da P nel tempo s = (t + t) (t) s s s t

4 Velocità 2/2 Si definisce velocità media del punto mobile: s t = (t + t) (t) Facciamo tendere a zero l'incremento Δt del tempo: lim s s t 0 Si definisce velocità istantanea la derivata dello spazio rispetto al tempo: v t s (t + t) (t) t s s ds = lim = = t 0 t dt s

5 Accelerazione 1/2 La velocità istantanea è una funzione del tempo t e quindi nell'intervallo di tempo subirà la variazione: t = (v + t) (t) v v v Si definisce accelerazione media del punto materiale: v t = v (t + t) (t) Si definisce accelerazione istantanea la derivata della velocità rispetto al tempo: a t v v dv = lim = = t 0 t dt v

6 Accelerazione 2/2 L'accelerazione istantanea è la derivata della velocità rispetto al tempo e quindi è la derivata seconda dello spazio percorso rispetto al tempo. a d v (t) d ds d (t) = = = 2 s (t) = (t) dt dt dt dt 2 s

7 Moto rettilineo uniforme 1/2 Un corpo si muove di moto rettilineo e uniforme se mantiene una velocità costante in modulo, direzione e verso. Legge oraria del moto rettilineo e uniforme: ds v = d s = v dt s d s = t v dt dt s 0 t 0 t 0 = 0 s s 0 = v t s = s 0 + v t

8 Moto rettilineo uniforme 2/2

9 Moto rettilineo uniformemente accelerato 1/2 Un corpo si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato se mantiene una accelerazione costante in modulo, direzione e verso. Legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato: dv a = d v = a dt v d v = t a dt v = v + t dt 0 a v 0 0 ds = v + t d = dt + tdt dt 0 a s v 0 a s s ds = t v 0 dt + t a tdt s = s 0 + v 1 0 t + s a t 2

10 Moto rettilineo uniformemente accelerato 2/2

11 Moto parabolico Il moto parabolico è un tipo di moto bidimensionale esprimibile attraverso la combinazione di due moti rettilinei simultanei e indipendenti: moto rettilineo uniforme moto uniformemente accelerato. Si dimostra che la traiettoria del moto parabolico rappresenta una parabola.

12 Traiettoria del moto parabolico Si supponga che un corpo sia lanciato con velocità iniziale v 0 con un angolo rispetto all'asse x orizzontale. Il vettore velocità può essere scomposto lungo le due componenti x e y: v 0 = v cos( ) i 0 + v sen( ) j 0 Le leggi orarie dei moti lungo gli assi x e y sono: 1 x(t) = v 0 cos( ), y(t) = v 0 sin( )t g 2 t2 Esplicitando il parametro t dalla legge oraria x(t) e sostituendo in y(t) si ottiene una parabola con concavità rivolta verso il basso: y = x tang g 2v 2 co ( 0 s 2 x 2 ) e

13 Animazione del moto parabolico

14 Moto circolare Il moto circolare è il moto di un punto materiale lungo una circonferenza. Lo spostamento lineare del punto sulla circonferenza dr sarà legato allo spostamento angolare : d R R d = d La velocità angolare è definita come la derivata, rispetto al tempo, del vettore spostamento angolare: d rad dr = [ ] v (t) = = dt s dt R

15 Moto circolare uniforme Un corpo si muove di moto circolare uniforme se mantiene una velocità angolare costante in modulo, direzione e verso. d = = costante d = dt dt d = t dt = 0 + t 0 o

16 Moto circolare uniformemente accelerato Un corpo si muove di moto circolare uniformemente accelerato se mantiene un' accelerazione angolare in modulo, direzione e verso costante. = = cost dt (t) = dt Integrando l'equazione differenziale : (t) = 0 + t 1 (t) = t + t 2 2

17 Moto armonico - funzione periodica In Matematica una funzione si dice periodica se assume valori che si ripetono esattamente a intervalli regolari. f : A > B periodica di periodo T x A : f(x) = f(x + T) Le funzioni trigonometriche seno e coseno sono periodiche di periodo 2.

18 Moto Armonico 1/2 Si definisce moto armonico il moto di un punto materiale la cui legge oraria è una funzione periodica del tipo: x(t) = Asen( t + 0 ) dove A è l'ampiezza dell'oscillazione, 0 è la fase iniziale e è la pulsazione Per un moto armonico così definito si dimostra che il periodo è: T = 2

19 Moto Armonico 2/2 La velocità e l'accelerazione sono rispettivamente la derivata prima e seconda della legge oraria, ovvero: dx(t) v(t) = = Acos( t + ); dt dv(t) d(t) = = 2 Asin( t + ); dt

20 Rappresentazione grafica del moto armonico 1/2

21 Rappresentazione grafica del moto armonico 2/2