Appunti di Cinematica

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1 Appunti di Cinematica Thomas Bellotti 28 novembre 2010 Indice 1 Punto materiale, traiettoria e legge oraria Il punto materiale La traiettoria Il sistema di riferimento La legge oraria Formule costanti legge oraria Spazio percorso e spostamento La velocità Velocità media ed istantanea Il moto rettilineo uniforme e uniformemente accellerato Il moto rettilineo uniforme Legge oraria del moto uniforme Rappresentazione graca del moto rettilineo uniforme Formule derivate dalla legge oraria Rappresentazione spazio percorso graco velocità-tempo Il moto rettilineo uniformemente accellerato L'accellerazione media L'accellerazione istantanea Misura dell'accellerazione Legge oraria del moto uniformemente accellerato Relazione velocità-tempo Il carattere vettoriale dell'accellerazione Punto materiale, traiettoria e legge oraria 1.1 Il punto materiale Siccome per studiare correttamente il movimento di un corpo istante per istante occorrerebbe eettuare calcoli su tutte le sue parti, si tende per convenzione, ad utilizzare un punto, dotato di massa, che rappresenti il corpo che si muove nello spazio. Assumiamo perciò che il punto materiale sia: un punto geometrico dotato di massa che rappresenta un oggetto che si muove nello spazio. 1

2 Ne consegue quindi che questi punti rappresentino un modello, molto semplicato, che però consente di studiare una grande quantità di fenomeni che altrimenti sarebbero molto più complessi da analizzare La traiettoria Nel suo movimento, il punto materiale occupa nello spazio dei punti diversi, via via che si muove, che insieme formano una linea detta appunto traiettoria. Ovviamente la traiettoria approssima il movimento reale quanto più l'oggetto rappresentato dal punto materiale é piccolo. Alla luce di ciò la denizione di traiettoria é: l'insieme delle posizioni occupate dal punto materiale nel suo movimento. Non bisogna confondere la traiettoria con i graci velocità-tempo e spaziotempo che vedremo successivamente. 1.3 Il sistema di riferimento Per eettuare un'analisi di tipo quantitativo di un moto occorre un sistema di riferimento idoneo a rappresentarlo. A seconda del tipo di moto il sistema di riferimento può essere monodimensionale (retta r), bidimensionale (piano cartesiano π con due assi) e tridimensionale (piano cartesiano con tre assi x, y, z nello spazio). Assumiamo quindi che il sistema di riferimento: consente di individuare la posizione del punto materiale mediante una o più coordinate spaziali. 1.4 La legge oraria Un aspetto fondamentale della cinematica é determinare la posizione del punto materiale in funzione del tempo. Questo é possibile tramite la legge oraria. Ecco una denizione: la legge oraria é quella relazione sico-matematica che stabilisce una relazione tra tempo e spazio percorso. Questa quindi ci permette di calcolare lo spazio percorso dal punto sulla traiettoria nel generico instante t. Ecco l'esempio di due generiche leggi orarie: s = kt 2 s = ht 2 3 Dove h e k rappresentano due generiche costanti Formule costanti legge oraria Le unità di misura delle costanti precedentemente menzionate si ottengono grazie alle seguenti relazioni: k = s t = m s k = s t 2 = m s 2 1 ad esempio la caduta di un corpo. 2 legge oraria di un moto rettilineo uniforme. 3 legge oraria del moto rettilineo uniformemente accellerato. 2

3 1.4.2 Spazio percorso e spostamento É importante denire la dierenza che c'é tra spazio percorso e spostamento. Le loro denizioni sono le seguenti. Lo spazio percorso é individuato dalla lunghezza del tratto di traiettoria percorso dal punto materiale. Esso é una grandezza scalare. Lo spostamento é invece: una grandezza vettoriale la cui direzione coincide con la retta che va dal punto iniziale al punto nale dello spostamento e l'intensitá é individuata dalla lunghezza del segmento i cui estremi sono in punto iniziale ed il punto nale. 4 2 La velocità In questa sezione sono presentati i concetti che stanno alla base della descrizione del movimento di un corpo. 2.1 Velocità media ed istantanea La velocità media é il rapporto fra lo spazio percorso e l'intervallo di tempo impiegato a percorrerlo. In termini matematici questo si esprime con la seguente formula: v m = s 2 s 1 Tale informazione sulla velocità del punto materiale é tanto più precisa quanto più gli intervalli di tempo sono piccoli; e quindi t tende a zero. 5 In questo caso la velocitá é appunto detta velocità istantanea. V ist = s t per t 0 3 Il moto rettilineo uniforme e uniformemente accellerato 3.1 Il moto rettilineo uniforme Si denisce moto rettilineo uniforme il moto di un punto materiale che descrive una traiettoria rettilinea con velocità costante. Sulla base della formula v m = s2 s1 t 2 t 1 vista precedentemente si può dedurre che, se la velocità é costante nel tempo, il valore dello spazio precorso é direttamente proporzionale all'intervallo del tempo stesso Legge oraria del moto uniforme In base alla precedente considerazione sul moto rettilineo uniforme, osserviamo che: v = s 2 s 1 = costante 4 in seguito ci riferiremo sempre allo spazio percorso e non allo spostamento, per quanto riguarda la trattazione delle leggi orarie. 5 qui entra in gioco il campo del calcolo innitesimale 3

4 e da questa formula ricaviamo che la legge oraria del moto uniforme sia la seguente: s 2 s 1 = v ( ) Rappresentazione graca del moto rettilineo uniforme Quindi, su un graco spazio-tempo, questo tipo di moto apparirà come una retta non parallela a nessun asse cartesiano; cioè nella forma: y = mx + q con m 1 Diversamente, su un graco velocità-tempo, il moto appare come una retta parallela però all'asse x; quindi nella forma: y = q Formule derivate dalla legge oraria Dopo aver osservato la formula della legge oraria del moto rettilineo uniforme, deriviamo anche le seguenti formule matematiche: v = s t = costante e in più: s = v t Rappresentazione spazio percorso graco velocità-tempo Nel graco velocità-tempo, lo spazio percorso dal punto materiale é l'area sottesa dalla retta che rappresenta il moto dell'oggetto preso in considerazione rispetto all'asse x. 3.2 Il moto rettilineo uniformemente accellerato Deniamo un moto rettilineo di un punto uniformemente accellerato, quando esso descrive una traiettoria rettilinea con accellerazione costante L'accellerazione media Un punto materiale si muove, all'istante t 1 alla velocità v 1 e all'istante t 2 alla velocità v 2, con stessa direzione e verso. Alla luce di ciò deniamo l'accellerazione media con la formula matematica: a m = v 2 v 1 6 ovviamente con velocità espressa in m/s e tempo in secondi. 4

5 3.2.2 L'accellerazione istantanea Come per la velocità, esiste anche l'accellerazione istantanea, che non é realmente quanticabile ma approssimabile quando t é prossimo a zero e quindi l'intervallo di tempo considerato é molto piccolo. Alla luce di quanto detto, l'accellerazione istantanea viene denita con la seguente formula: a ist = v t Misura dell'accellerazione per t 0 Secondo il Sistema Internazionale, la misura dell'accellerazione é la seguente: u accellerazione = u veloc. u tempo = E quindi si misura in metri su secondo quadro. m s s = m s Legge oraria del moto uniformemente accellerato Nel caso la velocità iniziale sia uguale a zero, la legge oraria del moto uniformemente accellerato é la seguente: s = 1 2 at2 Nel caso invece la velocità iniziale sia diversa da zero, é la seguente: Relazione velocità-tempo s = v i t at2 In seguito alle osservazioni fatte relativamente al concetto di accellerazione, notiamo che sussiste una dipendenza o relazione fra la velocità ed il tempo nel moto rettilineo uniformemente accellerato. Questa relazione consiste nel fatto che le variazioni della velocità del punto materiale sono dirattamente proporzionali agli intervalli di tempo trascorsi. Da questo deriva che la relazione precedentemente descritta come accellerazione, diventi così: a = v 2 v 1 = costante e che quindi v 2 = v 1 + a ( ) Il carattere vettoriale dell'accellerazione Siccome anche la velocità é una grandezza vettoriale, anche l'accellerazione, denita come rapporto fra la variazione di velocità e l'intervallo di tempo, sarà una grandezza vettoriale in base alla seguente relazione: a = v 2 v 1 5