Esame di Fisica 2C Data: 16/09/2005. Fisica 2C. 16 settembre 2005

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1 Fisica C 6 settembre 5 Leggere attentamente il testo e assicurarsi di rispondere a tutto quello che viene chiesto, incluse le eventuali risposte numeriche. ispondere alle domande e risolvere i problemi in modo chiaro, esauriente ma sintetico. Ogni volta che si utilizza una qualche relazione non precedentemente dimostrata precisarne contesto, ipotesi e validità. Chiedere spiegazione e chiarimenti su qualunque aspetto delle domande che non sia chiaro. In tutti i casi in cui sono presenti dati numerici è implicitamente inteso, anche se non esplicitamente scritto, che si richieda anche la risposta numerica. Non saranno corrette, salvo casi eccezionali, le brutte copie. Non saranno corretti elaborati scritti in modo difficilmente leggibile. Domande. Si consideri un corpo rigido con un piano di simmetria e il suo tensore di inerzia rispetto ad una terna di assi cartesiani ortogonali con origine in un punto appartenente al piano di simmetria. Dimostrare che qualunque asse perpendicolare al piano di simmetria è un asse principale di inerzia.. Considerare un sistema fisico descritto dall equazione dell oscillatore armonico smorzato forzato: q + Γ q + ω q = G cos [ωt + φ ]. () Dimostrare che la soluzione stazionaria del sistema può essere scritta, in termini delle ampiezze elastica e assorbitiva, come: q s [t] = A A sin [ωt + φ ] + A E cos [ωt + φ ] = () ( ) ω ω A E = G (ω ω ) () + Γ ω ( ) Γω A A = G (ω ω ). () + Γ ω Dimostrare che la sola parte di ampiezza assorbitiva è responsabile della potenza media che la forza esterna fornisce al sistema e calcolarne l espressione. 3. Una mitragliatrice spara un flusso continuo di proiettili contro un bersaglio quadrato di lato l al ritmo dn dt. In vicinanza del bersaglio il fascio di proiettili si è allargato e l area della sezione del fascio vale A, più grande del bersaglio. Quale è la sezione d urto per il processo il proiettile colpisce il bersaglio? Spiegare. 4. Un blocco di forma cubica con lato l = cm è fatto di un materiale elastico omogeneo e isotropo con modulo di Poisson Σ =.3 e modulo di Young Y =. N/m. Il blocco viene appoggiato su una superficie piana rigida e sulla sua faccia superiore si applica una forza, uniformemente distribuita, F = 5. 6 N. Tutte le quattro facce laterali del cubo sono bloccate da una struttura rigida che impedisce ogni espansione laterale del blocco. Determinare di quanto cambia l altezza del blocco.

2 Problema Una sistema stellare binario è formato da due stelle di massa m = m s e m = 3m x, di forma approssimativamente sferica e identico raggio, che orbitano su orbite circolari attorno al comune centro di massa. La distanza tra i centri delle due stelle vale = AU ed il periodo orbitale T = 8 giorni. Si assuma che il centro di massa del sistema abbia velocità nulla rispetto ad un qualche sistema di riferimento inerziale. Si ha G = 6.7 Nm /kg e AU =.5 m.. Calcolare la massa di ciascuna stella, l energia meccanica totale del sistema e le velocità orbitali delle due stelle.. Si supponga di avere un altro sistema stellare binario con gli stessi parametri eccetto che ora m = m = m x. Valutare nuovamente i parametri calcolati al punto precedente e, sapendo che le stelle si eclissano per τ = 464 s, calcolare il raggio delle due stelle. Per eclisse si intenda tutto il periodo durante il quale le due stelle sono sovrapposte almeno in parte nella visuale di un osservatore che si trova sul piano dell orbitaa grandissima distanza da esse. 3. Si calcoli la velocità che deve avere un asteroide, che si muove lungo la direzione perpendicolare al piano dell orbita delle due stelle e passante per il centro dell orbita, quando si trova al centro della stella binaria per non essere legato ad essa; determinare altresi la distanza massima che può raggiungere l asteroide dal piano dell orbita della stella binaria se la velocità è pari a metà di quella appena calcolata. Soluzione. m x = 4π 3 4GT = π 3 GT = 3 ( massa del sole) E = G3m x = J m x r = 3m x r r + r = r = 3 4, r = 4 3Gm x v = 3m x v = r 4 = 5 4 m/s 3Gm x v 9 = m x v = 3v = r 4 = m/s. Il valore di m x resta invariato in quanto isultati invariati per m x E = G4m x = J m x r = m x r r + r = r = r = 4Gm x v = m x r v = = m/s Calcolo il raggio conoscendo il tempo di eclissi (che è il tempo necessario perchè le stelle si spostino del loro diametro) v = r = vt = m La stella con densità maggiore avrà volume (e quindi raggio) minore r = r/(3/) /3 t = (r (r r ))/v = (r + r )/v = (( + /(3/) /3 )/)r/v =.936t

3 3. mv Gmm x = v = 4 m4gm x Gmm x = Gmm x + x 8 = 8 + x 3 4 = + x / x = 6 9 =.88 3

4 Problema Soluzione Nel sistema in figura, il corpo appeso ha massa m =. kg e la carrucola è costituita da un cilindro rigido disomogeneo di massa M =. kg e di spessore trascurabile la cui densità (per unità di superficie) varia con la distanza dal centro come: ρ(r) = ρ r dove =. m è il raggio. La molla ha una costante elastica k = N/m, la corda è inestensibile, di massa trascurabile e non scivola sulla carrucola. Il sistema viene lasciato fermo quando l allungamento della molla è nullo, cioè con la molla alla lunghezza di riposo.. Determinare la frequenza delle piccole oscillazioni del sistema, ω, nonché la coordinata normale.. Determinare la massima e minima tensione cui è sottoposto il tratto di corda che sostiene il corpo appeso. 3. Si supponga adesso che il movimento della massa m avvenga in un liquido tale da non rendere più trascurabile la forza di attrito viscoso: f = kv. Nella situazione in cui il coefficiente di smorzamento vale k = m ω si determini l andamento nel tempo della coordinata normale con le stesse condizioni iniziali di cui ai punti precedenti.. Il sistema ha un solo grado di libertà. La coordinata normale è lo scostamento dalla posizione di equilibrio. Dalla relazione r M = ρ πr dr si ha immediatamente: ed il momento di inerzia della carrucola vale: ρ = M π I = r dm = r ρ(r)πr dr = 3 M. Siano x la coordinata del punto di attacco della molla alla fune, x eq la posizione di equilibrio, che vale banalmente x eq = x + mg/k, x la posizione di riposo della molla e, infine, α = a/ = ẍ/ l accelerazione angolare della carrucola. si ha allora: Iẍ = (T T ) dove T e T sono la tensione del tratto di corda che sostiene la massa m e la molla, rispettivamente. Siccome T = m(g ẍ) e T = k(x x ), l equazione precedente fornisce: ( ) I + m ẍ = k(x x mg/k) = k(x x eq ). Si ha quindi l equazione del moto armonico per la variabile normale x x x eq e la frequenza delle piccole oscillazioni vale k ω = I + m = 3k = 85.7 Hz. M + 3m 4

5 . Viste le condizioni iniziali, la soluzione per x è: e quindi l accelerazione è x = mg k cos(ωt) a = ω x da cui si ha immediatamente che T max = mg( + mω /k) = 4 N e T min = mg( mω /k) = 5.6 N. Il massimo è quindi in concomitanza con la massima elongazione della molla. Se si rompe la corda che sostiene il corpo di massa m nell istante a cui la molla è nella massima elongazione (che corrisponde ad avere x x = mg/k)) avremo: α = k mg k I = 3g m M = 73.5 s. 3. Essendo il coefficiente di smorzamento minore della frequenza propria di oscillazione, ω, siamo in condizioni di smorzamento debole. In tal caso la soluzione dell equazione del moto è: x = A e γt sin(ω v t + φ) con ω v = (ω γ ) / = ω/ ed A e φ sono determinati dalle condizioni iniziali: x(t = ) = mg/k, x(t = ) =. Queste forniscono: φ = π/4, A = mg/k =.7 m. 5