Argomenti di questa lezione (esercitazione)

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1 Lezione mecc n.22 pag 1 Argomenti di questa lezione (esercitazione) Ancora esercizi di meccanica, in preparazione della prima prova in itinere

2 Lezione mecc n.22 pag 2

3 Lezione mecc n.22 pag 3

4 Lezione mecc n.22 pag 4 M, R, I, r m, r 2M Scrivere le equazioni del moto degli elementi che costituiscono il sistema e le relazioni fra le quantità cinematiche necessarie a descrivere il sistema medesimo.

5 Lezione mecc n.22 pag 5 Esercizio 2-24 aprile 2001 Un disco forato di materiale omogeneo, massa M=15kg e raggi R int =40.0cm e R ext =60.0cm è sospeso in equilibrio ad un punto della circonferenza interna. Un proiettile di massa m=1.0g viene sparato a velocità v=1.2m/s contro il disco in direzione orizzontale (vedi figura) e lo colpisce centralmente, rimanendovi piantato. a) Calcolare il momento d inerzia del disco rispetto al punto di sospensione b) Stabilire quali grandezze (tra quelle significative ai fini della descrizione del moto) si conservano durante e dopo l urto, indicando esplicitamente le ragioni delle varie asserzioni. c) Determinare l ampiezza delle oscillazioni dopo l urto e stabilire se si può parlare di piccole oscillazioni d) In ogni caso, indicare il periodo di piccole oscillazioni del pendolo.

6 Lezione mecc n.22 pag 6 Esercizio 1-24 aprile 2001 Un cilindro omogeneo di massa M e raggio R poggia su un piano g orizzontale (siamo in presenza di un campo gravitazionale di M, R intensità g) ed è fermo al tempo t=0. Una forza F diretta a 45 gradi verso l alto (vedi figura) è applicata all asse del cilindro, il quale rotola sul piano senza strisciare. F a) Qual è l accelerazione angolare α del cilindro? b) A quale istante la velocità del centro di massa assume il valore V=(10gR) 1/2? c) Cosa si può dire del coefficiente d attrito statico µ s?

7 Lezione mecc n.22 pag 7 Esercizio 2-24 aprile 2001 Due piccoli blocchi identici, ciascuno di massa M=1.00kg, sono sospesi, fermi, in equilibrio, ad una molla appesa al soffitto, che è alto 3.00metri. La molla ha una lunghezza a riposo di 1.00metri. Al tempo t=0 uno dei due blocchi viene sganciato ed esso cade sul pavimento in 350ms. a) Scrivere le leggi del moto per entrambi i blocchi b) Determinare le leggi orarie per entrambi i blocchi. c) Chiarire se e a quali tempi si ha dissipazione di energia e determinarne l entità.

8 Lezione mecc n.22 pag 8 A, m B, M k Esercizio Un corpo A di massa m scivola su una guida liscia orizzontale, sulla quale poggia un secondo corpo, B, di massa M. Una molla di costante elastica k e massa trascurabile è attaccata al corpo B. Quando A, all istante t=0, urta la molla, vi rimane attaccato. Inizialmente B è fermo e A si muove a velocità v 0 verso di esso. a) Indicare (giustificando le risposte) quali quantità meccaniche, fra quelle utili a rispondere ai quesiti seguenti, restano costanti prima dell urto e quali dopo l urto. b) Calcolare la velocità del centro di massa del sistema prima e dopo l urto. c) Calcolare la massima compressione x max della molla. d) Determinare a quali istanti la molla risulta massimamente compressa. e) Scrivere la velocità del corpo A rispetto al tavolo ad un istante generico successivo all urto a) Prendiamo in esame il sistema costituito da A, B e la molla. Non agiscono forze esterne (quindi si conserva la quantità di moto del sistema), e quelle interne (le due esercitate dalla molla) sono conservative (quindi si conserva l energia meccanica totale del sistema). b) Abbiamo appena detto che la quantità di moto del sistema non varia, quindi v CM è sempre la stessa, sia prima che dopo l urto. Si vede facilmente che prima dell urto vale mv 0, pertanto (M+m)v CM =mv 0, da cui v CM =(m/m+m)v 0, t.

9 Lezione mecc n.22 pag 9 c) L energia meccanica totale, che è costante, inizialmente vale mv 0 2 /2 ed è tutta associata al moto di A. Dopo l urto, una parte E 1 di tale energia è associata al moto del sistema nel suo insieme, e una parte E 2 al moto interno del sistema. La E 1 è (M+m)v CM 2 /2, la E 2, che si trova per differenza compete al moto armonico interno al sistema: quando la molla è massimamente compressa si ha (1/2)k x max 2 =E 2 =E E 1 = mv 0 2 /2 (M+m)v CM 2 /2= mv 0 2 /2 [m 2 /(M+m)]v 0 2 /2=, da cui si ricava facilmente x max d) Il moto armonico avviene con periodo T=2π (µ/k) dove µ=mm/(m+m) è la massa ridotta del sistema. La massima compressione si ha dopo il primo quarto di periodo e poi a tutti i periodi successivi: t n =T/4+nT=(n+1/4) 2π (µ/k). e) Dopo l urto, il moto di A è composto da un moto uniforme con velocità v CM e da un moto armonico di ampiezza x max e periodo T, che è sinusoidale e con fase nulla nella posizione e quindi cosinusoidale nella velocità: v A (t)=v CM +(2π max /T)cos(2πt/T).

10 Lezione mecc n.22 pag 10 Esercizio Un cilindro omogeneo di massa M e raggio R può ruotare liberamente intorno al proprio asse. R 2k k Intorno al cilindro è avvolto, senza possibilità di strisciamento, un filo inestensibile e di massa trascurabile. 0 x Il filo è connesso ad un supporto verticale attraverso due molle di costante elastica k e 2k (vedi figura). Quando il supporto è in posizione x=0, le molle sono a riposo. Quando il supporto viene spostato di un tratto assegnato x verso destra, il cilindro ruota di un angolo θ. Calcolare per quale valore di θ si annulla la somma dei momenti delle tensioni dei fili rispetto all asse del cilindro. Calcolare l energia potenziale elastica del sistema in funzione di θ ed individuare il valore (o i valori) di θ che la rendono minima. Calcolare il periodo di piccole oscillazioni del sistema intorno alla posizione d equilibrio. Indichiamo rispettivamente con δ 1 e δ 2 gli allungamenti della molla superiore e di quella inferiore. Da considerazioni geometriche, se indichiamo come positive le rotazioni θ in senso orario, si deduce che δ 1 = x Rθ e δ 2 = x+rθ.

11 Lezione mecc n.22 pag 11 La condizione di annullamento dei momenti si ha per R2kδ 1 =Rkδ 2 e quindi per θ= x/3r. L energia potenziale elastica delle due molle è U=1/2(2k)δ 1 2 +(1/2)kδ 2 2 =k( x Rθ) 2 + (1/2)k( x+rθ) 2 =(3/2)k x 2 -k xrθ+(3/2)k(rθ) 2. La derivata di U rispetto a θ (che poi, a ben vedere, a parte il segno, è uguale alla somma dei momenti) è 3kR 2 θ k xr, e si annulla infatti proprio per θ=θ 0 = x/3r, come già si sapeva. Per piccole oscillazioni intorno alla posizione d equilibrio, possiamo scrivere θ=θ 0 +φ e otteniamo che l equazione di moto del cilindro è Id 2 φ/dt 2 = 3kR 2 φ, da cui si vede che la deviazione φ dalla posizione d equilibrio θ 0 segue una legge oraria di tipo armonico, di pulsazione ω=(3kr 2 /I) 1/2. Prendendo per I=(1/2)MR 2 (infatti il cilindro è omogeneo) otteniamo ω= (6k/M).

12 Lezione mecc n.22 pag 12 k R, I Esercizio 2 g Si scriva e si risolva M l equazione del moto per il sistema rappresentato in figura, che è costituito da una massa M sospesa ad una corda che, tramite una carrucola di raggio R e momento d inerzia I, è rinviata verso una molla di costante elastica k. Fornire la legge oraria nell ipotesi che al tempo t=0 il sistema sia fermo con la molla nella sua posizione di riposo.

13 Lezione mecc n.22 pag 13 Esercizio 2 Se T 1 è la tensione della corda orizzontale e T 2 è quella della corda verticale, indicando con x la deformazione della molla, con α l accelerazione angolare della carrucola e con a la sua accelerazione tangenziale (che eguaglia l accelerazione del blocco sospeso a causa dell inestensibilità del filo) sussistono le seguenti relazioni: a=d 2 x/dt 2 ; a=αr; T 1 =kx; Iα=R(T 2 -T 1 ); Ma=Mg-T 2. Questo set di equazioni con opportuni passaggi di sostituzioni si riduce ad una singola equazione differenziale del secondo ordine priva di termini smorzanti, che ha per soluzione un moto armonico. Eseguendo i calcoli si trova che tale moto ha pulsazione ω=[k/(m+i/r 2 )] 1/2 ed avviene intorno alla posizione d equilibrio (molla allungata di Mg/k). Dalle condizioni iniziali indicate nel testo, si ricava che, per il corpo sospeso, l ampiezza di tale moto armonico è data dalla separazione fra la posizione d equilibrio e la posizione di riposo della molla (x=0), per x(t) la legge inoltre è cosinusoidale con fase nulla, dovendo essere nulla dx/dt al tempo iniziale.

14 Lezione mecc n.22 pag 14 Esercizio 1 Due blocchi di massa M e 2M rispettivamente sono su un piano liscio orizzontale. Il blocco di massa M è connesso a una molla di costante elastica k e si trova inizialmente in quiete nella posizione d equilibrio. Al tempo t=0, i due blocchi sono separati di una distanza L e il blocco di massa 2M si muove a velocità v 0 contro l altro. Quando avviene l urto, i blocchi restano incollati l uno all altro. a) A quale tempo avviene l urto? b) Quanta energia viene dissipata nell urto? c) Qual è la massima compressione della molla, dopo l urto? d) Qual è la legge del moto per le due masse dopo l urto? e) Qual è la legge oraria dopo l urto?

15 Lezione mecc n.22 pag 15 ω Esercizio 2 del 10 luglio 2012 g Un cilindro omogeneo di R, M massa M e raggio R ruota 2 1 strisciando su due pareti oblique, perpendicolari fra loro ed orientate a 45 rispetto all orizzontale, come mostrato in figura. Pareti e cilindro interagiscono con una forza d attrito radente descritta dal coefficiente µ D. Si chiede di determinare a) l accelerazione angolare del cilindro e b) l intensità e direzione della forza totale scambiata fra cilindro e parete di destra (nel punto 1). [Si indichino con N 1, N 2 ed A 1, A 2 le reazioni normali e d attrito nei punti 1 e 2]

16 Lezione mecc n.22 pag 16 y A 2 N 2 Esercizio 2 Sul cilindro agiscono 5 forze (Mg, N 1, A 1, N 2, A 2 ) di cui ben 4 sono dirette parallelamente/perpendicolarmente ai piani, perciò conviene scegliere gli assi coordinati come in figura. In questo modo solo il peso va scomposto in due componenti, indichiamo con p=mg/ 2 la componente x (o y) di tale forza. Abbiamo che essendo il centro di massa non soggetto ad accelerazioni, deve essere nulla la somma delle forze componenti x (quindi N 2 p A 1 =0) ed y (quindi N 1 p+a 2 =0). Date le relazioni A i =µ D N i, si tratta di risolvere il sistema: N 2 p µ D N 1 =0; N 1 p+µ D N 2 =0. Con pochi calcoli se ne ricava N 1 =p(1 µ D )/(1+µ D 2 ) e N 2 =p(1+µ D )/(1+µ D 2 ). Dalla 2 a equazione cardinale, notando che il momento torcente rispetto all asse del cilindro è determinato solo dagli attriti, si ricava Iα=τ=R(A 1 +A 2 )=µ D R(N 1 +N 2 ), da cui, essendo I=MR 2 /2, α=2 2(g/R)µ D /(1+µ D 2 ). p p A 1 N 1 La forza ha componenti (-A 1, N 1 ), il modulo sarà quindi (A 1 2 +N 1 2 )=N 1 (1+µ D 2 )= N 1 =p(1 µ D )/ (1+µ D 2 )=(Mg/ 2) (1 µ D )/ (1+µ D 2 ); x l angolo sarà θ=arctg(n 1 /A 1 )=arccotg(a 1 /N 1 )=arccotg( µ D ). A quest ultimo valore dovremmo sommare π/4 se volessimo riferire l angolo alla direzione orizzontale.

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