Esame e recupero prove parziali di Fisica 2C Data: 24 gennaio Fisica 2C. 24 gennaio 2006

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1 Fisica 2C 24 gennaio 2006 Leggere attentamente il testo e assicurarsi di rispondere a tutto quello che viene chiesto, incluse le eventuali risposte numeriche. ispondere alle domande e risolvere i problemi in modo chiaro, esauriente ma sintetico. Ogni volta che si utilizza una qualche relazione non precedentemente dimostrata precisarne contesto, ipotesi e validità. Chiedere spiegazione e chiarimenti su qualunque aspetto delle domande che non sia chiaro. In tutti i casi in cui sono presenti dati numerici è implicitamente inteso, anche se non esplicitamente scritto, che si richieda anche la risposta numerica. Non saranno corrette, salvo casi eccezionali, le brutte copie. Non saranno corretti elaborati scritti in modo difficilmente leggibile. Esame completo: domande 1.1, 1.2, 2.1, 2.2 e i due problemi. ecupero parte 1 solo per chi ha la prova 2 sufficiente: domande 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5 e problema 1. ecupero parte 2 solo per chi ha la prova 1 sufficiente: domande 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5 e problema 2. Domande Parte 1 1. Una sbarra sottile di un materiale omogeneo, isotropo e lineare ha un estremo fissato ad un asse verticale rotante. Il modulo di Young del materiale è Y, il suo modulo di Poisson è piccolo e la sua densità vale ρ. Determinare l allungamento in direzione radiale della sbarretta quando ruota rigidamente con velocità angolare Ω. 2. Dimostrare che nel caso di un oscillatore armonico molto debolmente smorzato la perdita di energia meccanica per unità di tempo è circa proporzionale alla costante di smorzamento Γ. 3. Calcolare l espressione dell energia cinetica di un corpo rigido che ruota attorno ad un asse fisso. 4. Considerare due molle di costante elastica k 1 e k 2 in serie. Calcolare la costante elastica della molla risultante. 5. Un cilindro omogeneo rotola senza strisciare giù da un piano inclinato con angolo α rispetto all orizzontale. Determinare l accelerazione. Parte 2 1. Derivare l equazione di Binet per l orbita di una particella in un campo di forza centrale. 2. Dimostrare il teorema di Huygens-Steiner per il tensore di inerzia. 3. Dedurre la relazione tra sezione d urto e cammino libero medio. 4. Una particella è in moto in un campo di forza centrale con componente radiale della forza data da f[r] = γr 3, dove γ è una costante. Determinare l espressione del raggio dell orbita circolare in funzione del momento angolare e della massa della particella. 5. In un urto anaelastico uni-dimensionale di due particelle con masse m 1 ed m 2 e componenti della velocità rispettivamente v 1 e v 2 determinare la massima energia cinetica che può essere persa. 1

2 Problema 1 La figura rappresenta un pendolo fisico che è costituito da due sottili tavolette omogenee, aventi entrambe spessore S = 1 cm e larghezza H = 10 cm. Una delle due ha lunghezza 2L L S e densità ρ = 10 3 kg m 3, l altra ha lunghezza L = 1 m e densità 2ρ. Le due tavolette sono connesse rigidamente l una all altra ad angolo retto. Il sistema può ruotare senza attriti intorno ad un sottile asse orizzontale coincidente con la linea di connessione delle due tavolette. 1. Determinare l angolo che forma con l orizzontale la tavoletta più corta se il sistema è fermo in posizione d equilibrio nonchè la reazione vincolare in tale condizione. 2. Determinare la velocità angolare con cui il sistema passa dalla configurazione d equilibrio se parte da fermo con la tavoletta di lunghezza 2L posta orizzontalmente. 3. Si vuole appoggiare un piccolo oggetto di massa m sul bordo della tavoletta di lunghezza L cioè a distanza L dal fulcro. Determinare per quali valori di m l oggetto non scivola via, sapendo che esso interagisce con la tavoletta con una forza d attrito statico determinata da un coefficiente µ = 0.7. Si assuma che il sistema venga lasciato fermo nella sua nuova posizione d equilibrio. 1 2L ρ L 2 ρ 2L ρ L 2 ρ m 2 Soluzione 1. Le due tavolette hanno uguale massa M = 2ρSHL = 2 kg. I loro baricentri sono a distanza L e L/2 dal fulcro. Dobbiamo imporre le condizione di staticità. L annullamento della risultante delle forze è garantito dalla presenza del fulcro, che fornisce la reazione opposta alla forza peso del sistema, 4ρSHL; affinché sia nulla anche la risultante dei momenti che calcoliamo rispetto al fulcro deve essere M gl/2cosα = M glcosπ/2 α ovvero 1/2cosα = sinα, da cui tgα = 1/2 e α = arctg1/ rad. 2. Per rispondere alla seconda domanda, è sufficiente applicare il principio di conservazione dell energia meccanica. Quando il sistema passa dalla configurazione d equilibrio, il baricentro della tavoletta lunga è sceso di Lcosα e quello della tavoletta corta è salito di L/21 sinα, quindi l energia potenziale gravitazionale del sistema è diminuita di Mg[Lcosα L/21 sinα], questa quantità deve uguagliare l energia cinetica che sarà 1/2Iω 2, con I = I 1 + I 2 = 1/3M2L 2 + 1/3ML 2 = 5/3ML 2. Quindi, da cui e 1/25/3MLω 2 = Mg[Lcosα L/21 sinα], ω 2 = 3/5g/L[2cosα + sinα 1] = 7.27 rad 2 s 2 ω = 2.70 rad s 1. 2

3 3. Indichiamo con β il nuovo valore dell angolo fra tavoletta corta e orizzontale. L oggetto di massa m non scivola se l attrito statico, il cui valore è limitato superiormente da mgcosβ, riesce a bilanciare la componente tangenziale della forza peso mgsinβ, cioè se β < arctgµ. Per calcolare il massimo valore di m, imponiamo che esso realizzi la condizione limite: β max = arctgµ. Come nella prima domanda, imponiamo l annullamento della sommatoria dei momenti: MgL/2cosβ max + mglcosβ max = MgLsinβ max Da cui m = M[sinβ max 1/2cosβ max ]/cosβ max = M[tgβ max 1/2] = Mµ 1/2 = 0.20 M = 0.40 kg. 3

4 Problema 2 Si consideri il lancio di un satellite dalla Terra. Si supponga che il satellite venga lanciato da uno dei due poli e si trascurino tutti gli effetti dovuti all atmosfera. Dati: T = 6380 km, M T = kg. 1. Calcolare l energia meccanica per unità di massa che occorre fornire al satellite, inizialmente a riposo sulla superficie terrestre, per metterlo su un orbita circolare geo-sincrona. 2. Se il satellite è lanciato da una distanza d dal suolo trascurabile rispetto al raggio terrestre con velocità diretta parallelamente alla superficie terrestre v = αv fuga α > 1 esprimere in funzione di d e α il semiasse maggiore e l eccentricità dell orbita del satellite. 3. Se il satellite è lanciato da terra con angolo θ = π/4 rispetto alla verticale e con v = αv fuga α < 1 calcolare la massima distanza raggiunta dal satellite rispetto alla superfice della Terra. Soluzione 1. 3 T = 2π = 24 h = s GM T T GM T = 4π 2 = m mv 2 = GmM T 2 E = 1 2 mv2 v 2 = GM T T E = GmM T 2 1 E = GmM T T E 1 m = GM T 1 T T = J = GmM T 1 T 1 2. Il satellite è al perielio e quindi v fuga = 2GM/ r p = = aε 1 E = 1 2 mα2 v 2 fuga GMm E = mα 2 GM α 2 1 = 1 a = 2α 2 1 GMm ε = a + 1 = 2α = GMm = GMm 3. Conservazione dell energia E = GMm 1 = α2 1 1 = α2 a = 1 21 α 2 = 1 2 mv2 GMm = mα2 GM GMm 4

5 conservazione del momento angolare L 2 = mγε2 1 = mγa1 ε 2 = m 2 MGa1 ε 2 = mv 2 = mv sin θ 2 = m 2 2 α 2 2GM 2E 1 ε 2 21 α 2 = α2 2 sin 2 θ ε = 4α 2 1α 2 sin 2 θ + 1 ε = 2α 2 1α sin2 θ la distanza corrispondente l afelio è r max = r a = a1 + ε = 21 α α 2 1α