Dinamica: Forze e Moto

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1 Dinamica del punto Argomenti della lezione: 1 legge di Newton (principio di inerzia) 2 legge di Newton 3 legge di Newton (principio di azione e reazione) Quantità di moto Risultante delle forze / Equilibrio / Reazioni vincolari

2 Dinamica: Forze e Moto

3 Principio d inerzia

4 prima legge di Newton

5 Principio d inerzia L'inerzia viene misurata con la massa e nel Sistema Internazionale (SI) viene impiegato il chilogrammo. Tale grandezza è una grandezza scalare. Dati due corpi, di massa diversa, che si trovano sottoposti alla medesima forza esterna, avranno accelerazioni diverse.

6 Forze

7 Esempi di Forze

8 Seconda Legge di Newton La seconda legge di Newton dice cosa accade ad un corpo quando su di esso agisce una forza non nulla. Se le forze in gioco sono più di una, va considerata la loro somma ossia la risultante delle forze, o forza risultante. L'accelerazione di un oggetto è direttamente proporzionale alla forza risultante agente su di esso ed inversamente proporzionale alla sua massa. F ris = m in a Se una forza F viene applicata ad un corpo, esso sarà sottoposto ad una certa accelerazione a che avrà stessa direzione e stesso verso di F. Ricordando le relazioni viste in 2 cinematica, l espressione vista dv d F = ma = m = m può anche così essere riscritta: 2 dt dt r

9 Seconda Legge di Newton F F F F F Dimensioni e unità di misura Le dimensioni per la formula Fris = mina [F] = [M][L]/[T][T] sono le seguenti: e le corrispondenti unità di misura sono: F = kg m/s s = N (dove N indica Newton. La forza di 1N è quella che, agendo su una massa di 1 kg, ne causa un'accelerazione di 1 m/s 2 )

10 La quantità di moto La grandezza p = mv si definisce quantità di moto Ricordando dv F = dt d r dt 2 = ma = m m è possibile scrivere 2 dp F = = dt d ( mv) dt Fdt = dp J = Fdt = dp = p p0 t t 0 p p 0 = Δp Teorema dell impulso (forma integrale della legge di Newton)

11 Applicazioni dei principi della dinamica.. F = 0 a = 0 v=cost Moto uniforme " F = cost!! F! a = a m = cost Moto uniform. accelerato Determiniamo l espressione della forza o delle forze presenti. Una forza è completamente definita quando si conosce qual è il corpo che la subisce e qual è il corpo che la genera 11

12 Forza Peso

13 Massa e Peso

14 Massa gravitazionale Ogni massa ha la proprietà sia di attrarre che di essere attratta da un'altra massa, secondo la legge di gravitazione universale. Se indichiamo con m 1 e m 2 le due masse gravitazionali e con r la distanza fra i loro centri e G la costante di gravitazione universale si ha: F = G m m 1 2 r 2

15 Massa inerziale-massa gravitazionale

16 Massa inerziale-massa gravitazionale

17 Massa inerziale-massa gravitazionale Dalla si ha m1 m F = G r M m P = G R F = ma e dalla 2 P = mg 2 mg = G g = G Per cui M m 2 R M 2 R si ha Dividendo entrambi i membri per m, essendo la massa gravitazionale uguale alla massa inerziale si ha 2

18 Accelerazione di gravità L accelerazione di gravità non dipende dalla massa dell oggetto! g = G M 2 R L accelerazione di gravità dipende dalla massa terrestre L accelerazione di gravità dipende dal raggio terrestre

19 Peso e accelerazione di gravità P = g m g = G M 2 R accelerazione di gravità e raggio terrestre accelerazionedi gravità e massa del corpo celeste poli raggio minore accelerazione di gravità maggiore intensità campo gravitazionale maggiore peso maggiore spiaggia raggio minore accelerazione di gravità maggiore intensità campo gravitazionale maggiore peso maggiore terra massa maggiore accelerazione di gravità maggiore intensità campo gravitazionale maggiore peso maggiore equatore raggio maggiore accelerazione di gravità minore intensità campo gravitazionale minore peso minore g = Newton kg vetta raggio maggiore accelerazione di gravità minore intensità campo gravitazionale minore peso minore luna massa minore accelerazione di gravità minore intensità campo gravitazionale minore peso minore g esprime l intensità del campo gravitazionale, cioè i Newton associati ad un kg

20 Forza normale (o reazione vincolare)

21 Coppie di Azione e Reazione

22 Terza Legge di Newton principio di azione e reazione

23 Reazioni vincolari Esempi N P + N = 0 N N P y y = 0 P P x N P

24 Vincoli Un vincolo e` una qualunque limitazione dell ambiente al moto del corpo Questa limitazione avviene per contatto tra corpo e vincolo Esempi: una fune una superficie d appoggio o rotaia un asse fisso un punto fisso

25 Reazioni vincolari Il contatto tra corpo e vincolo produce un interazione che si manifesta sotto forma di forza Per il 3 o principio la forza con cui il corpo agisce sul vincolo e` uguale e contraria a quella, detta reazione vincolare, con cui il vincolo agisce sul corpo Le forze vincolari non sono in generale note a priori, ma si possono dedurre a posteriori esaminando il comportamento del sistema

26 Reazioni vincolari Esempio: corpo vincolato in equilibrio statico Supponiamo che il corpo sia soggetto, oltre alla forza di vincolo V, ad altre forze di risultante R diversa da zero Se il corpo e` in equilibrio statico, allora la risultante di tutte le forze, compresa quella di vincolo, dev esser nulla:!!! R tot = R + V 0 Da questa relazione possiamo calcolare, a posteriori, la forza di vincolo:! V! = R

27 Carrucole Le considerazioni svolte possono essere estese al caso in cui siano presenti carrucole e quindi la fune cambi direzione

28 Oggetti in equilibrio = 0

29 Equilibrio Esempio Un corpo è sottoposto all azione di una forza F 1 = 30 N diretta verso l asse negativo delle x e a quella di una seconda forza F 2 =70 N che forma un angolo di 60 con l asse positivo delle x, determinare modulo direzione e verso della forza F 3 necessaria affinché il corpo sia in equilibrio. y F 1 = 30u x F 3 F 1 F 2 60 x F 2 = 70cosθu + 70sinθu x y F 3

30 Esercizio m b = 500kg F! =! ma FRx = FAx + FBx = 40 N cos(45) + 30N cos(37) = 52. 2N FRy = FAy + FBy = 40 Nsen(45) 30Nsen(37) = 10. 3N tan( θ ) = F F Ry Rx 10.3N = 52.2N θ = arctan(0.2) = 11.5 o = 0.2 a = 51N 500kg =! F = 2 0.1m/s 2 FRx + FRy = 51N 2 30

31 Fili e funi Sono oggetti che trasmettono la forza solo in trazione Al contrario le barre possono trasmettere la forza sia in trazione, sia in compressione, che in sforzo di taglio

32 Fili e funi: Tensione

33 Esercizio: Equilibrio

34 Esercizio: Equilibrio

35 Oggetti sottoposti a una F tot non nulla

36 Esempio (senza attrito)

37 Esempio: Macchina di Atwood

38 Esempio: Macchina di Atwood

39 Esempio 2: Oggetti Multipli

40 Esempio 2: Oggetti Multipli

41 Esercizio

42 x l Pendolo: piccole oscillazioni Per piccole oscillazioni lo spostamento sull arco è approssimabile con lo spostamento sulla corda α l L unica forza a cui è soggetto il pendolo è la forza Peso che può essere scomposta in due componenti x = l sinα sinα = x/ l x mg -mgsinα L altra componente, perpendicolare alla direzione del filo, pari a F = -mg sinα = -mg x /l

43 Pendolo: piccole oscillazioni F = -m g l x = -k x Il moto del pendolo, per piccole oscillazioni, è un moto armonico Si dimostra che l equazione che descrive questo moto è X(t) = A sin (ω t + φ) Dove ω = g l Al sito potete simulare il moto di un pendolo al variare dei suoi parametri

44 Piano Inclinato

45 Forza di attrito

46 Attrito Statico e Attrito Dinamico

47 Modello Macroscopico dell Attrito

48 Coefficienti di attrito

49 Esercizi con attrito e legge di Newton

50 Coefficiente di attrito statico

51 Esercizio Un corpo è lanciato su un piano scabro inclinato di un angolo a=30 rispetto all orizzontale, con velocità iniziale Vo=3 m/s, verso l alto Il coefficiente di attrito dinamico tra il piano e il corpo è kd=0,3. Si calcoli l accelerazione del corpo, dopo quanto tempo il corpo si ferma e la quota raggiunta.

52 Moto Circolare Uniforme

53 Moto Circolare Uniforme

54 Forza centripeta

55 Forza centripeta e centrifuga

56 Moto di un automobile

57 Curva orizzontale piatta

58

59 Pendolo Conico

60 Moto in un fluido

61 Moto in un fluido: esempio

62 Moto in un fluido: soluzione

63 Esercizio

64 Giro della morte

65 Giro della morte II

66 Forza elastica Oggetti che principalmente danno origine a forze elastiche: le molle. Caratteristiche: a) lunghezza a riposo x 0, (lunghezza della molla quando la risultante delle forze applicate su di essa è nulla) b) k, detta costante elastica della molla. Si osserva sperimentalmente che l'allungamento/compressione di una molla è proporzionale alla forza applicata: legge di Hooke, F = -kdx Dx=(x-x 0 ) = entità della deformazione della molla. Tale legge vale solamente se la deformazione avviene entro un certo limite: superato esso la molla perde la propria elasticità. La forza ha segno negativo poiché è sempre opposta allo spostamento.

67 Legge di Hooke In termini vettoriali: F k( x x ) = kδx!!! = 0! Δx Δx F e F T F C F e

68 Ancora sul moto armonico Ponendo y=x-x 0 e sfruttando il fatto ovvio che l equazione del moto diviene Dividendo i membri per m e ponendo Otteniamo 2 d y 2 dt = 2 d x 2 dt 2 d y m 2 dt 2 d y 2 = a = ω y 2 dt = ky 2 ω Cioe` l equazione che individua il moto armonico Abbiamo quindi scoperto che il moto armonico e` causato dalla forza elastica = k m

69 Forza elastica La legge oraria sarà quindi: x( t) = Asen t ( ω +φ) dove A è l'ampiezza di oscillazione e per dimensioni ha una lunghezza, e f è la fase. Sia A che f dipendono dalle condizioni iniziali del moto. Andando a studiare il moto, si osserva che: nel punto di massimo allungamento e di massima compressione, l'accelerazione è massima e la velocità è nulla (il corpo sta infatti invertendo il verso del moto) nel punto di equilibrio, l'accelerazione è nulla e la velocità massima (con opportuno segno a seconda che la molla si stia allungando o comprimendo)