Forze di attrito. coefficiente di attrito statico, R t tangenziale del piano e R n

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1 Forze di attrito Attrito Statico Corpo poggiato su supericie orizzontale scabra Forza orizzontale applicata ad esso -> si ha equilibrio inché Attrito Dinamico - R t max = - μ s R n u t (indipendente da supericie di appoggio?!) con u t versore tangenziale, μ s coeiciente di attrito statico, R t reazione tangenziale del piano e R n modulo della reazione normale Una volta messo in moto il corpo è suiciente una orza di modulo ineriore (rispetto a quella che ha prodotto l'inizio del moto) per mantenere costante la velocità del corpo. Sperimentalmente R t = - μ d R n u v con μ d coeiciente di attrito dinamico e u v versore della velocità In tabella sono riportati valori tipici dei coeicienti di attrito Sistema Legno-legno Vetro vetro Acciaio acciaio Gomma cemento μ s μ d!!!! Importanza dell'attrito nella locomozione umana e veicolare

2 Forze elastiche Le orze elastiche (molla) dipendono solo dalla posizione Molla ideale agisce con una orza di modulo proporzionale alla deormazione della molla, ovvero e = - k x u (Legge di Hooke) con k costante elastica della molla, x var. di lunghezza (pos. o neg.), u versore che punta al corpo su cui agisce la orza. La molla ideale agisce sui corpi a contatto in ambedue gli estremi con orze uguali e opposte, date dalla Legge di Hooke con versori opposti. a) moto oscillatorio armonico equazione dierenziale m ( d 2 x/dt 2 ) = - k x caratteristica di un moto oscillatorio con soluzione x(t) = x(0) sen (ω t + φ) con ω = (k/m) 0.5 detta pulsazione e x(0) e φ dipendenti dalle condizioni iniziali b) costanti elastiche delle molle - due molle uguali in parallelo k = 2 k (più rigida) tot - due molle uguali in serie k = k/2 (meno rigida) tot - issata la lunghezza della molla la sua costante elastica aumenta al diminuire delle spire (ammortizzatori auto) c) origine microscopica delle orze elastiche nascono da variazione distanza interatomica, modulo Young

3 Forze dipendenti dalla velocità Attrito Viscoso Corpo in caduta libera in un luido -> resistenza R del mezzo In casi semplici (geometria semplice, bassa velocità, assenza di turbolenze nel luido) vale R = - k v (Legge di Stokes) con v velocità relativa corpo-luido e k costante dipendente dalla geometria e dalle dimensioni del corpo e dal luido Per corpo serico di raggio r k = 6 π r η con η coeiciente di viscosità del luido (in unità 10-3 Ns/m 2 vale 833 per glicerina, per acqua, per aria),

4 Dinamica nei moti circolari Moto Circolare Uniorme Accelerazione (solo) centripeta -> a = (v 2 /r) u n Dal secondo principio -> orza centripeta n = m a che può essere ornita da -ilo (pendolo conico), -attrito (corpo in quiete su piattaorma orizzontale scabra rotante, auto in curva), -reazione vincolare su supericie di appoggio inclinata (curva parabolica) Moto Circolare Non Uniorme Corpo di massa m vincolato a muoversi su traiettoria circolare giacente su piano verticale. Il vincolo deve: 1) compensare il peso del corpo 2) ornire la necessaria orza centripeta di modulo mv 2 /d ad ogni istante. In particolare, quando la velocità è minima (punto A più alto della traiettoria), per il secondo principio, indicando con R(A) il modulo del componente radiale della orza del vincolo nel punto più alto, dovrà quindi valere mg + R(A) = mv 2 /d -> R(A) = mv 2 /d mg vincolo bilaterale (sbarretta rigida) -> R(A) >0 oppure <0 vincolo unilaterale (ilo inestendibile) -> R(A) >0 Nel caso esaminato dovrà valere mv 2 /d > mg -> v 2 > gd

5 Dinamica in presenza di orze centrali Leggi di gravitazione (ricavate sperimentalmente da Keplero, 1600) Prima legge: le orbite descritte dai pianeti attorno al Sole sono ellissi di cui il Sole occupa uno dei due uochi Seconda legge: il raggio vettore che congiunge il centro del Sole col centro di ogni pianeta spazza aree proporzionali ai tempi impiegati a descriverle Terza legge: I quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti del Sistema Solare sono proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle orbite ellittiche Basandosi su queste leggi Newton concluse che la legge di gravitazione poteva essere espressa nella orma g = - G (m p M S / r 2 ) u r = - ( α / r 2 ) u r con u versore che individua la posizione di m rispetto a M r p S (o viceversa) e G = ( ± ) * N m 2 kg -2 Inatti 1) imponendo dq/dt = = -(α/r 2 )u e ricordando u = -du /dθ g r r θ si ottiene che il vettore (p/α)v u ha modulo e costante (con θ p =r x q) e quindi l'equazione della traiettoria è (1/r) = (mα/p 2 )(1 + e cos θ) ovvero l'equazione di una conica in coordinate polari (e<1 ellisse) 2) costanza velocità areolare 3) la orza gravitazionale ornisce la necessaria orza centripeta e quindi / m = g p ω2 r = (4π 2 / T 2 ) r --> T 2 / r 3 = (4π 2 / GM S )