LEGGI ORARIE DI ALCUNI MOTI PARTICOLARI

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1 LEGGI RARIE DI ALCUNI MTI PARTICLARI

2 MT RETTILINE UNIFRME (1) v = costante; a = 0 Legge oraria: P(t) v x 0 è la posizione di P all istante t=0 (posizione iniziale) x 0 x(t) P(t=0) v x(t) = v t + x 0 Nel moto rettilineo uniforme la velocità media è uguale alla velocità istantanea x x

3 MT RETTILINE UNIFRME (2) x grafico della legge oraria x t x 0 x(t) = x 0 + v t x = v t v = x / t Il coefficiente angolare è uguale alla velocità t

4 MT RETTILINE UNIFRMEMENTE ACCELERAT (1) a = costante; v parallela ad a; P(t) v(t) x(t) a x Legge oraria: velocità: x(t) = (1/2) a t 2 + v 0 t + x 0 v(t) = a t + v 0 x 0 e v 0 sono rispettivamente la posizione e la velocità iniziali di P (cioè all istante t=0)

5 MT RETTILINE UNIFRMEMENTE ACCELERAT (2) v grafico della velocità v t v 0 v(t) = v 0 + a t v = a t a = v / t Il coefficiente angolare è uguale all accelerazione t

6 MT RETTILINE UNIFRMEMENTE ACCELERAT (3) In generale vale la formula: x(t) = v media t + x 0 Inoltre, poiché v aumenta linearmente nel tempo: v media = (v 0 + v(t) ) / 2 che utilizzando la legge oraria della velocità diventa: v media = (1/2) a t + v 0 Sostituendo la precedente nella prima si ottiene: x(t) = ( (1/2) a t + v 0 ) t + x 0 ovvero: x(t) = (1/2) a t 2 + v 0 t + x 0

7 MT RETTILINE UNIFRMEMENTE ACCELERAT (4) Eliminiamo il tempo tra le seguenti due formule: v(t) = a t + v 0 x(t) = (1/2) a t 2 + v 0 t + x 0 t = [v(t) v 0 ] /a x(t) x 0 = (1/2)a([v(t) v 0 ]/a) 2 + v 0 ([v(t) v 0 ] /a) x(t) x 0 = (1/a)[v(t) 2 +v 02 2v(t)v 0 ]/2 +v(t)v 0 v 0 2 x(t) x 0 = (1/2a) [v(t) 2 v 02 ] v(t) 2 v 02 = 2a[x(t) x 0 ] Se v 0 = 0, allora: v(t) = (2a[x(t) x 0 ])

8 MT UNIFRMEMENTE ACCELERAT IN DUE DIMENSINI (2) Esempio: lancio di un proiettile. L accelerazione di gravità g è diretta lungo la verticale e verso il basso g = 9,81 m/s 2 g è costante in direzione, verso e modulo (è un vettore costante) Il proiettile viene lanciato con una velocità iniziale v 0 che forma un angolo α con il suolo

9 MT UNIFRMEMENTE ACCELERAT IN DUE DIMENSINI (3) P y (t) y P(t) g Scegliamo l asse y verticale, e l asse x orizzontale v 0 α P x (t) x

10 MT UNIFRMEMENTE ACCELERAT IN DUE DIMENSINI (4) In un moto bidimensionale (o tridimensionale) possiamo studiare il moto delle proiezioni del punto P sugli assi del sistema di coordinate cartesiane Il punto P x è la proiezione del punto P sull asse x. La sua velocità e la sua accelerazione sono rispettivamente le componenti, lungo l asse x, dei vettori velocità e accelerazione di P Per P y valgono delle considerazioni analoghe L insieme delle leggi orarie di P x e P y costituiscono la legge oraria di P: P x x(t); P y y(t); P (x(t),y(t))

11 MT UNIFRMEMENTE ACCELERAT IN DUE DIMENSINI (5) Com è il moto di P x? La sua accelerazione è data dalla componente di g lungo l asse x Poichégèortogonale all asse x, tale componente è nulla Quindi l accelerazione di P x è uguale a zero; il moto di P x è rettilineo uniforme La legge oraria generale del moto rettilineo uniforme è: x(t) = v t + x 0

12 MT UNIFRMEMENTE ACCELERAT IN DUE DIMENSINI (6) Per trovare la legge oraria particolare di questo moto rettilineo uniforme dobbiamo tenere conto delle condizioni iniziali Se l istante in cui il punto P si trova nell origine del sistema di assi cartesiani, è t = 0, allora x 0 = 0 La velocità è costante e uguale alla velocità iniziale del punto P x, che a sua volta è uguale alla componente x della velocità iniziale di P: P(0) y v 0 α v 0 cos α x La legge oraria di P x è quindi: x(t) = (v 0 cos α) t

13 MT UNIFRMEMENTE ACCELERAT IN DUE DIMENSINI (7) Com è il moto di P y? La sua accelerazione è data dalla componente di g lungo l asse y Il vettore g è parallelo all asse y, ma di verso opposto, quindi tale componente è a y = - g Quindi l accelerazione di P y è costante; il moto di P y è rettilineo uniformemente accelerato La legge oraria generale del moto rettilineo uniformemente accelerato è: y(t) = (1/2) a y t 2 + v 0y t + y 0

14 MT UNIFRMEMENTE ACCELERAT IN DUE DIMENSINI (8) Come prima, per trovare la legge oraria particolare di questo moto rettilineo uniformemente accelerato dobbiamo tenere conto delle condizioni iniziali Se l istante in cui il punto P si trova nell origine del sistema di assi cartesiani, è t = 0, allora y 0 = 0 La velocità iniziale del punto P y, è uguale alla componente y della velocità iniziale di P: y v 0 sen α P(0) v 0 α x La legge oraria di P y è quindi: y(t) = - (1/2) g t 2 +(v 0 sin α) t

15 MT UNIFRMEMENTE ACCELERAT IN DUE DIMENSINI (9) Riassumendo, le legge oraria di P è data dalle due funzioni del tempo: x(t) = (v 0 cos α) t y(t) = - (1/2) g t 2 +(v 0 sin α) t Dalla prima uguaglianza possiamo ottenere t in funzione di x: t = x / v 0 cos α e, sostituendo nella seconda esprimiamo y in funzione di x: y(x) = - [g/(v 0 cos α) 2 ] x 2 + (tg α) x questa funzione rappresenta la traiettoria del punto P

16 MT CIRCLARE UNIFRME (1) v(t) P(t) R y θ(t) s(t) La traiettoria è una circonferenza di raggio R x L ascissa curvilinea s(t) è la lunghezza dell arco P(t) s(t) = R θ(t)! Il modulo v della velocità è costante Il vettore velocità v non è costante

17 MT CIRCLARE UNIFRME (2) v(t+ t) y P(t+ t) s θ v(t) P(t) x La velocità angolare è Il rapporto tra l angolo θ spazzato dal vettore P nell intervallo di tempo t, e l intervallo di tempo t stesso ω = θ / t L unità di misura della velocità angolare nel SI è rad/s

18 MT CIRCLARE UNIFRME (3) Notiamo che ω = θ / t è la velocità angolare media nell intervallo di tempo t La velocità istantanea si ottiene per t 0 Nel caso del moto circolare uniforme, la velocità angolare è costante, quindi la velocità angolare media coincide con la velocità angolare istantanea

19 MT CIRCLARE UNIFRME (4) v(t+ t) y P(t+ t) θ s v(t) P(t) x s = arco P(t)P(t+ t) quindi, s = R θ Ma s è la distanza percorsa nel tempo t, quindi s = v t Ricaviamo che: ω = θ / t = v / R v = R ω

20 MT CIRCLARE UNIFRME (5) Il moto circolare uniforme è un moto periodico. Ciò significa che il moto, dopo un certo intervallo di tempo chiamato periodo, si ripete uguale a se stesso Il periodo del moto circolare uniforme è il tempo necessario affinché il punto compia un giro completo: T = 2π R / v = 2π / ω La frequenza è l inverso del periodo: f = 1 / T = ω / 2π ω = 2π f la frequenza del moto circolare uniforme è uguale al numero di giri al secondo L unità di misura SI della frequenza è l hertz (Hz)

21 MT CIRCLARE UNIFRME (6) v(t) P(t) y s(t) ωt θ(t) P(0) θ 0 s 0 x Legge oraria del moto circolare uniforme s(t) = s 0 + vt θ(t) = θ 0 + ωt

22 MT CIRCLARE UNIFRME (7) Accelerazione nel moto circolare uniforme v(t+ t) P(t+ t) v(t) P(t) θ

23 MT CIRCLARE UNIFRME (8) Per costruire il vettore v(t+ t) v(t) effettuo prima il trasporto parallelo di v(t+ t) su v(t) v(t+ t) P(t+ t) v(t) P(t) θ

24 MT CIRCLARE UNIFRME (8) Infine traccio il vettore v v(t+ t) P(t+ t) v v(t) P(t) θ

25 MT CIRCLARE UNIFRME (9) P(t+ t) v(t+ t) θ v(t) P(t) θ

26 MT CIRCLARE UNIFRME (10) v(t) P(t+ t) θ v(t+ t) P(t) θ

27 MT CIRCLARE UNIFRME (11) Le tangenti nei punti P(t) e P(t+ t) formano un angolo θ perché sono ortogonali a P(t) e a P(t+ t) rispettivamente Quindi i vettori v(t) e v(t+ t) formano un angolo θ Inoltre, poiché v(t) è ortogonale a P(t) e v(t+ t) è ortogonale a P(t+ t), le bisettrici degli angoli (v(t), v(t+ t) ) e (P(t), P(t+ t)) sono a loro volta ortogonali

28 MT CIRCLARE UNIFRME (12) v v(t) P(t+ t) v(t+ t) P(t) θ

29 MT CIRCLARE UNIFRME (13) Poiché i vettori v(t) e v(t+ t) hanno lo stesso modulo, il triangolo formato da questi due vettori e v è un triangolo isoscele Quindi v è ortogonale alla bisettrice dello angolo (v(t), v(t+ t)) Da cui segue che v è parallelo alla bisettrice dell angolo (P(t), P(t+ t)) Questa proprietà non dipende da t e quindi si deve mantenere al tendere di t a zero

30 MT CIRCLARE UNIFRME (14) v(t+ t) Consideriamo adesso un t più piccolo, θ è anch esso più piccolo ( θ = ω t) P(t+ t) v(t) P(t) v/ t v v(t) v(t+ t) θ L accelerazione media v/ t è parallela a v, quindi anch essa è parallela alla bisettrice dell angolo (P(t), P(t+ t))

31 MT CIRCLARE UNIFRME (15) Per t e θ ancora più piccoli P(t+ t) si avvicina a P(t) v(t+ t) P(t+ t) v(t) P(t) v/ t v v(t+ t) v(t) θ e la bisettrice dell angolo (P(t),P(t+ t)) si avvicina a P(t)

32 MT CIRCLARE UNIFRME (16) Al tendere di t a zero anche θ tende a zero P(t+ t) coincide con P(t) e la bisettrice dell angolo (P(t), P(t+ t)) coincide con P(t) v a(t) = lim t 0 t a(t) v(t) P(t) La direzione e il verso dell accelerazione sono quelli del vettore P(t). vvero l accelerazione è diretta lungo il raggio della circonferenza e verso il centro (accelerazione centripeta)

33 MT CIRCLARE UNIFRME (17) Modulo dell accelerazione arco BC = v θ, quindi se θ è piccolo, v = v θ ma θ = ω t, quindi v = v ω t da cui a = v / t = v ω e infine, poiché v = R ω, a = v 2 / R = ω 2 R B C v v(t) θ v(t+ t) Notiamo che l accelerazione è costante in modulo A