CORSO DI BIOFISICA IL MATERIALE CONTENUTO IN QUESTE DIAPOSITIVE E AD ESCLUSIVO USO DIDATTICO PER L UNIVERSITA DI TERAMO

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1 CORSO DI BIOFISICA IL MATERIALE CONTENUTO IN QUESTE DIAPOSITIVE E AD ESCLUSIVO USO DIDATTICO PER L UNIVERSITA DI TERAMO LE IMMAGINE CONTENUTE SONO STATE TRATTE DAI TESTI DI RIFERIMENTO: FONDAMENTI DI FISICA DI D. HALLIDAY, R. RESNICK, J. WALKER, ED. CEA. FONDAMENTI DI FISICA DI P. KESTEN, D. TAUCK, ED. ZANICHELLI

2 MECCANICA: CINEMATICA E DINAMICA Il movimento o moto di un oggetto fa parte della vita quotidiana. Il moto certamente è stato il primo aspetto del mondo fisico ad essere studiato, anche se gli antichi compresero molto del moto, solo recentemente nel 15-16, si è avuta una comprensione moderna di esso. Lo studio del moto degli oggetti e i relativi concetti di forza e di energia, costituiscono la Meccanica. La meccanica, si divide in due parti: Cinematica che riguarda la descrizione di come si muovono gli oggetti Dinamica che riguarda le cause del moto

3 CINEMATICA Il termine deriva dal francese cinématique che a sua volta lo derivava dal greco kínēma-atos, movimento. da kinéō "pongo in movimento" Iniziamo a trattare il moto traslazionale, cioè moto che non presenta rotazioni. Inizialmente tratteremo il moto lungo una linea retta (moto unidimensionale) o rettilineo.

4 Posizione - Spostamento Un corpo è in moto se cambia posizione nel tempo. Nel caso unidimensionale la posizione è definita mediante una coordinata determinata in un sistema di riferimento costituito da una retta orientata sulla quale è stato fissato una origine: vettore posizione P P(x 1 ) P(x ) S P(x ) P(x 1 ) x x 1 x x x x Posizione all istante t 1 Posizione all istante t Spostamento S P(x ) P(x 1 ) x 1 x Lo spostamento è avvenuto in un determinato intervallo di tempo t t t 1 Un dato spostamento avviene tanto più rapidamente quanto minore è il tempo nel quale è avvenuto

5 y Posizione e spostamento in due dimensioni y y 1 P(x 1,y 1 ) y 1 P a (x 1,y 1 ) P c (x,y ) P b (x,y 1 ) Percorso: P a P b Spostamento P a P c P c x 1 x x 1 x Vettore posizione vettore con origine nell origine del sistema di riferimento e la punta estrema nel punto P Vettore spostamento vettore con origine nel punto di partenza P a e la punta estrema nel punto di arrivo P c

6 VETTORE SPOSTAMENTO Si definisce vettore spostamento la differenza tra la posizione finale e la posizione iniziale. A Δs r 1 B r Δs r r 1 Lo spostamento coincide con lo spazio percorso solo se il moto è rettilineo, in generale sono grandezze diverse

7 NOTAZIONE Δ: VARIAZIONE DI UNA GRANDEZZA Punto finale P f : t f 1 h 14 min l f 16 85,5 km Punto iniziale P i : t i 1 h 4 min l i 16 75,5 km l f l i 1 km Δl t f t i 1 min Δt

8 Moto rettilineo: velocità media La rapidità con la quale avviene uno spostamento è definita velocità v. La velocità vettoriale media è il rapporto tra lo spostamento avvenuto in un dato intervallo di tempo e l intervallo di tempo stesso: v x t x t L unità di misura della velocità è: x t 1 1 v m s Velocità grandezza vettoriale in quanto rapporto tra un vettore e uno scalare

9 Moto rettilineo Un grafico posizione in funzione del tempo forma una curva in un piano che ci fornisce tutte le informazioni sul moto (unidimensionale) del nostro corpo. Questa è la rappresentazione grafica della legge oraria. Posizione a t

10 Moto rettilineo: velocità media tan() pendenza della retta La velocità media è la pendenza della retta che unisce due punti sulla curva x(t). Il modulo della velocità media è uguale al valore assoluto della pendenza della retta ed il segno è sempre uguale a quello dello spostamento poiché Δt è sempre positivo.

11 Moto rettilineo: velocità media Un automobilista percorre 8. km alla velocità di 68.3 km/h. Rimane senza benzina e cammina fino ad un distributore distante. km impiegando 3 minuti per raggiungerlo. Quale è la velocità media dalla partenza al distributore? Macchina si ferma Distributore v x / t Tempo (h) Δx 8. km +. km 1.4 km Δt 1 8. km / 68.3 km/h.1 h ; v 1.4 km /.6 h km/h t.5 h ; Δt Δt 1 +t.6 h

12 VELOCITA ISTANTANEA: VETTORIALE E SCALARE La velocità istantanea vettoriale è la velocità di spostamento di una particella in un dato istante. La velocità vettoriale si ottiene dalla velocità vettoriale media restringendo l intervallo di tempo in modo che Δt si avvicini sempre più allo zero. x x v lim t t dx dt x x 1 t s t t 1 t

13 VELOCITA ISTANTANEA VETTORIALE Questo procedimento di passaggio al limite costituisce la operazione di derivazione di una funzione o altrimenti detta derivata della funzione. Se si calcola questo rapporto incrementale al limite per t che tende a zero, cioè per t sempre più prossimo a t 1, la corda che unisce i due punti della curva (ipotenusa del triangolo rettangolo) verrà a giacere sulla retta tangente alla curva in corrispondenza di t 1. La tangente di questa retta è la pendenza della curva in corrispondenza di t 1 e quindi la velocità istantanea definita come derivata della funzione s(t) in corrispondenza di un prescelto valore del tempo.

14 Regole di derivazione f(x) e g(x) sono due funzioni qualunque

15 VELOCITA ISTANTANEA SCALARE La velocità istantanea scalare è il modulo della velocità vettoriale e cioè coincide con la velocità vettoriale privata di qualunque cenno alla direzione. Esempio: Il tachimetro di un automobile misura la velocità scalare, ma non quella vettoriale, perché non può fornire informazioni sula direzione del moto.

16 Moto rettilineo uniforme Si ha quando la velocità è costante. In questo caso velocità media e velocità istantanea coincidono. v cost 1 m/s. Posizione iniziale: t, l Ogni secondo, l1 m La velocità, cioè la rapidità di variazione dello spazio percorso nel tempo, è costante il diagramma orario è una retta.

17 Moto rettilineo uniforme Abbiamo t: quindi proporzionalità diretta tra lo spazio percorso x ed il tempo impiegato a percorrerlo v 3 m/s costante La curva è una retta orizzontale. Area del rettangolo spazio percorso. t 5 s l v t m x area sottesa dalla curva v in funzione del tempo nell intervallo di tempo considerato

18 v costante: legge oraria dx v dt dx vdt x t x ( ) dx vdt v t x x vt x vt + x

19 Moto rettilineo: accelerazione E una misura della variazione di velocità nel tempo. Accelerazione media: a v t v t 1 1 v t Accelerazione istantanea: a dv dt m s s m s a v a lim t t dv dt v ds dt d ds a dt dt d s dt L'accelerazione è la derivata seconda dello spostamento rispetto al tempo.

20 MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO Moto uniformemente accelerato a costante (uniforme) Il moto è rettilineo a a t costante

21 MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO a a costante t v a t v at v v v ; t t t posto t v v at v v + at v v t In questo caso lo spazio s(t) percorso tra l istante iniziale t, al quale corrisponde la velocità v, e il generico istante t, geometricamente sarà l area del parallelogramma avente basi v e v +at v v v + at v t t

22 CINEMATICA: ACCELERAZIONE MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO Ipotesi: moto rettilineo, accelerazione costante t i, v i v(t i ) v t f t, v f v(t f t) v Applico la definizione di a a Δ v v f vi Δt t t f i v v t a v v + at 1 a equazione del m.u.a v > v a positiva v < v a negativa

23 MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO Ipotesi: moto rettilineo, accelerazione costante Si definisce il valore medio della velocità: 1 v media + ( v v ) a equazione del m.u.a v > v < v media < v (può anche essere negativa)

24 MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO Ipotesi: moto rettilineo, accelerazione costante Ricordando che v media s/t, Teorema del valore medio della velocità 1 s vmedia t ( v + v)t 3 a equazione del m.u.a Valida in entrambi i casi: v > e v >, v > e v <, la direzione del moto si inverte Il valore medio della velocità è raggiunto alla metà del tempo del viaggio e non nel punto a metà strada nello spazio.

25 MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO Ipotesi: moto rettilineo, accelerazione costante Sostituiamo la prima nella terza: ( v t ) s + at v v + at 1 s ( v + v + at)t 1 1 s vt + at 1 s ( v + v )t 4 a equazione del m.u.a v t spostamento del corpo mentre procede alla velocità iniziale v, anche se non accelera; 1/at spostamento che il corpo subisce, quando la sua velocità aumenta oltre il valore v. Se a < 1/at < e il corpo rallenta: in questo caso non riuscirà mai a raggiungere la velocità v.

26 MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO Ipotesi: moto rettilineo, accelerazione costante Sostituiamo la prima nella terza: v v + v v a t at Risolvo in t s 1 s v ( v + v ) media t v v a as v v v 1 v media + v a ( v v ) v v + as 5 a equazione del m.u.a

27 MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO Equazione Grandezza mancante v v + at 1 v media + ( v v ) 1 s vmedia t ( v + v)t x - x a s 1 vt + at v v v + as t

28 ACCELERAZIONE DI GRAVITÀ (g) L accelerazione è la stessa per tutti i corpi, ma non è esattamente costante in tutti i punti della terra (decresce al crescere della quota a 1 m s.l.m. è circa minore dello.3% rispetto al l.m.). L accelerazione di gravità dipende: dalla gravità (in massima parte); dalla rotazione del pianeta intorno al proprio asse (in minima parte.4 %, generalmente trascurato) Tale contributo è negativo: se la terra si fermasse intorno al proprio asse, l accelerazione di gravità aumenterebbe ovunque.

29 ACCELERAZIONE DI GRAVITÀ (g) I corpi in caduta libera si muovono di moto rettilineo uniformemente accelerato (lungo la verticale) in cui la accelerazione è pari ad una costante detta accelerazione di gravità ed indicata con la lettera g. Il valore medio di g è pari a: m/s La accelerazione è sempre diretta verso il basso per cui se orientiamo l asse verticale verso l alto avremo a -g Se lo orientiamo verso il basso, avremo a g a g z a - g z

30 MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO g è costante moto uniformemente accelerato tutte le equazioni sono valide. v v + gt 1 v media + ( v v ) 1 s vmedia t ( v + v)t s 1 vt + gt v v + gs

31 MOTO DEI PROIETTILI Qualunque corpo che si muove in due dimensioni, in caduta libera, con velocità iniziale v ed accelerazione di gravità g costante diretta verso il basso, segue un moto detto moto di un proiettile. y Mentre il corpo si muove orizzontalmente, è soggetto per effetto della gravità ad un moto x verticale Sperimentalmente si può evidenziare che: Il moto orizzontale e quello verticale sono indipendenti e non si influenzano a vicenda; Il moto orizzontale è rettilineo uniforme; Il moto verticale è rettilineo uniformemente accelerato.

32 MOTO DEI PROIETTILI Se v è la velocità di lancio, all istante iniziale t si ha: v v x y v v cos sin Moto orizzontale x - x v ox t x - x (vo cos θ o )t Moto verticale y y v oy t 1/ gt v y (vo sin θ o ) g (y - y )

33 MOTO DEI PROIETTILI Se v è la velocità di lancio, all istante iniziale t si ha: v v x y v mentre in un generico istante t successivo a t si ha: vx v v y gt e x y v t 1 gt Da cui si ottiene y 1 g v x 1 g k v, posto si ha y kx L equazione che descrive la traiettoria del moto è l equazione di una parabola

34 MOTO DEI PROIETTILI: LA GITTATA Si definisce gittata (R) la massima distanza raggiunta in direzione orizzontale R x max v x t v, dove t v è il tempo di volo del proiettile Come si può ottenere la massima gittata possibile? R x max v x t v R v sin ( v cos ) g R v sin g La gittata massima si ha in corrispondenza di sin θ 1, cioè θ 45º: R max v g

35 MOTI CURVILINEI: Il moto circolare uniforme

36 Il moto circolare uniforme: velocità angolare Il moto circolare uniforme è il moto di un punto materiale P che descrive una circonferenza con velocità di modulo costante. o r θ R θ P(t) r P Siano r il vettore posizione iniziale di P θ l angolo che r forma con l asse x r il vettore posizione finale di P θ l angolo che r forma con l asse x Il vettore spostamento angolare è definito dalla differenza: Il vettore velocità angolare media è definito dal rapporto: t essendo il moto uniforme la velocità angolare istantanea è, in ogni istante, uguale alla velocità angolare media: i

37 Il moto circolare uniforme: velocità tangenziale P Tra il modulo dello spostamento angolare Δθ e il cammino Δl percorso dal punto materiale sulla o Δθ R P circonferenza di raggio R, ovvero la lunghezza dell arco di circonferenza corrispondente, esiste la relazione: l R Un radiante (rad) è l angolo sotteso ad un arco la cui lunghezza l è uguale proprio al raggio. Considerando che in un giro completo ci sono 36 e questo deve, ovviamente, corrispondere ad un arco di lunghezza pari all intera circonferenza, l r. Si ha quindi che 36 rad Un radiante corrisponde q 36 / 36 /

38 Il moto circolare uniforme: velocità tangenziale P o Δθ R P l R Da questa relazione è possibile ricavare la relazione tra il modulo della velocità angolare ω e il modulo della velocità tangenziale v t, infatti: l R v t R v t t l vtt t t R radianti velocità angolare che si misura in secondo v t R Questa relazione vale solo tra i moduli dei vettori ed in generale esprime la relazione tra velocità angolare istantanea e velocità tangenziale istantanea in un moto curvilineo qualsiasi.

39 Il moto circolare uniforme: accelerazione In ogni intervallo di tempo Δt il modulo della velocità tangenziale è costante, ma direzione e verso cambiano, pertanto è sempre presente una variazione di velocità Δv t e di conseguenza una accelerazione. v t L accelerazione media è definita dal rapporto: a t P o Δθ R P

40 Il moto circolare uniforme: accelerazione v v d v 1 Δv t è diretta esattamente verso il centro della circonferenza e si parla di accelerazione centripeta a c a v t v t c t R R

41 Il moto circolare uniforme Il moto circolare uniforme è un moto periodico in quanto si ripete ciclicamente, con le stesse caratteristiche, lungo la stessa traiettoria, dopo intervalli di tempo uguali. Periodo(T): il tempo per completare un intero ciclo del moto dopo il quale il moto riassume le stesse proprietà Frequenza(ν): il numero di cicli compiuti nell unita di tempo, 1 è legata al periodo dalla relazione: T è legata alla velocità angolare ω dalla relazione: ν