τ (τ vettore tangente al posto di u) ^ ^ G. Bracco - Appunti di Fisica Generale

Transcript

1 Consideriamo ancora l accelerazione scomposta in comp.tang e radiale e vediamo di ricavare analiticamente le relazioni già incontrate. u(t+δt) Δθ Δu Ricordiamo che la derivata di un vettore w=(x,y,z) in forma cartesiana è dw/dt=(dx/dt î + dy/dt ĵ + dz/dt k) u(t) Consideriamo un vettore u di modulo costante e quindi anche un versore ( u =1) i) u u=cost quindi d/dt (u u)=0, dalla definizione di prodotto scalare du/dt u+ u du/dt = u du/dt=0 poiché è commutativo ma questo vuol dire che la derivata du/dt è perpendicolare al vettore stesso. ii) Per un versore (Δθ è piccolo) d Δu /Δt = ( Δθ u )/Δt = Δθ /Δt nel limite per Δt 0, d θ /dt = ω (velocità angolare). Mettendo insieme i) e ii) d u /dt = ω n (n versore di du/dt normale a u) Consideriamo ora la velocità v=v τ (τ vettore tangente al posto di u) 1 I versori τ e n definiscono un piano in 3D (piano osculatore). Definiamo il vettore normale a tale piano b=τ n, detto vettore binormale. Dal punto di vista cinematico, conoscendo velocità ed acceleraz. τ=v/v (versore tangente), b=v a /( v a ) e n=b τ (versore radiale centripeto). L accelerazione è scomponibile in a=a t τ+a r n.

2 Il vettore velocità angolare ω è perpendicolare al piano osculatore (la direzione è quella dell asse di rotazione istantaneo che determina la rotazione di v e quindi ω è parallelo a b) con direzione definita dalla regola della mano destra (v n ω) formano una terna destra. Consideriamo una traiettoria curvilinea la velocità è v= v τ con τ tangente che varia da n punto a punto, da cui l accelerazione τ a=dv/dt=dv/dt τ + v d τ /dt = =dv/dt τ + v ω τ ω ω v Circ. osculatrice Il modulo di ω è ω = v/r con r=raggio circ. osculatrice, infatti istantaneamente il corpo si muove di moto circolare e quindi la seconda componente v ω τè diretta verso il centro della circ. osculatrice e di modulo v v/r =v /r acc. centripeta 3 Questo modo di procedere deriva dalla rappresentazione intrinseca della traiettoria: definiamo una coordinata curvilinea s che misura la distanza (rettificata) da un punto origine ( somma dei tratti tangenti infinitesimi che misurano i cammini percorsi con segno + se nella direzione positiva) e quindi la rappresentazione parametrica della curva diviene r= r(s) ovvero x=x(s) y=y(s) z=z(s) precedentemente con la rappresentazione s cartesiana t era un parametro particolare, il tempo, ora s è una distanza. Alla rappresentazione intrinseca r= r(s) ovvero x=x(s) y=y(s) z=z(s) aggiungiamo come varia s nel tempo s=s(t) (legge oraria) in tal modo si è separata la dipendenza geometrica da quella temporale. 4

3 s Rettificazione della curva s Il vettore tangente alla curva sarà dr/ds=(dx/ds, dy/ds, dz/ds)= u (= τ) e si può dimostrare che questo è il versore (nel limite la corda dr diviene uguale all arco ds) tangente alla traiettoria. Perciò la velocità v=dr/dt=(dr/ds) (ds/dt) si separa nel versore tangente e nel modulo v=v u = ds/dt u (rappresentazione intrinseca della velocità) l accelerazione da quanto visto prima è a=dv/dt=dv/dt u + v du/dt = =a t u + v ω u = d s/dt u + (ds/dt) /r n dove il versore n è stato definito prima ed r è il raggio della circ. osculatrice nel piano definito dai due versori (r definisce il raggio di curvatura della traiettoria, 1/r è detta curvatura) 5 Queste relazioni permettono di classificare i moti v= ds/dt u a=d s/dt u + (ds/dt) /r n basandoci sull equazione oraria moti con ds/dt=costante moti uniformi moti con d s/dt =costante moti uniformemente accelerati basandoci sulla geometria della traiettoria moti rettilinei moti circolari r (curvatura=0) r=cost La trattazione cartesiana e quella intrinseca sono equivalenti, inoltre si possono usare altre rappresentazioni basate su differenti tipi di coordinate le più usate, oltre a quella cartesiana, sono: polare in D, sferica e cilindrica in 3D 6

4 Esempio: nella descrizione del moto circolare uniforme (moto in D) si introducono implicitamente le coordinate polari (r, θ) x= r cos( θ ) y= r sin ( θ ) ciò era particolarmente comodo perché r=cost. e il moto viene descritto solo da θ (legato all ascissa curvilinea s=r θ ma r=cost e si tien conto automaticamente di questo vincolo) questo premette di introdurre variabili angolari per descrivere il moto anziché variabili lineari posizione x θ posizione angolare velocità dx/dt = v dθ/dt = ω velocità angolare accel.tangenziale dv/dt = a dω/dt = α accelerazione angolare ovviamente le quantità sono collegate dalle seguenti relazioni x= r θ v= r ω a t = r α 7 Prendiamo in considerazione un moto rettilineo uniformemente accelerato in rappresentazione cartesiana: Supponiamo il moto lungo x ed integriamo nel tempo la velocità che a sua volta è l integrale dell accel.. f f x f =x i + v(t) dt= x i + (v i + a (t - t i )) dt= i i = x i + v i (t f -t i )+½ a (t f -t i ) Sono possibili delle ovvie semplificazioni : se scelgo l origine nel punto iniziale x i =0 se scelgo l origine dei tempi nell istante iniziale t i =0 Quindi x f =v t f +½ a t f e facendo cadere il pedice f x =v t +½ a t (però bisogna ricordarsi che sono state fatte queste assunzioni) vediamo delle utili formule che derivano da questo risultato 8

5 1D: a=cost moto rettilineo uniformemente accelerato 1) v = v 0 +at (v 0 velocità iniziale, v velocità al tempo t) ) x-x 0 = v 0 t+½at (x 0 posizione iniziale, x posizione al tempo t) ricaviamo il tempo t dalla seconda equazione t=(v-v 0 )/a e messo nella terza (x-x 0 )= v 0 (v-v 0 )/a +½a((v-v 0 )/a) a(x-x 0 )= v 0 (v-v 0 ) +½(v-v 0 ) = v 0 v-v 0 +½(v +v 0 -v 0 v)=½(v -v 0 ) 3) v =v 0 + a(x-x 0 ) x-x 0 = ½ v 0 t+½ (v 0 +at)t = ½ v 0 t+½ vt = ½ (v 0 +v)t dove ½ (v 0 +v) = vel. media 4) x-x 0 == ½ (v 0 +v)t v 0 = v - at, x-x 0 = (v - at )t+½at = vt- ½at in funzione della vel. Finale 5) x-x 0 = vt- ½at 9 In D: per avere un moto in D occorre che a e v 0 non siano paralleli In particolare per la caduta dei gravi l accelerazione è verticale e se il moto ha una componente della velocità orizzontale esso avviene in due dimensioni. Dal punto di vista cinematico abbiamo visto che esso può essere trattato in modo indipendente lungo le due direzioni. Nota: dal punto di vista dinamico questo potrebbe non essere vero: ad es. se le accelerazioni (legate alle forze come vedremo in seguito) dipendono dal modulo della velocità, la componente del moto x (o y) sarà legata alla componente y (o x). In generale il moto è di tipo parabolico essendo l accelerazione costante Esercizio: ricavare le seguenti quantità legate al moto di un proiettile Gittata R= (v 0 /g) sin ( θ 0 ) e massima quota h= (v 0 sin (θ 0 )) /(g) (g acc. di gravità, v 0 = vel. Iniziale, θ 0 angolo di tiro) 10