Finche il moto si svolge in una sola dimensione moto unidimensionale, moto rettilineo non abbiamo bisogno di vettori

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1 Vettori Finche il moto si svolge in una sola dimensione moto unidimensionale, moto rettilineo non abbiamo bisogno di vettori La posiione e individuata dato il sistema di riferimento, e cosi pure tutte le altre grandee del moto. Posiione, velocita e acceleraione sono individuate da numeri con un segno, che indica misura (grandea), direione (lungo la retta del sistema di riferimento) e verso (positivo se in direione della freccia del sistema di riferimento, negativo se in direione opposta). Quando il moto si svolge in piu dimensioni due o tre, fisicamente parlando occorre un modo per specificare posiione, velocita e acceleraione, e specificarne grandea, direione e verso. L uso dei vettori consente di descrivere facilmente grandee fisiche caratteriate da misura grandea direione e verso. G.Gagliardi Fisica 1

2 Sistema di riferimento cartesiano Come nel caso del moto unidimensionale, la prima cosa e avere un sistema di riferimento Una possibilita e scegliere un sistema di riferimento cartesiano, composto da tre assi perpendicolari tra di loro Non e l unica scelta, ed infatti vedremo altri sistemi di riferimento cilindrico, sferico Ogni asse ha il suo verso, la sua direione e la sua unita di misura L origine O e data dal punto di congiunione degli assi Gli assi del sistema di riferimento sono convenionalmente chiamati,, e sono convenionalmente ordinati (costituiscono una terna ordinata ) seguendo le dita della mano destra pollice, indice e medio Si, e lo stesso ordine del prodotto vettoriale, non a caso O G.Gagliardi Fisica 2

3 Vettore posiione Dato un sistema di riferimento e possibile determinare la posiione di un corpo. Il vettore posiione e rappresentato da una freccia che congiunge l origine con il punto in cui il corpo e situato Non c e niente di speciale nell usare la lettera per la posiione. Viene usata spesso anche la lettera r, ma ogni altra lettera puo essere usata. Invece e importante usare il grassetto o una freccettina sopra la lettera, per indicare che stiamo parlando della posiione come di una grandea vettoriale La posiione e misurata in metri. La misura della grandea posiione e data dalla lunghea del vettore posiione O viceversa, la lunghea del vettore posiione e il valore della grandea posiione a R SI NO G.Gagliardi Fisica 3

4 Coordinate E possibile definire una posiione anche come un insieme ordinato di coordinate (1, 2, 3) (1, 2, 3) intendo dire che sono due modi equivalenti di indicare la stessa grandea 1 rappresenta la proieione ortogonale del vettore lungo l asse delle, 2 rappresenta la proieione ortogonale del vettore lungo l asse delle e 3 rappresenta Date le coordinate e possibile disegnare un vettore Dato il vettore disegnato e possibile disegnare le coordinate Un valore di 1, 2 e/o 3 uguale a ero significa che il vettore : Non ha componenti lungo l asse, e/o E perpendicolare all asse, e/o Giace sul piano -, -, - oppure e lungo la retta,,, oppure e nullo Con i vettori si descrive un modello, con le coordinate si fanno i conti G.Gagliardi Fisica 4

5 Coordinate Primo conto: grandea del vettore (posiione, ma e in generale) = ( ) Secondo conto: angolo che il vettore forma con l asse tg q = ( )/1 In due dimensioni diventa tg q = 2/1 Tero conto: somma o differena di vettori + = (1, 2, 3) = (1+1, 2+2, 3+3) - = w w (w1, w2, w3) = (1-1, 2-2, 3-3) Se usiamo i versori i, j, k (vettori unitari di lunghea 1 - lungo l asse, e ) la scrittura (1, 2, 3) diventa piu coerentemente = (i 1 + j 2 + k 3) G.Gagliardi Fisica 5

6 Vettore spostamento Lo spostamento e sempre definito come la differena tra due posiioni in due momenti differenti di tempo: in formule (t 2,t 1 ) = (t 2 ) (t 1 ) La differena tra due vettori e ancora un vettore Dati due vettori posiione e a disegnati, possiamo disegnare lo spostamento -a (da a a ) e a- (da a a) a a- a -a I vettori -a e a- hanno la stessa direione e grandea, ma verso opposto G.Gagliardi Fisica 6

7 Vettore spostamento Il vettore spostamento da a a puo essere disegnato anche con gli estremi alle due punte di freccia dei vettori -a In effetti mentre a e dipendono dal sistema di riferimento, lo spostamento -a non dipende dal sistema di riferimento. Mentre le coordinate dei vettori a e A sono diverse, cosi come sono diverse le coordinate dei vettori e X, le coordinate dei vettori -a e X-A sono uguali. a -a X-A X A G.Gagliardi Fisica 7

8 Traiettoria L insieme dei punti occupati dal corpo durante il suo moto (t) al variare del tempo e chiamato traiettoria. Una traiettoria rettilinea nello spaio puo essere scritta (t) = 0 + a t 1 Una traiettoria circolare nel piano - puo essere scritta (t) = i r sin(wt) + j r cos (wt) Una traiettoria parabolica puo essere scritta nel piano - (t) = i ( 0 + v 0 t )+ k ( 0 + v 0 t + g t 2 ) In generale la traiettoria puo essere scritta come (t) = (t) i + (t) j + (t) k E possibile una volta nota la traiettoria scomporla in piu moti unidimensionali comodo per fare i conti. proieione della posiione del punto sugli assi, ovvero posiione lungo l asse, ovvero moto lunto Ad esempio il moto con una traiettoria parabolica puo essere scomposto in due equaioni sistema di equaioni in formule: (t) = 0 + v 0 t (t) = 0 + v 0 t + g t 2 Una traiettoria puo essere scritta come una serie di spostamenti. al limite gli spostamenti diventano infinitesimali al limite gli spostamenti sono tangenti alla traiettoria G.Gagliardi Fisica 8

9 Velocita Avendo lo spostamento possiamo definire la velocita istantanea vettoriale come la derivata dello spostamento rispetto al tempo In formule: v(t) = d (t)/dt Visivamente: d rappresenta un piccolo spostamento, e al limite e tangente alla traiettoria del moto. La velocita istantanea vettoriale e sempre tangente alla traiettoria. Si disegna come una freccia orientata che ha origine nel corpo scrittura di comodo, non formale facendo i conti e possibile determinare il valore delle componenti della velocita derivando le componenti della traiettoria In formule v(t) = d(t)/dt i + d(t)/dt j + d(t)/dt k v i + v j + v k si assume che i versori i, j, k siano costanti Come nel caso unidimensionale possiamo definire la velocita vettoriale media, e la velocita scalare media e istantanea v m = ((t 2 ) (t 1 ))/(t 2 t 1 ) vscalare m = d((t)) /T vscalare = d (t) /dt G.Gagliardi Fisica 9

10 Acceleraione L acceleraione e la derivata della velocita Acceleraione istantanea a(t) = d(v(t))/dt Acceleraione media a m = dt d(v(t))/dt / dt = (v(t 2 ) v(t 1 ))/(t 2 t 1 ) facendo i conti abbiamo le stesse formule che abbiamo trovato per la velocita : a(t) = dv (t)/dt i + dv (t)/dt j + dv (t)/dt k Visivamente c e una differena: l acceleraione non e sempre tangente alla traiettoria Si introduce il concetto di acceleraione tangeniale e acceleraione centripeta L acceleraione tangeniale e orientata lungo la tangente e il suo valore e quello della variaione della velocita scalare (del modulo della velocita ). Conseguentemente se il moto si svolge a velocita in modulo costante come per esempio nel moto circolare uniforme l acceleraione tangeniale e nulla. L acceleraione centripeta e orientata perpendicolarmente alla traiettoria, lungo il raggio del cerchio osculatore e di modulo v 2 /R G.Gagliardi Fisica 10

11 Acceleraione tangeniale e centripeta La velocita e sempre orientata lungo la tangente alla traiettoria In formule: v(t) = q(t) v(t) v(t) e il modulo del vettore velocita q(t) e il vettore di modulo costante e unitario tangente alla Per esempio, nel caso del moto circolare uniforme, possiamo scrivere q(t) = i cos(wt) j sin(wt) L acceleraione formalmente si scrive come a(t) = d(q(t) v(t))/dt Ovvero: a(t) = q(t) dv(t)/dt + dq(t)/dt v(t) La componente dell acceleraione lungo la traiettoria e l acceleraione tangeniale e vale a t = q(t) dv(t)/dt La variaione del vettore tangente alla traiettoria puo essere solo di direione; e la variaione di direione non puo essere che perpendicolare alla traiettoria Naturalmente esiste una trattaione piu formale Quindi a(t) = q(t) dv(t)/dt + dq(t)/dt v(t) = a tang + a centr G.Gagliardi Fisica 11