Si definisce un operatore vettoriale (nabla) in coordinate cartesiane nella maniera seguente:

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1 APPENDICE A.1 Operatori differeniali e relativi teoremi Si definisce un operatore vettoriale (nabla) in coordinate cartesiane nella maniera seguente: xˆ yˆ ˆ. x y E possibile provare che tale operatore possiede caratteristiche analoghe a quelle dei tradiionali vettori e si presta a definire in maniera sintetica altre grandee utili nell ambito dell elettromagnetismo. In generale la sua espressione dipende dal particolare sistema di coordinate adoperate e l espressione precedente è relativa alle coordinate cartesiane. Sia x y una funione definita e derivabile in ogni punto x y di una certa regione dello spaio (ossia descrive un campo scalare derivabile). Si definisce gradiente di e si indica con o grad la seguente grandea: xˆ yˆ ˆ xˆ yˆ ˆ; x y x y così descrive un campo vettoriale. La componente di nella direione di un versore ˆr è data da ˆr e prende il nome di derivata direionale della funione nella direione di ˆr ; in pratica ˆr esprime l entità della variaione di nella direione di ˆr nel punto x y. Sia vx y v ˆ ˆ xxvyyvˆ una funione vettoriale definita e derivabile in ogni punto x y di una certa regione dello spaio (ossia v descrive un campo vettoriale derivabile). Si definisce divergena di v e si indica con v o divv la seguente grandea: v v x y v v xˆ yˆ ˆ v ˆ ˆ xxvyyvˆ x y x y. Si noti che l operatore nabla viene formalmente adoperato come un operatore tradiionale; tuttavia tale operatore non soddisfa la proprietà commutativa dei vettori rispetto al prodotto scalare risultando v differente da v espressione quest ultima che è priva di significato. Sia vx y v ˆ ˆ xxvyyvˆ un campo vettoriale derivabile. Si definisce rotore di v e si indica con v o rot v la seguente grandea:

2 A- Appendice xˆ yˆ ˆ v xˆ yˆ ˆ v ˆ ˆ xxvyyvˆ x y x y v v v v vy v v x v y v x xˆ yˆ ˆ. y x x y x y Si osservi come anche in questo caso l operatore nabla agisca analogamente ad un vettore tradiionale nel prodotto vettoriale. Di seguito sono mostrate le espressioni del gradiente divergena e rotore nelle coordinate cilindriche: e sferiche: 1 ˆ ˆ ẑ 1 1 v v v v 1 v v v v ˆ 1 v v ˆ v ˆ 1 ˆ 1 ˆ ˆ sin v v v sinv sin sin 1 v 1 1 v sin ˆ ˆ 1 v v v v v ˆ sin sin. Sia V il volume delimitato dalla superficie chiusa S e u un campo vettoriale derivabile con derivate continue il teorema della divergena formulato da Gauss afferma che vale l identità: u ds u nds ˆ udv S S V dove ˆn è il versore positivo (ossia orientato verso l esterno) normale alla superficie S. Sia S una porione di superficie aperta a due facce delimitata da una curva chiusa non intrecciata (curva chiusa semplice) allora se v è un campo vettoriale derivabile con derivate continue il teorema del rotore formulato da Ampère nel 185 e successivamente generaliato da George Gabriel Stokes afferma che vale l identità: vdr v nds v ds ˆ S S C ˆn S

3 Appendice A-3 dove è percorsa in direione positiva. La direione di è detta positiva se un osservatore che cammina sul contorno di S in questa direione e con il capo orientato nella direione del versore positivo ˆn normale a S ha la superficie S alla sua sinistra (si veda la figura).

4 A-4 Appendice A. Numeri complessi L incompletea dell insieme dei numeri reali fu riconosciuta già dai matematici greci che per primi si resero conto dell impossibilità di risolvere equaioni polinomiali del tipo x 1 0. I numeri complessi vennero introdotti nel 16 secolo da Niccolò Tartaglia ma soltanto quale espediente per consentire la risoluione delle equaioni di tero e quarto grado tuttavia solo nel 19 soprattutto per opera di Gauss l insieme dei numeri complessi venne considerato a tutti gli effetti un ampliamento di quello dei numeri reali. Introducendo l unità immaginaria j definita come: j 1 l equaione x 1 0 ha soluioni j. Viene detto numero complesso un numero espresso nella forma: x jy (A.1) i numeri reali x e y sono detti rispettivamente parte reale e parte immaginaria del numero e si indicano: x e y m ; se il numero a è nullo è detto immaginario puro. Si definisce complesso coniugato del numero * complesso (A.1) il numero tale che: La quantità: * x jy. x jy x jy x y è detta modulo di. * A..1 Operaioni tra numeri complessi Consideriamo due numeri complessi 1 e : x jy x jy definiamo la somma (sottraione) 1 come: x jy x jy x x j y y

5 Appendice A-5 la moltiplicaione 1 : x jy x jy xx yy j xy yx la divisione 1 come: x jy x jy x x y y y x x y x y x y x y * * j *. Risulta inoltre: A.. Rappresentaione geometrica L espressione (A.1) suggerisce la possibilità di associare al numero complesso la coppia ordinata di numeri reali x y pertanto è possibile rappresentare un numero complesso attraverso i punti del piano; questo tipo di rappresentaioni prende anche il nome di diagramma di Argand dal matematico francese Jean-Robert Argand che lo introdusse nel Con riferimento alla figura risulta: x rcos y rsin asse immaginario O y r J (x y) x asse reale dove: r x y y tan x (A.) cioè la lunghea r del segmento che unisce l origine del piano col punto di coordinate x y coincide col modulo di e l angolo che tale segmento forma con l asse oriontale detto argomento del numero complesso è tale che la sua tangente è pari al rapporto tra la parte immaginaria e quella reale di. Pertanto dalla (A.1) e dalle relaioni (A.) segue che il numero complesso può essere rappresentato come: x jy r cos jsin. (A.3)

6 A-6 Appendice A..3 Rappresentaione esponeniale Consideriamo lo sviluppo in serie delle funioni cos e sin intorno a 0 : 4 cos 1! 4! 3 5 sin 3! 5! moltiplicando la seconda espressione per j e sommando membro a membro si ottiene: j j 3 j cos j sin 1 j e! 3! pertanto dalla (A.3) segue: j r cos jsin re. La rappresentaione di un numero complesso attraverso l esponeniale si rivela particolarmente utile nella circostana in cui occorre calcolare delle moltiplicaioni o divisioni tra numeri complessi. Infatti dati due numeri: re 1 1 re j1 j risulta: re re rre re r e re r j1 j j1 j 1 j1 j 1 quindi il prodotto di due numeri complessi è pari al numero che ha per modulo il prodotto dei moduli e per argomento la somma degli argomenti e il rapporto tra due numeri complessi è pari al numero che ha per modulo il rapporto tra i moduli e per argomento la differena degli argomenti. A..4 Rappresentaione fasoriale Dalla corrispondena tra un numero complesso ed una coppia ordinata di numeri reali segue che è possibile rappresentare un numero complesso x jy come un segmento orientato del piano xy che spicca dall origine O ed ha estremo libero nel punto di coordinate x y. La lunghea del segmento coincide col modulo del numero complesso e l angolo che tale segmento forma con l asse x coincide con l argomento del numero. A asse immaginario O y r J x asse reale

7 Appendice A-7 asse immaginario O asse reale questo segmento orientato viene attribuito il nome di fasore. Il vantaggio della rappresentaione fasoriale sta nella possibilità di svolgere operaioni tra numeri complessi attraverso un approccio grafico; ad esempio la somma 1 tra i numeri complessi 1 e viene effettuata nella rappresentaione fasoriale applicando la regola del parallelogramma per l addiione di due vettori così come mostrato in figura.

8 A-8 Appendice