APPUNTI DI CAMPI ELETTROMAGNETICI Mod.I Per il corso di Ingegneria dell Informazione. Realizzato da Davide Spinola Ing.

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1 APPUNTI DI CAMPI ELETTROMAGNETICI Mod.I Per il corso di Ingegneria dell Informazione Realizzato da Davide Spinola Ing. Dell Informazione 1

2 INDICE - PARTE 1: ANALISI VETTORIALE 1.1: Leggi fondamentali dell algebra vettoriale....pag.5 1.2: Addizione e sottrazione tra vettori...pag.7 1.3: Vettore posizione e distanza. Pag.8 1.4: Moltiplicazione tra vettori....pag.9 1.5: Coordinate cartesiane...pag : Gradiente di un campo scalare. Pag : Relazioni differenziali fondamentali....pag.15 - PARTE 2: ELETTROSTATICA 2.1: Forza di Coulomb. Pag : Campo elettrico nel vuoto.pag : Campo elettrico generato da molteplici cariche puntuali.....pag : Campo elettrico generato da una distribuzione di carica..... Pag : Spostamento elettrico e densità di spostamento elettrico..pag : Teorema di Gauss......Pag : Teorema della Divergenza. Pag : Potenziale elettrico come funzione del campo elettrico....pag : Conservazione del campo elettrico...pag : Rotore di un campo vettoriale: sviluppi derivanti dalla conservabilità..pag.32 del campo : Equazioni di Maxwell per l elettrostatica: equazioni di Poisson e Laplace Pag.35 - PARTE 3: MAGNETOSTATICA 3.1: Forza di Lorentz (forza magnetica e forza elettrica).....pag : Forza magnetica agente su un conduttore perfetto... Pag : Legge di Biot-Savart.....Pag : Legge del magnetismo di Gauss... Pag : Circuitazione del campo magnetico e Legge di Ampère......Pag : Relazione di continuità carica-corrente...pag : Potenziale vettore magnetico....pag.48 - PARTE 4: EQUAZIONI DI MAXWELL TEMPO-VARIANTI 4.1: Equazioni elettromagnetostatica (regime stazionario e non stazionario)....pag.50 - Legge di Faraday - Legge di Lentz - Legge di Ampère 4.2: Relazioni costitutive.....pag : Condizioni al contorno elettriche - magnetiche Pag.58 - Componenti tangenziali di e : dielettrico dielettrico Pag.59 - Componenti tangenziali di e : dielettrico dielettrico Pag.61 - Componenti normali di e : dielettrico dielettrico. Pag.64 - Componenti normali di e : dielettrico dielettrico. Pag.66 - Componenti tangenziali di e : conduttore conduttore.. Pag.67 - Componenti tangenziali di e : conduttore conduttore.. Pag.69 - Componenti normali di e : conduttore conduttore... Pag.72 - Componenti normali di e : conduttore conduttore Pag.75 - Componenti tangenziali di e : dielettrico conduttore perfetto.. Pag.76 - Componenti tangenziali di e : dielettrico conduttore perfetto. Pag.79 - Componenti normali di e : dielettrico conduttore perfetto...pag.82 - Componenti normali di e : dielettrico conduttore perfetto Pag.84 2

3 - PARTE 5: ONDE ELETTROMAGNETICHE (EM) 5.1: Equazioni d onda generalità.. Pag : Equazioni d onda nello spazio libero....pag : Equazioni d onda in un mezzo conduttore....pag : Definizione di onda pag : Propagazione di un onda piana......pag : Propagazione di un onda piana: equazione d onda nel caso semplificato. Pag.97 di onda piana 5.7: Caso particolare: onda piana che si propaga lungo x.. Pag : Relazioni fra e in onde piane uniformi....pag : Propagazione di un onda piana in un mezzo privo di perdite ( Pag : Velocità dell onda.. Pag : Lunghezza d onda.. Pag : Propagazione di un onda piana in un mezzo con perdite (......Pag : Profondità di penetrazione.....pag PARTE 6: POLARIZZAZIONE 6.1: Polarizzazione circolare in forma fasoriale...pag : Polarizzazione ellittica in forma fasoriale.....pag : Vettore d onda e vettore posizione.... Pag PARTE 7: RIFLESSIONE E RIFRAZIONE DELLE ONDE PIANE 7.1: CASO 1: superficie di separazione dielettrico-conduttore perfetto, incidenza...pag.118 Normale (TE) 7.2: CASO 2: superficie di separazione dielettrico-conduttore perfetto, incidenza...pag.124 Normale (TM).. 7.3: CASO 3: superficie di separazione dielettrico-conduttore perfetto, incidenza...pag.129 obliqua, polarizzazione orizzontale (TE) 7.4: CASO 4: superficie di separazione dielettrico-conduttore perfetto, incidenza...pag.140 obliqua, polarizzazione verticale (TM) 7.5: CASO 5: superficie di separazione dielettrico-dielettrico, incidenza normale (TM)..Pag : CASO 6: superficie di separazione dielettrico-dielettrico, incidenza normale (TE) Pag : CASO 7: superficie di separazione dielettrico-dielettrico, incidenza obliqua,...pag.158 polarizzazione orizzontale (TE) : CASO 8: superficie di separazione dielettrico-dielettrico,incidenza obliqua, Pag.169 polarizzazione verticale (TM).. 7.9: Angolo di Brewster...Pag : CASO 9: Trattazione generale: superficie di separazione dielettrico-dielettrico Pag.183 Incidenza obliqua - PARTE 8: TEOREMA DI POYNTING 8.1: Vettore di Poynting... Pag : Teorema di Poynting nel dominio del tempo....pag : Equazione di conservazione dell energia...pag : Teorema di Poynting complesso....pag : Equazione di conservazione dell energia......pag PARTE 9: TEOREMI 9.1: Teorema di Dualità....Pag : Teorema di Unicità....Pag : Teorema di Reciprocità..Pag :Teorema di Equivalenza.....Pag PARTE 10: LINEE DI TRASMISSIONE 10.1: Generalità...Pag : Il ruolo della lunghezza d onda...pag : Modi propaganti.....pag : Modello a costanti concentrate Pag : Equazioni della linea di trasmissione......pag.206 3

4 10.6: Propagazione delle onde in una linea di trasmissione. Pag : Linea di trasmissione senza perdite. Pag : Coefficiente di riflessione in tensione.pag : Onde stazionarie..pag : Impedenza di ingresso della linea senza perdite Pag : Casi particolari di linea senza perdite Pag : La Carta di Smith...Pag : Adattamento di impedenza a singolo STUB..Pag : Adattamento a doppio STUB. Pag.266 4

5 CAMPI ELETTROMAGNETICI Mod-I (Realizzato da Davide Spinola Politecnico di Bari Ingegneria dell Informazione) Parte 1: ANALISI VETTORIALE Uno scalare è una quantità che è caratterizzata solo dall intensità e dal segno algebrico. Campi di quantità fisiche scalari possono essere la temperatura, il tempo. Un vettore specifica sia il modulo che la direzione di una grandezza: la rapidità con cui un oggetto si muove è espressa da uno scalare, la sua velocità da un vettore. L analisi vettoriale fornisce gli strumenti matematici necessari a esprimere e manipolare le grandezze vettoriali in modo efficiente e comodo. L algebra vettoriale esprime le leggi che governano la somma, sottrazione e moltiplicazione tra vettori in qualsiasi sistema di riferimento. Il calcolo vettoriale, che comprende le leggi di derivazione e integrazione per i vettori, l uso di specifici operatori vettoriali come gradiente, divergenza e rotore, e l applicazione di alcuni teoremi di particolare utilità, segnatamente il teorema della divergenza e il teorema di Stokes. 1.1: Leggi fondamentali dell algebra vettoriale Un vettore ha modulo e direzione definita da un versore : Il versore ha modulo unitario, cioè, e la sua direzione è data da: La figura in basso mostra una rappresentazione grafica del vettore lunghezza (modulo), la cui freccia punta in direzione di. nella forma di un segmento di 1 Nel sistema a coordinate cartesiane (o rettangolari), le direzioni associate alle coordinate sono definite dai tre versori mutuamente perpendicolari detti vettori di base del sistema di riferimento. Il vettore, nelle due e tre dimensioni si può rappresentare come: Dove sono i componenti di, rispettivamente lungo la direzione. 5

6 Applicando il Teorema di Pitagora, prima al triangolo rettangolo del piano per esprimere l ipotenusa in funzione di e di e quindi al triangolo rettangolo verticale i cui cateti sono e e la cui ipotenusa è, si ottiene la seguente espressione del modulo di : Dato che Il versore è uno scalare non negativo, si considera la radice quadrata solo con il segno positivo. è dato da: Le figure in basso mostrano il caso generico di un vettore nelle due e tre dimensioni. 6

7 1.2: Addizione e sottrazione tra vettori La somma di due vettori e è un vettore dato da: L addizione tra vettori si può ottenere graficamente o con la regola del parallelogramma o la regola testacoda, come mostrato nelle figure in basso. Se si disegnano e a partire dallo stesso punto senza modificarne modulo e direzione, il vettore è la diagonale del parallelogramma descritto da e. Con la regola testa-coda si può decidere di sommare e o ad : quando viene sommato a, lo si posiziona in modo che la sua coda coincida con la testa di, sempre mantenendone invariati modulo e direzione. Il vettore somma parte dalla coda di e termina alla testa di. Se e sono dati in coordinate cartesiane secondo il modo seguente: Il vettore somma risulta essere: 7

8 Sottrarre il vettore dal vettore equivale a sommare al vettore cambiato di segno. Pertanto: Dal punto di vista grafico, alla sottrazione tra i vettori si possono applicare le stesse regole di addizione: l unica differenza consiste nel fatto che, rispetto alla rappresentazione di, la freccia di viene disegnata all estremità opposta del segmento, vale a dire che testa e coda vengono scambiate. 1.3: Vettore posizione e distanza In un dato sistema di riferimento, il vettore posizione di un punto nello spazio è il vettore che và dall origine a I punti e, nella figura in basso, sono posizionati rispettivamente in e in. I loro vettori posizione sono: 8

9 Il vettore distanza da a è definito come: E la distanza tra e è uguale al modulo di : 1.4: Moltiplicazione tra vettori Nel calcolo vettoriale esistono tre tipi di prodotto: il prodotto semplice, il prodotto scalare e il prodotto vettoriale: - Prodotto semplice La moltiplicazione di un vettore per uno scalare è detta prodotto semplice. Il prodotto del vettore per uno scalare è un vettore il cui modulo è e la cui direzione è la stessa di. Vale a dire: - Prodotto scalare Il prodotto scalare tra due vettori e, indicato con, si definisce dal punto di vista geometrico come il prodotto tra il modulo di uno dei due vettori e la proiezione ortogonale dell altro vettore sul primo, o viceversa. Pertanto: Dove è l angolo compreso tra e. Il prodotto scalare di due vettori è uno scalare, il cui modulo è minore o uguale al prodotto dei moduli dei due vettori (l uguaglianza si ha quando e il cui segno è positivo se e negativo se. Quando i vettori sono ortogonali e in quel caso il loro prodotto scalare è nullo. La quantità rappresenta il componente di lungo ed è uguale alla proiezione ortogonale del vettore lungo la direzione del vettore, e analogamente rappresenta il componente di lungo. 9

10 Se e, si ha: Dato che i versori di base sono ortogonali l uno all altro, segue che: Per il prodotto scalare valgono le seguenti proprietà commutativa e la distributiva della moltiplicazione, cioè: Il prodotto scalare di un vettore con se stesso vale: Se il vettore presenta un angolo : Quindi il modulo di si può determinare applicando: Inoltre, se i vettori e sono definiti in un dato sistema di riferimento, allora l angolo più piccolo tra essi si può determinare applicando: 10

11 - Prodotto vettoriale Il prodotto vettoriale tra due vettori e, indicato con, è un vettore definito come: Dove è l angolo compreso tra e, misurato partendo dalla coda di verso la coda di, mentre è il versore normale al piano che contiene e. Il modulo del prodotto vettoriale è uguale all area del parallelogramma descritto dai due vettori e la sua direzione è descritta da secondo la seguente regola della mano destra: è diretto lungo il pollice della mano destra quando le dita ruotano da verso attraverso l angolo. Si noti che, dal momento che è perpendicolare al piano che contiene e, è perpendicolare sia ad che a. Il prodotto vettoriale è anticommutativo, vale a dire che: Questa propriteà si può verificare ruotando le dita da verso attraverso l angolo. Il prodotto vettoriale gode anche delle seguenti proprietà: Dalla definizione di prodotto vettoriale è facile verificare che i versori di base coordinate cartesiane obbediscono alle seguenti relazione cicliche: del sistema in 11

12 Inoltre: Se e, si ha: 1.5: Coordinate cartesiane Nel calcolo differenziale si usano comunemente le grandezze differenziali: la lunghezza differenziale in coordinate cartesiane è un vettore definito come: Dove è una lunghezza differenziale lungo e definizioni analoghe si applicano a e. L area differenziale è una grandezza vettoriale di modulo uguale al prodotto di due lunghezze differenziali, come e, e la sua direzione è indicata da un versore diretto lungo la terza direzione, in questo caso. Perciò un area differenziale nel piano si ha: Dove il pedice di indica la sua direzione. Analogamente: Il volume differenziale è uguale al prodotto di tutte e tre le lunghezze differenziali: 12

13 1.6: Gradiente di un campo scalare Quando si trattano grandezze fisiche scalari, il cui modulo dipende da una sola variabile, come la temperatura in funzione dell altitudine, la velocità di variazione di rispetto all altitudine può essere descritta mediante la derivata, che rappresenta la pendenza della retta tangente in un determinato punto della funzione scalare dove esplicita la variazione di velocità di essa. Tuttavia, se è anche funzione di e in un sistema di coordinate cartesiane, la sua velocità di variazione nello spazio diventa più complicata da descrivere, in quanto in tal caso bisogna non solo trattare tre variabili separate, ma anche unificare in maniera organica la trattazione. La variazione differenziale di lungo si può descrivere in termini delle derivate parziali di rispetto alle tre variabili coordinate, ma il procedimento con cui si debbano combinare le tre derivate parziali per descrivere la velocità di variazione spaziale di lungo una determinata direzione non è immediato. Inoltre molte delle grandezze che si trattano nell elettromagnetismo sono vettori e dunque sia i loro moduli che le loro direzioni possono variare in funzione della posizione nello spazio. Nel calcolo vettoriale si usano tre operatori fondamentali per descrivere le variazioni differenziali nello spazio di scalari e vettori: gli operatori gradiente, divergenza e rotore. L operatore gradiente si applica ai campi scalari, gli altri due operatori si applicano ai campi vettoriali. Si supponga che sia la temperatura nel punto situato in una qualche regione dello spazio e che sia la temperatura in un punto adiacente. Le distanze differenziali sono i componenti del vettore distanza differenziale ; vale a dire: Dal calcolo differenziale si ha che la temperatura differenziale è data da: E dal momento che per definizione, e, si può scrivere come: 13

14 Il vettore all interno delle parentesi quadre definisce la variazione di temperatura corrispondente a una variazione vettoriale di posizione. Questo vettore è detto gradiente di e di solito si indica dal punto di vista simbolico con. Vale a dire: Pertanto, si può esprimere come: Il simbolo è detto operatore gradiente e viene chiamato nabla o del, definito come: L operarote gradiente riveste significato fisico nel momento in cui agisce su una grandezza fisica scalare, e il risultato dell operazione è un vettore il cui modulo è uguale alla massima velocità di variazione della grandezza fisica per unità di distanza e la cui direzione è rivolta lungo la direzione di massimo incremento. Definendo, dove è il versore associato a, la derivata direzionale di lungo la direzione è data da: Se è una funzione nota delle variabili coordinate di un dato sistema di riferimento, si può calcolare la differenza, dove e sono i valori di rispettivamente nei punti e, integrando entrambi i membri si ottiene: 14

15 1.7: Relazioni differenziali fondamentali Dati due vettori arbitrari e, valgono le seguenti relazioni: (1) (2) (3) (4) ; (5) ; (6) ; (7) (8). 15

16 Parte 2: ELETTROSTATICA 2.1: Forza di Coulomb La forza elettrica è simile alla forza gravitazionale ma con un importante differenza: la sorgente del campo gravitazionale è la massa, mentre la sorgente del campo elettrico è la carica elettrica; entrambi i tipi di campo variano inversamente con il quadrato della distanza dalle proprie rispettive sorgenti, ma la carica elettrica può avere polarità positiva o negativa, mentre la massa non possiede tale proprietà. Gli esperimento di Coulomb dimostrarono che: 1. Due cariche dello stesso segno si respingono a vicenda, mentre due cariche di polarità opposta si attraggono; 2. La forza agisce lungo la linea che congiuge le cariche; 3. L intensità è proporzionale al prodotto dei moduli delle due cariche e inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra esse. Queste proprietà costituiscono quella che oggi è chiamata Legge di Coulomb, che si può esprimere matematicamente con la seguente equazione: Dove è la forza elettrica che agisce sulla carica dovuta alla carica, R è la distanza tra le due cariche, è un versore che punta dalla carica alla carica e è una costante universale detta permittività elettrica dello spazio libero [ REPULSIONE ATTRAZIONE 16

17 2.2: Campo Elettrico nel vuoto o nello spazio libero La Legge di Coulomb che fu introdotta inizialmente per cariche elettriche in aria e succevvivamente estesa a materiali generici afferma che: 1. Una carica isolata induce un campo elettrico in ogni punto dello spazio e in un dato punto l espressione di è data da: Dove è un versore che punta da al punto, è la loro distanza, e la permettività elettrica del mezzo che contiene il punto di osservazione ; e che 2. in presenza di un campo elettrico in un dato punto dello spazio, che può essere originato da una singola carica o da una distribuzione di più cariche, la forza che agisce su una carica di test, quando la carica è posta in quel determinato punto, è: La forza è misurata in newtons [N] e in coulombs [C]. Si rappresentano in basso le linee di campo: 17

18 Dimostrazione: +Q Q Calcoliamo la Legge di Coulomb sulla carica di prova : Ipotizzando che la carica di prova sia trascurabile rispetto alla carica, e che quindi non vada a permuttare il sistema, il campo elettrico agente sulla carica di prova, e quindi al punto, è: +Q Q 18

19 2.3: Campo elettrico generato da molteplici cariche puntuali L espressione del Campo Elettrico, fornita sopra alla parte 2.2, esprime il campo elettrico generato da una singola carica. Esso può essere esteso al caso di un campo generato da più cariche puntuali. Si consideri inizialmente il caso di due cariche puntuali e che giacciono nelle posizioni individuate dai vettori e rispetto all origine di un dato sistema di coordinate, come raffigurato in basso. Il campo elettrico viene valutato nel punto che ha posizione indicata dal vettore. I vettori posizione sono: I vettori distanza sono: I moduli dei vettori distanza sono: 19

20 I versori sono: Nel punto il campo elettrico ed creati dalle cariche e sono dati dalle relazioni: Il campo elettrico ubbidisce al principio di sovrapposizione degli effetti. Di conseguenza, il campo elettrico totale in ogni punto dello spazio è uguale al vettore somma delle componenti di campo elettrico indotte dalle cariche individuali presenti. In questo caso: Vettorialmente esplicitiamo le componenti dei campi elettrici : Somando vettorialmente si ricava il vettore risultante, dato graficamente dalla regola del parallelogramma: 20

21 Il modulo del vettore risultante è pari a: Servendoci delle formule di Werner: Il modulo diviene: Mentre l angolo del vettore risultante è: Determinando il campo elettrico risultante attraverso la sua definizione analitica si ottiene: Generalizzando il risultato precedente al caso di cariche puntuali, il campo elettrico nella posizione indicata dal vettore causato dalle cariche posizionate nei punti individuati attraverso è dato da: Effettuando una breve verifica a livello empirico, supponiamo di attribuire tali valori: Si ricava che il vettore risultante presenterà modulo e fase pari a: 21

22 2.4: Campo elettrico generato da una distribuzione di carica Si consideri il volume mostrato in basso. Esso contiene una distribuzione di carica elettrica caratterizzata da una densità di carica volumetrica, il cui modulo può variare con la posizione all interno di. Il campo elettrico nel punto generato da una carica infinitesimale contenuta nell elemento infinitesimo di volume è: Dove è il vettore che punta dall elemento infinitesimo di volume al punto. Applicando il principio di sovrapposizione lineare il campo elettrico totale può essere ottenuto integrando tutti i contributi infinitesimi di campo generati dalle cariche che costituiscono la distribuzione. Si ricava così: E importante osservare che, in generale, sia che variano in funzione della posizione all interno del volume di integrazione. Se la carica è distribuita su una superficie con densità di carica superficiale allora, oppure se la carica è distribuita lungo una linea con densità di carica lineare allora. Allora si ha rispettivamente: Graficamente, nel caso di distribuzione volumetrica di carica: 22

23 2.5: Spostamento elettrico e Densità di spostamento Il campo elettrico dipende non solo dalla grandezza e posizione della carica ma anche dalla permettività dielettrica del mezzo in cui si misura il campo. Una grandezza elettrica associata alla carica ma indipendente dal mezzo è lo spostamento elettrico o flusso elettrico che nel sistema MKS (Sistema Internazionale di Misura) risulta uguale alla carica che esso produce, cioè. Il significato di questa quantità elettrica è dato dalla esperienza di Faraday delle sfere concentriche: la carica sulla sfera esterna, indotta dalla carica disposta sulla sfera interna, successivamente rimossa, risulta essere uguale e di segno opposto alla carica della sfera interna indipendentemente dalla dimensione della sfera e da tutti i tipi di materiali dielettrici che possono essere disposti tra le sfere. La sfera più piccola, posta all interno della sfera più grande, presenta una carica elettrica positiva pari a pertanto il flusso elettrico sarà uscente (flusso rosso) dalla carica stessa e diretto verso la sfera grande, dove è interposto tra le due sfere una costante di permettività. Le linee di flusso elettrico generate dalla sfera piccola saranno dirette verso la sfera grande in modo entrante (flusso blu), pertanto la sfera grande assumerà una carica elettrica pari a. (Vedi linee di flusso dei campi elettrici ) Pertanto, lo Spostamente elettrico è quello spostamento che avviene da a. Lo spostamento elettrico per unità di superficie o densità di spostamento elettrico in un punto qualsiasi della superficie sferica di raggio centrata sulla carica isolata (tratteggiata di blu) sarà: Lo spostamento elettrico per unità di superficie in ogni punto è una quantità vettoriale in quanto dipende dalla orientazione della superficie: la sua direzione è quella della normale all elemento di superficie per cui la densità di spostamento elettrico risulta massima. Nel caso di vettore spostamento per unità di superficie dovuto ad una carica isolata (in un mezzo isotropo), la direzione è quella radiale con centro nel punto ove è la carica ed è la stessa del campo elettrico. 23

24 Confrontanto le equazioni di campo elettrico e di densità di spostamento elettrico, nel caso di mezzi isotropi (caratterizzati da costante dielettrica indipendente dall ampiezza e dalla direzione del campo elettrico) ed omogenei ( costane, cioè indipendente dalla posizione), si può scrivere: Moltiplicando e dividento per ricaviamo: Attraverso considerazioni di simmetria e assumendo che sia positiva, la direzione del vettore deve essere radiale lungo il versore e puntante verso l esterno, mentre, il modulo del vettore, deve essere uguale in tutti i punti della superficie. Quindi per ogni punto sulla superficie, la cui posizione è definita dal vettore : Pertanto, in termini infinitesimali, lo spostamento elettrico sulla quantità è: Supponendo che : Quindi, radialmente si ha: Da cui si ricava: 24

25 2.6: Teorema di Gauss Sia data una superficie chiusa immersa nel campo elettrico cui si assegna, convenzionalmente, una faccia carica positiva, quindi il campo elettrico sarà uscente. Consideriamo una porzione infinitesimale della superficie nota come cui è la normale all infinitesimale e è l area dell elemento di superficie. Si definisce flusso infinitesimale del campo elettrico attraverso l elemento di superficie il prodotto scalare: Integrando, il flusso infinitesimale attraverso l intera superficie vale: Def: Enunciato del Teorema di Gauss Il flusso del campo elettrico nel vuoto attraverso una superficie chiusa qualunque è pari alla somma algebrica (nel caso di distribuzione continua di cariche, è pari all integrale) delle cariche contenute all interno di diviso per. Eventuali cariche disposte esternamente alla superficie chiusa non portano alcun contributo al flusso di. Ci proponiamo di calcolare il flusso di uscente da un volumetto elementare di forma parallelepipeda e dimensioni lineari avente una densità di carica volumetrica pari a

26 Si rcava: Il segno meno giustifica che la direzione del versore è diretto verso le x negative. Quindi: Invece: Quindi: Invece: Quindi: Il flusso totale è dato dalla somma algebrica: Con: Pertanto: 26

27 Integrando: Dove, per il Teorema della divergenza, il risultato può essere esteso per descrivere la relazione tra l integrale volumetrico di su un volume arbitrario e il flusso elettrico di attraverso la superficie chiusa che racchiude. Vale a dire: Attraverso l analogia tra densità di spostamento elettrico e il campo elettrico è possibile esprimere il flusso totale elettrico, dato che sia il vettore che il vettore sono identici tra loro e linearmente dipendete da un fattore : Otteniamo: Sapendo dalla definizione di spostamento elettrico che: Uguagliando le due espressioni si ricava: Quindi: Sostituendo si ottiene: L equazione: Viene indicata come forma differenziale della Legge di Gauss. L aggettivo differenziale si riferisce al fatto che l operatore divergenza comporta delle derivate parziali. La Legge di Gauss fornisce un modo semplice per determinare la densità di flusso elettrostatico quando la distribuzione di carica possiede proprietà di simmetria. 27

28 2.7: Teorema della Divergenza Il risultato del flusso totale, per un volume differenziale, può essere esteso per descrivere la relazione tra l integrale volumetrico di su un volume arbitrario e il flusso attraverso la superficie chiusa che racchiude. Vale a dire: Il flusso di un vettore attraverso una superficie chiusa S è pari all integrale della divergenza di calcolato sul volume V racchiuso da S (teorema della divergenza) 28

29 2.8: Potenziale elettrico come funzione del campo elettrico Nei circuiti elettrici si lavora con tensioni e correnti. La tensione tra due punti all interno di un circuito rappresenta la quantità di lavoro, o l energia potenziale, che è richiesta per muovere un unità di carica tra i due punti. Il termine tensione è usato come sinonimo di differenza di potenziale elettrico. Anche se quando si risolve un problema circuitale i campi elettrici presenti nel circuito di solito non vengono presi in considerazione, di fatto è l esistenza di un campo elettrico che crea una differenza di potenziale tra due punti, come ai capi di una resistenza o di una capacità. Supponiamo un caso semplice, che è quello del campo generato da una carica puntiforme su una carica di prova. A B Il campo elettrico generato da una carica puntiforme è espresso dalla Legge di Coulomb: Supposto che la carica di prova sia trascurabile rispetto, tale da non perturbare il sistema in analisi. La forza subita dalla carica di prova in un campo elettrico generato dalla carica permette di compiere uno spostamento a lungo (vettore spostamento lineare) senza perturbare il sistema. La forza agente su è pari a: All equazione sopra, dando un carattere generale, si può dire che la forza che agisce su una carica si esprime sempre come prodotto della carica per un certo campo elettrico. Il lavoro della forza per uno spostamento elementare della carica è dato da: Se è l angolo compreso tra il campo elettrico e lo spostamento, mentre la quantità, proiezione di lungo la direzione del campo, rappresenta di quanto è variata la distanza a seguito dello spostamento. Per cui: 29

30 La funzione integranda risulta così dipendere soltanto dalla variabile e si ottiene subito, per uno spostamento dal punto al punto, caratterizzati rispettivamente dalle distanze e. A B Integrando con estremi di integrazione si ricava: Questa relazione mostra che il campo elettrico generato da una carica puntiforme è un campo conservativo; il suo integrale di linea fra le due posizioni, e, dipende infatti solo dalle posizioni e non dalla particolare traiettoria che si segue per andare da e. Pertanto: Moltiplicando ambo i membri con segno meno si ottiene: Def: Potenziale elettrico o d.d.p. La tensione V tra due punti genereci rappresenta la quantità di lavoro che è richiesta per muovere una unità di carica tra i due punti. Il termine tensione è usate anche come sinonimo di differenza di potenziale d.d.p.. La d.d.p. viene creata grazie all esistenza di un campo elettrico. 30

31 2.9: Conservazione del campo elettrico La d.d.p. tra due punti qualsiasi e è ottenuta: Il risultato dell integrale di linea è indipendente dal percorso cammino che si è scelto tra i punti e. Calcolando la d.d.p. ai punti e si ricava: Si è evidenziato di come l integrale non sia dipendente dal percorso cammino. Se ci si muove in senso orario dal punto al punto seguendo il percorso per poi ripercorrere il percorso che và da a (saltando ) l integrale diventa fatto su un percorso chiuso eguagliandolo a zero. Dimostriamo: Infatti l integrale di linea del campo elettrostatico su un qualsiasi percorso chiuso è nullo: Un campo vettoriale il cui integrale di linea calcolato su un qualsiasi percorso chiuso è nullo, è detto campo conservativo o irrotazionale. Quindi il campo elettrostatico è conservativo. 31

32 2.10: Rotore di un campo vettoriale. Sviluppi derivanti dalla conservabilità del campo elettrico La proprietà conservativa del campo elettrostatico può anche essere dedotta da questo caso specifico. Supponiamo il seguente caso: Si ottiene dalla definizione di circuitazione: : Sostituendo si ottiene: Sapendo che: Si riduce: Procedendo a risolvere i due integrali: Ovvero: 32

33 Sapendo che: Si ricava: Si può affermare che il secondo e quarto integrale sono nulli. Pertanto, si può affermare che la circuitazione di un campo uniforme è uguale a zero. In virtù della conservabilità, il campo elettrostatico ammette un potenziale cui è legato dalla relazione: Pertanto, ricavando la d.d.p. di un percorso chiuso si ha: Con: Ricaviamo: Valida qualunque sia il percorso che porta dal punto al punto. In particolare, se coincide con (percorso chiuso corto circuito), qualunque sia la linea chiusa scelta per eseguire l integrale, si ha: Dove con il simbolo si intende l integrale eseguito su una linea chiusa, che viene detto circuitazione. 33

34 La è condizione necessaria e sufficiente perché il campo sia conservativo; a parole diremo che la caratteristica dei campi conservativi è di avere circuitazione nulla su qualunque linea chiusa. A tale scopo introduciamo l operatore differenziale vettoriale rotore (o rotazione) applicabile a un vettore campo elettrico le cui componenti siano funzioni continue con le loro derivate parziali. Il rotore di ( ) è definito dalla seguente relazione formale: Ricordando la definizione dell operatore nabla, termini compatti mediante la relazione:, il rotore può essere definito in L operatore vettoriale rotore permette di esprimere in forma compatta una proprietà di analisi matematica per cui l integrale curvilineo di un vettore lungo una linea chiusa può essere trasformato in un integrale eseguito su una superficie che abbia per contorno la linea stessa. Tale proprietà si esprime compiutamente nel Teorema di Stokes il cui enunciato (con precisazioni sulla regolarità di ) è il seguente: Consideriamo una linea chiusa orientata ed una superficie aperta che abbia la linea come contorno; il versore della normale ad sia orientato in modo da vedere come antiorario il verso positivo di. Sia un qualunque campo vettoriale, che abbia componenti continue insieme alle loro derivate parziali prime su tutti i punti di e di ; allora si dimostra che: Il teorema di Stokes permette intanto di evidenziare immediatamente il fatto che il rotore di un campo vettoriale non dipende dal sistema di riferimento ma è una proprietà intrinseca del campo vettoriale. 34

35 Il teorema di Stokes, applicato al campo elettrostatico per il quale vale la relazione, porta alla relazione: L uguaglianza sopra è la relazione cercata, che esprime in forma locale la proprietà di conservatività del campo elettrostatico; si dice anche che il campo elettrostatico è irrotazionale. Pertanto: Se si considera l integrale di superficie di su una superficie aperta, applicando il teorema di Stokes, l integrale di superficie è convertito in un integrale di linea, cioè: Dove è un percorso chiuso che circonda la superficie. Pertanto è la forma differenziale equivalente di. 2.11: Equazioni di Maxwell per l elettrostatica. Equazioni di Poisson e di Laplace L introduzione degli operatori rotore e divergenza permette di scrivere in forma sintetica le equazioni locali (differenziali) che corrispondono al fatto che il campo sia conservativo e obbedisca alla Legge di Gauss: abbiamo Che sono dette le Equazioni di Maxwell per il campo elettrostatico. Ciascuna di essere corrisponde a tre equazioni differenziali nelle componenti del campo. Poiché per il campo la equivale alla, inseriamo questa espressione nella : Operando in coordinate cartesiane: Questa equazione differenziale che lega il potenziale alla densità di carica è detta Equazione di Poisson. Nello spazio vuoto essa diventa: Ed è detta Equazione di Laplace. 35

36 Parte 3: MAGNETOSTATICA Cariche stazionarie generano campi elettrici statici, e analogamente, correnti continue, cioè tempo-invarianti, generano campi magnetici statici. 3.1: Forza di Lorentz (Forza magnetica & Forza elettromagnetica) Sia data una carica positiva in movimento con velocità, se immersa in un flusso magnetico subisce l azione della forza magnetica dove la sua direzione è data dal prodotto vettoriale che è perpendicolare al piano che contiene e e soddisfa la regola della mano destra. Graficamente: Se è negativa, la direzione di è invertita, come descritto dalle figure in basso: 36

37 Il modulo di è dato da: Dove è l angolo tra e. Si noti che è massimo quando è perpendicolare a, mentre è zero quando è parallelo a. Se una particella carica subisce l azione sia di un campo elettrico che di un campo magnetico, la forza elettro( magnetica( complessiva che agisce su di essa è: La forza espressa sopra è nota come Forza di Lorentz. Le forze elettriche e le forze magnetiche mostrano alcune importanti differenze: 1. Mentre la forza elettrica è sempre diretta parallelamente al campo elettrico, la forza magnetica è sempre perpendicolare al campo magnetico. 2. Mentre la forza elettrica agisce su particelle cariche sia stazionarie che in moto, la forza magnetica agisce solo se sono in moto. 3. Mentre la forza elettrica dissipa energia nello spostare una particella carica, la forza magnetica non compie alcun lavoro quando la particella viene spostata. 37

38 3.2: Forza magnetica agente su un conduttore percorso da corrente La corrente che fluisce attraverso un filo conduttore è formata da particelle cariche che scorrono attraverso il materiale che costituisce il filo. Di conseguenza, quando il filo percorso da corrente è immerso in un campo magnetico, subirà una forza pari alla somma di tutte le altre forze magnetiche che agiscono sulla particelle cariche che si muovono all interno di esso. Per quantificare la relazione tra e la corrente che scorre nel filo, si consideri un breve segmento di filo con sezione trasversa di area, lunghezza differenziale e con la direzione di rivolta nella direzione di scorrimento della corrente. Sappiamo che la corrente è data dal rapporto: Dove la carica infinitesimale è pari a: La corrispondente forza magnetica agente su in presenza di un induzione magnetica è: Dove rappresenta, in questo caso, la velocità di scorrimento degli elettroni. Analizzando il modulo di si ha: Ponendo, per semplicità di calcolo, che l angolo tra e sia di 90, si ha: Sapendo che la velocità in modulo è pari a: 38

39 Mentre in forma vettoriale è: Sostituendo in si ricava: Dunque la forza magnetica la si può scrivere in forma vettoriale come: Per un percorso in cui fluisce una corrente, la forza magnetica complessiva è: Se si consideri un filo chiuso (circuito chiuso ) che porta una corrente ed è immerso in un campo esterno costante, esso lo si può portare fuori dall integrale e si ha: Questo risultato, dovuto al fatto che la somma dei vettori spostamento su un percorso chiuso è uguale a zero, dimostra che la forza magnetica complessiva su una qualsiasi spira di corrente chiusa immersa in un campo magnetico uniforme è zero. Graficamente: 39

40 Se si è interessati alla forza magnetica agente su un segmento di filo come quello mostrato in basso quando è immerso in un campo uniforme, applicando la si ottiene: Dove è il vettore diretto da a. L integrale da a di ha lo stesso valore a prescindere dal cammino percorso per andare da a. In una spira chiusa i punti e coincidono, nel qual caso e. 40

41 3.3: Legge di Biot-Savart Precedentemente si è scelto di utilizzare l induzione magnetica per indicare la presenza di un campo magnetico in una determinata regione dello spazio, ora invece si prenderà in considerazione l intensità di campo magnetico. Questa scelta ha in parte lo scopo di rimarcare il fatto che per la maggior parte dei materiali esiste una relazione lineare tra e data da: Pertanto conoscere una delle due equivale a conoscere l altra, se è noto. Hans Oersted dimostrò che le correnti inducono campi magnetici che formano anelli chiusi attorno ai fili; partendo da questi risultati Jean Biot e Felix Savart giunsero a ricavare un espressione che mette in relazione il campo magnetico in ogni punto dello spazio con la corrente che genera. La Legge di Biot-Savart afferma che il campo magnetico differenziale generato da una corrente continua che scorre per una lunghezza differenziale è data da: Dove è il vettore distanza tra e il punto di osservazione descritto in basso, nonché il raggio della superficie. E importante ricordare che la direzione del campo magnetico è definita in modo che sia rivolto lungo la direzione della corrente e il versore punti a partire dall elemento di corrente verso il punto di osservazione. Tuttavia, diversamente dal vettore campo elettrico, la cui direzione è parallela al vettore distanza che congiunge la carica con il punto di osservazione, il campo magnetico è ortogonale al piano che contiene la direzione dell elemento di corrente e il vettore distanza. 41

42 Per determinare il campo magnetico complessivo generato da un conduttore di dimensione finita, si devono sommare i contributi dovuti a tutti gli elementi di corrente che compongono il conduttore: dunque la Legge di Biot-Savart diviene: Dove è il percorso lineare lungo il quale scorre. 42

43 3.4: Legge del magnetismo di Gauss Si è dimostrato che il flusso netto uscente dello spostamento elettrico, o densità di flusso elettrico, attraverso una superficie chiusa che racchiude una carica netta, è uguale a. Questa proprietà è stata chiamata Legge dell elettricità di Gauss e la si è espressa in forma differenziale e in forma integrale come: La trasformazione dalla forma differenziale alla forma integrale è stata eseguita applicando il teorema della divergenza a un volume racchiuso da una superficie e contenente una carica. L analogo magnetico di una carica puntuale è un polo magnetico, ma mentre le cariche elettriche possono esistere isolate, non è così per i poli magnetici, che esistono sempre a coppie: per quante volte si suddivida un magnete permanente, ogni nuovo pezzo avrà sempre un polo nord e un polo sud, anche se la suddivisione si spinge fino a livello atomico. Si ricava che il prodotto scalare mostra la componente in quanto entrante nella superficie : Pertanto, si ottiene: Le stesse operazioni valgono per le restanti due piani : 43

44 Calcolando il flusso magnetico si ha: Quindi: Pertanto non esiste alcun equivalente magnetico alla carica o alla densità di carica, e dunque non è sorprendente che la legge del magnetismo di Gauss sia definita come: Con: La forma differenziale è una delle quattro equazioni di Maxwell e la forma integrale si ottiene con l ausilio del teorema della divergenza. La differenza tra la legge dell elettricità di Gauss e la sua omologa per il magnetismo si può considerare in termini di linee di campo. Le linee di campo elettrico hanno origine dalle cariche elettriche positive e terminano sulle cariche negative. Dunque, nel caso delle linee di campo elettrico, il flusso elettrico attraverso una superficie chiusa che racchiuda una delle cariche è diverso da zero. Al contrario, le linee di campo magnetico formano sempre i circuiti chiusi continui. Le linee di campo magnetico generate da correnti non iniziano e non terminano in nessun punto; cio è vero per il conduttore rettilineo e la spira circolare. Questo è vero anche per un magnete nel caso di una barra magnetica. Dal momento che le linee di campo magnetico formano anelli chiusi, il flusso magnetico netto attraverso una superficie chiusa che circondi il polo sud del magnete, o anche una qualsiasi altra superficie chiusa, è sempre zero, a prescindere dalla forma della superficie. Legge di Gauss dell elettricità Legge di Gauss del magnetismo 44

45 3.5: Circuitazione del campo magnetico e Legge di Ampère Dalla Legge di Biot-Savart si è mostrato che le correnti inducono campi magnetici che formano anelli chiusi attorno ai fili; partendo da questi risultati si giunse a ricavare un espressione che mette in relazione il campo magnetico in ogni punto dello spazio con la corrente che genera, ovvero l equazione di Biot-Savart. Supponiamo di avere un filo di lunghezza infinitesimale in cui scorre una corrente con una densità superficiale di corrente pari a sulla superficie perpendicolare alla corrente. Sappiamo che la corrente è pari a: Pertanto, si deduce dalla Legge di Biot-Savart che: Ovvero, uguagliando i due integrali rispetto e otteniamo: Dove è il contorno chiuso che delimita la superficie e è la corrente complessiva che scorre attraverso. Il teorema di Stokes permette intanto di evidenziare immediatamente il fatto che il rotore di un campo vettoriale non dipende dal sistema di riferimento ma è una proprietà intrinseca del campo vettoriale. 45

46 Pertanto si ricava: Cioè: La legge della circuitazione di Ampère afferma che l integrale di linea di alla corrente che attraversa la superficie delimitata dal contorno. In conclusione: su un contorno chiuso è uguale La forma integrale della è detta Legge della circuitazione di Ampère, o più semplicemente Legge di Ampère, in condizioni magnetostatiche, vale a dire per correnti continue. Per la direzione di si scegle un verso convenzionale tale che e soddisfino la regola della mano destra 3.6: Relazione di continuità carica-corrente In condizioni stazionarie, la densità di carica e la densità di corrente in un determinato punto del materiale sono del tutto indipendenti l una dall altra. Per dimostrare la relazione tra e, si considera dapprima un volume arbitrario delimitato da una superficie chiusa, come mostrato in basso; la carica positiva netta contenuta in è pari a. Dal momento che, per la legge di conservazione della carica elettrica la carica non può essere né creata né distrutta, l unico modo in cui può aumentare è in virtù di un flusso netto entrante di carica positiva nel volume e, analogamente, perché diminuisca deve esistere un flusso netto uscente di carica positiva dal volume. I flussi entranti e uscenti di carica formano correnti che scorrono rispettivamente dentro e fuori da attraverso la superficie, e si definisce con la corrente netta uscente (e questo giustifica il segno meno) da attraverso. Di conseguenza, è uguale al tasso di variazione negativa di : 46

47 Sapendo che: Dove è la densità volumetrica di carica all interno di. Sostituendo in si ottiene: La corrente è definita anche come il flusso del vettore densità di corrente, dunque: uscente attraverso la superficie Eguagliando i due termini si ricava: Applicando il teorema della divergenza, si può trasformare l integrale di superficie di un generico campo vettoriale nell integrale di volume della sua divergenza, da cui si ottiene: Nel nostro caso: Pertanto, uguagliando i due termini si ha: Affinché gli integrali di volume nei due membri siano uguali per qualsiasi volume, i loro integrandi devono essere uguali in ogni punto di, pertanto: Che è nota come relazione di continuità carica-corrente o, più semplicemente, come equazione di continuità della carica. 47

48 Se la densità volumetrica di carica contenuta in un volume infinitesimo, per esempio un piccolo cilindro, non è funzione del tempo è, cioò significa che la corrente netta uscente da è zero, oppure analogamente che la corrente entrante in è uguale alla corrente uscente da esso. In tal caso la diviene: E la sua forma integrale equivalente è: La forma integrale della Legge di Kirchoff per le correnti afferma che in un circuito elettrico la somma algebrica di tutte le correnti uscenti da un nodo è zero. 3.7: Potenziale vettore magnetico Si vuole definire in funzione di un potenziale magnetico, con il vincolo che tale definizione garantisca che la divergenza di sia sempre uguale a zero,. Ciò si può ottenere sfruttando l identità vettoriale che afferma che, per un vettore arbitrario si ha: Pertanto, definendo il potenziale vettore magnetico in modo che: Si ha la garanzia che. Il flusso magnetico concatenato a una superficie è definito come l induzione magnetica complessiva che passa attraverso, vale a dire: Sostituendo la nell integrale sopra e applicando il Teorema di Stokes si ha: Dove è il contorno che delimita la superficie. In questo modo si può determinare dalla oppure dalla a seconda di quale delle due è più facile da integrare nell ambito del particolare problema in esame. 48

49 Parte 4: EQUAZIONI DI MAXWELL TEMPO - VARIANTI Fino ad ora i campi considerati sono stati principalmente i campi elettrici statici dovuti a cariche a riposo ed i campi magnetici statici dovuti a correnti fisse. Le equazioni che vigono per questi campi possono essere riassunti come segue: Forma differenziale Forma integrale Trattazione Circuitazione del Campo Elettrico Teorema di Gauss sul flusso dello spostamento elettrico Circuitazione del Campo Magnetico o Legge di Ampère - Maxwell Teorema di Gauss sul flusso del campo magnetico Relazione di continuità caricacorrente (con Queste equazioni formano la sintesi della Legge di Gauss e della Legge di Ampère e, di fatto, unificano il concetto di Campo Elettrico e Campo Magnetico all interno del più ampio concetto di Campo Elettromagnetico. Per studiare gli effetti dei campi elettromagnetici tempo-varianti bisogna introdurre delle variazioni a tali relazioni, in modo da ottenere le cosìddette equazioni di Maxwell in campi elettromagnetici tempo-varianti. 49

50 4.1: Equazioni elettromagnetostatica (regime stazionario): Equazioni di Maxwell (regime stazionario e non stazionario) - Legge di induzione di Faraday Faraday capì che la corrente e la f.e.m. vengono indotte nel circuito quando varia la quantità di campo magnetico che attraversa la spira. Intuì poi che qusta quantità di campo magnetico poteva essere associata alla densità delle linee di forza del campo che passano attraverso la spira, o per meglio dire il flusso magnetico. La Legge di Induzione di Faraday può esprimersi nel seguente modo: Una f.e.m. viene indotta nella spira quando il numero delle linee di forza del flusso magnetico che attraversano questa spira cambia. Pertanto, il qualcosa che deve variare per indurre una f.e.m. in una spira è il numero delle linee di forza del campo magnetico che attraversano la spira. Le linee di forza hanno origine nel magnete e il numero di linee che attraversano la spira aumentano quando il magnete viene avvicinato. Questo aumento causa apparentemente il moto degli elettronic di conduzione nella spira (la corrente indotta) e fornisce energia (la f.e.m. indotta) per il loro moto. Quando il magnete arresta il suo movimento, il numero di linee di forza attraverso la spira cessa di variare e scompaiono corrente e f.e.m. indotte. Grazie alla definizione di, pari al lavoro fatto sulle cariche del circuito dal campo elettrico, si può scrivere: 50

51 Dove è il flusso magnetico: E la circuitazione del campo elettrico (sia tempo-invariante che tempo-variante) è data da: Pertanto: Il segno meno sta ad indicare che la corrente prodotta si oppone alle variazioni del flusso magnetico, compatibilmente con il principio di conservazione dell energia. Il fenomeno è perfettamente coerente se riferito a circuiti non deformabili, per i quali la variazione del flusso è unicamente legata alla variazione temporale del campo magnetico stesso. Però la variazione del flusso magnetico può essere dovuta a: 1) Un campo magnetico tempo-variante attraverso un percorso fisso; 2) Un percorso tempo variante in un campo magnetico fisso. Assumiamo che il percorso sia tempo-invariante, quindi consideriamo il percorso non dipendente dal tempo; si può scrivere: La derivata parziale indica che stiamo considerando solo le variazioni del flusso magnetico,, dovute alle variazioni di e non alle variazioni del percorso, 51

52 - Legge di Lenz Lenz enunciò, tre anni dopo la Legge di Induzione di Faraday, la seguente regola, nota come Legge di Lenz, per stabilire il verso di una corrente indotta in una spira: La corrente indotta in una spira ha un verso tale che il campo magnetico generato dalla corrente si oppone alla variazione di campo magnetico che l ha indotta. Inoltre il verso della f.e.m. indotta è quello della corrente indotta. Per comprendere la Legge di Lenz applichiamola a due casi diversi ma equivalenti in cui il polo nord di un magnete si sta avvicinando a una spira. 1. Opposizione al movimento del magnete. Con l avvicinarsi del magnete il campo magnetico attraverso la spira aumenta e quindi si induce una corrente. La spira si comporta come un dipolo magnetico con i propri poli nord e sud e con un momento magnetico dipolare orientato dal polo sud al polo nord. Per opporsi alla crescita del campo magnetico dovuta alla barretta in avvicinamento, il polo nord della spirale (e quindi ) dev essere diretto contro il polo nord del magnete in avvicinamento, in modo da respingerlo. Di conseguenza la regola della mano destra applicata al vettore indica il verso della corrente antiorario. Se invece allontaniamo il magnete dalla spira, la corrente inverte il suo senso e la spira presenta ora il polo sud diretto verso il nord del magnete, in modo da attrarlo e trattenerlo dall allontanamento. La corrente nella spira circola in senso orario. 2. Opposizione alla variazione di flusso. Quando la barretta magnetica è lontana, il flusso attraverso la spira è praticamento nullo. Se la barretta si avvicina con polo nord rivolto verso la spira e il suo campo magnetico entro la spira orientato verso sinistra, il flusso concatenato con la spira aumenta. Per opporsi a questa crescita, la corrente indotta nella spira deve circolare nel verso tale che il campo magnetico da essa creato sia orientato verso destra; quindi quest ultimo flusso rivolto verso destra è discorde al flusso di rivolto a sinistra. Dalla regola della mano destra riconosciamo che la corrente scorre in senso antiorario. Si noti bene che il flusso di si oppone sempre alla variazione del flusso di e questo non significa che è sempre opposto a. Per campi tempo-invarianti: In forma differenziale: Per campi tempo-varianti: 52

53 Per il Teorema di Stokes, si ha che: Eguagliando le due espressioni si ricava: - Legge di Ampère La Legge di Ampère afferma che l integrale lungo una linea chiusa del prodotto scalare è uguale alla corrente elettrica che passa attraverso il cammino chiuso attorno a cui è calcolato l integrale di linea: Questa legge scansisce il legame tra le correnti elettriche ed il campo magnetico da esse prodotto. In forma differenzialem sapendo che: abbiamo che (dalla Legge di Ampère): Calcoliamo, ora, la divergenza dei due termini in regime stazionario (tempo-invariante) : Ora passiamo al calcolo della divergenza dei due termini per campi tempo-varianti: 53

54 Quindi per campi tempo-varianti la relazione risulta essere: Pertanto: Questa è la cosìddetta incoerenza della Legge di Ampère. Affinché la Legge di Ampère sia valida anche per campi tempo-varianti, non si considera solo il singolo elemento bensì la somma: Dove è la densità di corrente di spostamento dovuta alla variazione del campo elettrico nel tempo t e nello spazio x. Sappiamo che l equazione di continuità in regime non stazionario è: Sappiamo inoltre che, per definizione di densità di spostamento nel campo elettrico: E che, per la Legge di Gauss in forma differenziale nel campo elettrico: Possiamo sostituire la densità di carica nell equazione precedente: Invertendo la divergenza (derivata rispetto allo spazio) con la derivata rispetto al tempo si ha: Portando dall altra parte si ricava: Dove è la densità di corrente di spostamento elettrico. 54

55 Sostituendo questo nella formula generale della Legge di Ampère in regime non stazionario si ha: Di conseguenza abbiamo la Circuitazione per campi magnetici tempo-invarianti e tempo-varianti: Dove: È la densità di corrente totale per campi tempo-varianti. Integrando la Legge di Ampère per campi tempo-invarianti e non: Dal Teorema di Stokes sappiamo che: Quindi: Dove è la corrente di spostamento elettrico dovuto alla variazione del campo elettrico. Questa equazione dichiara che la forza elettromagnetica attorno ad un percorso chiuso è uguale alla corrente totale chiusa in un percorso. Ricapitolando, la Legge di Ampère per campi tempo-invarianti e per campi tempo-varianti: 55

56 Con: Raggruppando i vari casi trattati finora: Dovute alle variazioni nel tempo del campo magnetico 1) Densità di corrente di spostamento magnetico: 2) Corrente di spostamento magnetico: 3) Densità di corrente di spostamento elettrico: Dovute alle variazione nel tempo del campo elettrico 4) Corrente di spostamento elettrico: 56

57 Riassumendo tutto in tabella: Forma differenziale Forma integrale Trattazione Circuitazione del Campo Elettrico Legge di Induzione di Faraday Teorema di Gauss Flusso elettrico attraverso una superficie chiusa S Circuitazione del Campo Magnetico Legge di Ampère-Maxwell Teorema di Gauss Flusso del Campo Magnetico su una superficie chiusa S Equazione di continuità caricacorrente per campi tempovarianti Le seguenti equazioni, riportate in tabella, valgono sia per campi tempo-invarianti che per campi tempovarianti. Ogni equazione si presenta in forma: a) Differenziale: usate per studiare le relazioni tra i quattro campi vettoriali all interno di un mezzo continuo. b) Integrale: usata per studiare le relazioni tra i quattro campi vettoriali alle superfici di discontinuità tra mezzi differenti. E possibile, peraltro, passare da una forma all altra servedosi dei Teoremi di Stokes e della Divergenza. 4.2: Relazioni Costitutive Alle equazioni di Maxwell vengono aggiunte tre equazioni dette relazioni costitutive che prendono in considerazione le caratteristiche del mezzo ( ): 1) ; 2) à 3) à 57

58 4.3: Condizioni al contorno elettriche - magnetiche Un campo elettrico si dice essere spazialmente continuo se non presenta variazioni improvvise nel modulo o nella direzione della posizione. Anche se un campo elettrico può essere continuo in due materiali distinti, tuttavia può essere discontinuo sulla superficie di separazione dei due mezzi quando una carica è presente sul contorno. Le condizioni al contorno specificano in che modo sono legate le componenti normali e tangenziali del campo sulla superficie di separazione di due materiali. Anche se le condizioni al contorno verranno ricavate in condizioni elettrostatiche e magnetostatiche, esse rimangono valide anche per i campi elettrici tempo varianti. La figura in basso mostra un interfaccia tra un mezzo dielettrico 1 con permettività e un mezzo dielettrico 2 con permettività. Nel caso generale la superficie di separazione può avere una densità di carica superficiale. Per ricavare le condizioni al contorno per le componenti tangeziali e, si consideri il percorso chiuso rettangolare abcd illustrato sopra e si applichi la proprietà conservativa (circuitazione) del campo elettrico e del campo magnetico date da: Si analizzano, successivamente, i vari casi: Superficie di separazione: DIELETTRICO 1 DIELETTRICO 2 Superficie di separazione: CONDUTTORE 1 CONDUTTORE 2 Superficie di separazione: DIELETTRICO CONDUTTORE PERFETTO 58

59 - COMPONENTE TANGENZIALE DI E : DIELETTRICO 1 DIELETTRICO 2 Si analizza la circuitazione del campo elettrostatico su un percorso chiuso abcd, dove vi è una superficie di separazione tra due dielettrici differenti ove sono note le seguenti condizioni: Superficie di separazione: DIELETTRICO 1 DIELETTRICO 2 Graficamente: DIELETTRICO 1 - d c a b DIELETTRICO 2 - Si ricava: Si noti che il vettore campo elettrico ed possono esplicitati come: Sviluppando gli integrali in merito alla circuitazione si ha: 59

60 Con: Otteniamo: Di conseguenza, per la circuitazione, si è ricavato: Ovvero: Pertanto, la componente tangenziale del campo elettrico è continua nel passaggio tra due mezzi qualsiasi. Poiché e le condizioni al contorno sulla componente tangenziale della densità di flusso elettrico impongono che: 60

61 - COMPONENTE TANGENZIALE DI E : DIELETTRICO - DIELETTRICO Si analizza la circuitazione del campo magnetostatico su un percorso chiuso abcd, dove vi è una superficie di separazione tra due dielettrici differenti ove sono note le seguenti condizioni: Superficie di separazione: DIELETTRICO 1 DIELETTRICO 2 Graficamente: DIELETTRICO 1 - d c a b DIELETTRICO 2 - Si ricava: Si noti che il vettore campo magnetico ed possono esplicitati come: Sviluppando gli integrali in merito alla circuitazione si ha: 61

62 Con: Otteniamo: Portando fuori dall integrale di superficie si ha: Si ha che l integrale di superficie è pari a: Pertanto, sostituendo nella circuitazione: Ovvero: Semplificando i 62

63 Ora, trovandoci in unacondizione in cui la superficie di separazione è tra due dielettrici differenti tra loro, che presentano una costante di conduttività, si ha che anche la densità di corrente. Inoltre, essendo campi tempo-invarianti, si ha che: Di conseguenza, per la circuitazione, si ricava: Ovvero: Pertanto, la componente tangenziale del campo magnetico è continua nel passaggio tra due mezzi qualsiasi. Poiché e le condizioni al contorno sulla componente tangenziale della densità di flusso elettrico impongono che: 63

64 - COMPONENTE NORMALE DI E : DIELETTRICO - DIELETTRICO Ora si applichi la Legge di Gauss per il flusso elettrico per determinare le condizioni al contorno sulle componenti normali e : Secondo quanto espresso dalla Legge di Gauss, il flusso totale uscente di attraverso le superfici del piccolo cilindro mostrato sopra deve essere uguale alla carica totale racchiusa nel parallelepipedo. Superficie di separazione: DIELETTRICO 1 DIELETTRICO 2 Graficamente: DIELETTRICO 1 - DIELETTRICO 2 - Si ricava: Dove e sono rispettivamente i versori normali uscenti dalla superficie inferiore e superiore. E importante ricordare che il versore normale alla superficie di un qualsiasi materiale è sempre considerato uscente dal mezzo. 64

65 Poiché, si ha: Facendo ora tendere l altezza del cilindro, il contributo al flusso totale sulla superficie laterale tende a zero. Quindi, anche se entrambi i mezzi hanno densità di carica volumetrica, l unica carica che rimane nel parallelepipedo collassato è quella distribuita sul contorno. Così, Quindi la componente normale di sulla superficie di separazione tra due mezzi carichi non è continua in quanto cambia in modo brusco e questa variazione è uguale alla densità di carica presente sulla superficie. La condizione al contorno che corrisponde al campo elettrico è: 65

66 - COMPONENTE NORMALE DI E : DIELETTRICO - DIELETTRICO Ora si applichi la Legge di Gauss per il flusso magnetico per determinare le condizioni al contorno sulle componenti normali e : Secondo quanto espresso dalla Legge di Gauss, il flusso totale uscente di attraverso le superfici del polo nord è uguale al flusso totale entrante di attraverso le superfici del polo sud. Superficie di separazione: DIELETTRICO 1 DIELETTRICO 2 Graficamente: DIELETTRICO 1 - DIELETTRICO 2 - Si ricava: Dove e sono rispettivamente i versori normali uscenti dalla superficie inferiore e superiore. E importante ricordare che il versore normale alla superficie di un qualsiasi materiale è sempre considerato uscente dal mezzo. 66

67 Poiché, si ha: Pertanto, si ricava: La condizione al contorno che corrisponde al campo magnetico è: - COMPONENTE TANGENZIALE DI E : CONDUTTORE 1 CONDUTTORE 2 Si analizza la circuitazione del campo elettrostatico su un percorso chiuso abcd, dove vi è una superficie di separazione tra due conduttori differenti ove sono note le seguenti condizioni: Superficie di separazione: CONDUTTORE 1 CONDUTTORE 2 Graficamente: CONDUTTORE 1 -, d c a b CONDUTTORE 2 -, Si ricava: 67

68 Si noti che il vettore campo elettrico ed possono esplicitati come: Sviluppando gli integrali in merito alla circuitazione si ha: Con: Otteniamo: Di conseguenza, per la circuitazione, si è ricavato: Ovvero: 68

69 Pertanto, la componente tangenziale del campo elettrico è continua nel passaggio tra due mezzi qualsiasi. Poiché e le condizioni al contorno sulla componente tangenziale della densità di flusso elettrico impongono che: Dalle Relazioni Costitutive sappiamo che: Pertanto: Oppure: - COMPONENTE TANGENZIALE DI E : CONDUTTORE - CONDUTTORE Si analizza la circuitazione del campo magnetostatico su un percorso chiuso abcd, dove vi è una superficie di separazione tra due dielettrici differenti ove sono note le seguenti condizioni: Superficie di separazione: CONDUTTORE 1 CONDUTTORE 2 Graficamente: CONDUTTORE 1 -, d c a b CONDUTTORE 2 -, 69

70 Si ricava: Si noti che il vettore campo magnetico ed possono esplicitati come: Sviluppando gli integrali in merito alla circuitazione si ha: Con: Otteniamo: 70

71 Portando fuori dall integrale di superficie si ha: Si ha che l integrale di superficie è pari a: Pertanto, sostituendo nella circuitazione: Ovvero: Semplificando i Questa condizione, mostrata sopra, dichiara che la corrente per unità di altezza lungo la superficie di un conduttore perfetto è uguale alla forza del campo magnetico nella parte esterna della superficie stessa. Ora, trovandoci in unacondizione in cui la superficie di separazione è tra due conduttori differenti tra loro, che presentano una costante di conduttività, si ha che anche la densità di corrente. Le correnti superficiali possono esistere solo sulle superfici dei conduttori perfetti e dei superconduttori, dunque all interfaccia tra mezzi che abbiano conducibilità finite, si ha e: Ovvero: Pertanto, la componente tangenziale del campo magnetico è continua nel passaggio tra due mezzi qualsiasi. Poiché e le condizioni al contorno sulla componente tangenziale della densità di flusso elettrico impongono che: 71

72 - COMPONENTE NORMALE DI E : CONDUTTORE - CONDUTTORE Ora si applichi la Legge di Gauss per il flusso elettrico per determinare le condizioni al contorno sulle componenti normali e : Secondo quanto espresso dalla Legge di Gauss, il flusso totale uscente di attraverso le superfici del piccolo parallelepipedo mostrato deve essere uguale alla carica totale racchiusa nel parallelepipedo. Superficie di separazione: CONDUTTORE 1 CONDUTTORE 2 Graficamente: CONDUTTORE 1 -, CONDUTTORE 2 -, Si ricava: Dove e sono rispettivamente i versori normali uscenti dalla superficie inferiore e superiore. E importante ricordare che il versore normale alla superficie di un qualsiasi materiale è sempre considerato uscente dal mezzo. 72

73 Poiché, si ha: Facendo ora tendere l altezza del cilindro, il contributo al flusso totale sulla superficie laterale tende a zero. Quindi, anche se entrambi i mezzi hanno densità di carica volumetrica, l unica carica che rimane nel parallelepipedo collassato è quella distribuita sul contorno. Così, Quindi la componente normale di sulla superficie di separazione tra due mezzi carichi non è continua in quanto cambia in modo brusco e questa variazione è uguale alla densità di carica presente sulla superficie. La condizione al contorno che corrisponde al campo elettrico è: Dalle Relazioni Costitutive si ha che: Pertanto: Poiché sono stati presi in considerazione mezzi conduttori, i campi elettrici danno origine alle densità di corrente e dove è proporzionale a e è proporzionale a. Dalla relazione si ha: Le componenti tangenziali e rappresentano correnti che scorrono nei due mezzi in direzione parallela al contorno, e quindi non comportano nessun trasferimento di energia tra i due mezzi. Questo non è altrettanto vero per le componenti normali. Infatti, se la quantità di carica che arriva all interfaccia è diversa da quella che parte. Sembrerebbe quindi che non rimanga costante nel tempo, situazione che però viola il principio fondamentale dell elettrostatica che richiede che tutti i campi e tutte le cariche rimangano costanti. Si deduce pertanto che la componente normale di, in condizioni elettrostatiche deve essere continua nel passaggio attraverso la superficie di separazione di due materiali diversi. Fissando nella si ricava: 73

74 Graficamente: 74

75 - COMPONENTE NORMALE DI E : CONDUTTORE - CONDUTTORE Ora si applichi la Legge di Gauss per il flusso magnetico per determinare le condizioni al contorno sulle componenti normali e : Secondo quanto espresso dalla Legge di Gauss, il flusso totale uscente di attraverso le superfici del polo nord è uguale al flusso totale entrante di attraverso le superfici del polo sud. Superficie di separazione: CONDUTTORE 1 CONDUTTORE 2 Graficamente: CONDUTTORE 1 -, CONDUTTORE 2 -, Si ricava: Dove e sono rispettivamente i versori normali uscenti dalla superficie inferiore e superiore. E importante ricordare che il versore normale alla superficie di un qualsiasi materiale è sempre considerato uscente dal mezzo. 75

76 Poiché, si ha: Pertanto, si ricava: La condizione al contorno che corrisponde al campo magnetico è: - COMPONENTE TANGENZIALE DI E : DIELETTRICO CONDUTTORE PERFETTO Si analizza la circuitazione del campo elettrostatico su un percorso chiuso abcd, dove vi è una superficie di separazione tra un dielettrico ed un conduttore perfetto ove sono note le seguenti condizioni: Superficie di separazione: DIELETTRICO CONDUTTORE PERFETTO Si consideri il caso in cui il mezzo 1, della figura sopra, è un dielettrico mentre il mezzo 2 è un conduttore perfetto. In un conduttore perfetto si verifica l effetto pelle, che è la tendenza di una corrente elettrica alternata di distribuirsi dentro un conduttore in modo non uniforme; la sua densità è maggiore sulla superficie e inferiore all interno del conduttore stesso. Quindi, considerando la densità di corrente, al crescere della conducibilità, le cariche tendono a disporsi sulla superficie, di conseguenza e saranno maggiori sulla superficie e minori al centro. Pertanto, ricapitolando, nel conduttore perfetto la conducibilità tende all infinito si ha quindi il massimo effetto pelle con e saranno nulli all interno mentre sarà concentrato sulla superficie, quindi. Graficamente: DIELETTRICO - d c a b CONDUTTORE PERFETTO -, 76

77 Si ricava: Si noti che il vettore campo elettrico ed possono esplicitati come: Sviluppando gli integrali in merito alla circuitazione si ha: Con: Otteniamo: Di conseguenza, per la circuitazione, si è ricavato: 77

78 A causa dell Effetto Pelle, si ha che: E quindi anche Pertanto, si ha che lungo il conduttore perfetto non si abbia contributo della componente tangenziale in quanto questa tende ad anullarsi: In conclusione, si può affermare che: Poiché e le condizioni al contorno sulla componente tangenziale della densità di flusso elettrico impongono che: Dalle Relazioni Costitutive sappiamo che: Pertanto: 78

79 - COMPONENTE TANGENZIALE DI E : DIELETTRICO CONDUTTORE PERFETTO Si analizza la circuitazione del campo magnetostatico su un percorso chiuso abcd, dove vi è una superficie di separazione tra un dielettrico e un conduttore perfetto ove sono note le seguenti condizioni: Superficie di separazione: DIELETTRICO CONDUTTORE PERFETTO Graficamente: DIELETTRICO - d c a b CONDUTTORE PERFETTO -, Si ricava: Si noti che il vettore campo magnetico ed possono esplicitati come: Sviluppando gli integrali in merito alla circuitazione si ha: 79

80 Con: Otteniamo: Portando fuori dall integrale di superficie si ha: Si ha che l integrale di superficie è pari a: Pertanto, sostituendo nella circuitazione: Ovvero: Semplificando i Ora, trovandoci in unacondizione in cui la superficie di separazione è tra due mezzi differenti tra loro, che presentano una costante di conduttività, si ha che anche la densità di corrente. 80

81 Le correnti superficiali possono esistere solo sulle superfici dei conduttori perfetti e dei superconduttori, dunque all interfaccia tra mezzi che abbiano conducibilità finite (nel dielettrico) e infinita nel dielettrico, si ha e: Ovvero: Pertanto, la componente tangenziale del campo magnetico è continua nel passaggio tra due mezzi qualsiasi. Poiché e le condizioni al contorno sulla componente tangenziale della densità di flusso elettrico impongono che: 81

82 - COMPONENTE NORMALE DI E : DIELETTRICO CONDUTTORE PERFETTO Ora si applichi la Legge di Gauss per il flusso elettrico per determinare le condizioni al contorno sulle componenti normali e : Secondo quanto espresso dalla Legge di Gauss, il flusso totale uscente di attraverso le superfici del piccolo parallelepipedo mostrato deve essere uguale alla carica totale racchiusa nel parallelepipedo. Superficie di separazione: DIELETTRICO CONDUTTORE PERFETTO Graficamente: DIELETTRICO - CONDUTTORE PERFETTO -, Si ricava: Dove e sono rispettivamente i versori normali uscenti dalla superficie inferiore e superiore. E importante ricordare che il versore normale alla superficie di un qualsiasi materiale è sempre considerato uscente dal mezzo. 82

83 Poiché, si ha: Facendo ora tendere l altezza del cilindro, il contributo al flusso totale sulla superficie laterale tende a zero. Quindi, anche se entrambi i mezzi hanno densità di carica volumetrica, l unica carica che rimane nel parallelepipedo collassato è quella distribuita sul contorno. Così, Quindi la componente normale di sulla superficie di separazione tra due mezzi carichi non è continua in quanto cambia in modo brusco e questa variazione è uguale alla densità di carica presente sulla superficie. A causa dell Effetto Pelle, si ha che: E quindi anche Pertanto, si ha che lungo il conduttore perfetto non si abbia contributo della componente normale in quanto questa tende ad anullarsi: In conclusione, si può affermare che: Dalle Relazioni Costitutive si ha che: Pertanto: 83

84 - COMPONENTE NORMALE DI E : DIELETTRICO CONDUTTORE PERFETTO Ora si applichi la Legge di Gauss per il flusso magnetico per determinare le condizioni al contorno sulle componenti normali e : Secondo quanto espresso dalla Legge di Gauss, il flusso totale uscente di attraverso le superfici del polo nord è uguale al flusso totale entrante di attraverso le superfici del polo sud. Superficie di separazione: DIELETTRICO CONDUTTORE PERFETTO Graficamente: CONDUTTORE 1 -, CONDUTTORE 2 -, Si ricava: Dove e sono rispettivamente i versori normali uscenti dalla superficie inferiore e superiore. E importante ricordare che il versore normale alla superficie di un qualsiasi materiale è sempre considerato uscente dal mezzo. 84

85 Poiché, si ha: Pertanto, si ricava: La condizione al contorno che corrisponde al campo magnetico è: 85

86 Parte 5: ONDE ELETTROMAGNETICHE (EMW ElettroMagnetics Waves) 5.1: Equazioni d onda - generalità Nella soluzione di ogni problema elettromagnetico le fondamentali relazioni da soddisfare sono le seguenti quattro equazioni, dette equazioni Maxwell: (I) (II) (III) (IV) (V) Inoltre, oltre a queste quattro equazioni, vi sono tre soluzioni che prendono in considerazione le caratteristiche del mezzo in cui esiste il campo. Queste relazioni sono le Relazioni Costitutive: (I) permettività: indica la predisposizione di un materiale a trasmettere (o permettere) un campo elettrico. (II) (III) corrente elettrica. permeabilità: esprime l attitudine di un materiale a lasciarsi magnetizzare. conduttività: esprime l attitudine di un materiale a lasciarsi attraversare da Dove sono rispettivamente permettività, permeabilità e conduttività del mezzo che si assume essere omogeneo, isotropo e esente da cariche. Quando queste relazioni costitutive vengono inserite nella (I) e (II) equazione di Maxwell, esse diventano equazioni differenziali che mettono in relazione le forze dei campi elettrici e magnetici e. Mettendo a sistema la (I) e la (II) equazione di Maxwell e considerando le tre relazioni costitutive si ottengono le equazioni d onda, le quali sono equazioni differenziali le cui loro soluzioni descrivono la propagazione di un onda elettromagnetica. 86

87 5.2: Equazioni d onda nello spazio libero (dielettrico perfetto) Prima di ottenere le soluzioni per i casi generali delle equazioni d onda è utile considerare il fenomeno elettromagnetico nello spazio generale o, più generalmente, in un dielettrico perfetto contenente nessuna carica e nessuna conduzione di corrente, ovvero: In queste condizioni le equazioni di Maxwell diventano: (I) (II) (III) (IV) (V) - Dalla prima equazioni di Maxwell risulta: Derivando rispetto al tempo ambo i membri: Si ricava che: Sapendo dalle Relazioni Costitutive che: Sostituendo nella prima equazioni di Maxwell: Dalla seconda equazioni di Maxwell sappiamo che: 87

88 Applichiamo l operatore rotore dei due termini: Il primo termine, a sinistra, diviene (dalla 6 equazione differenziale): Che deriva dalla Proprietà: Sapendo che e andando a sostituire si ricava: Assume valore zero in quanto deve essere in linea con la (III) equazione di Maxwell; pertanto: Di conseguenza la seconda equazione di Maxwell diviene: Prendendo, ora, in considerazione il secondo termine, a destra, e sostituendo con : Dall equazione precedente, in cui si ottiene: Pertanto, unendo i due risultati: Ovvero, invertendo i segni: 88

89 - Dalla seconda equazione di Maxwell risulta: Derivando rispetto al tempo il primo e secondo membro: Sapendo, inoltre, che si ha: Dalla prima equazione di Maxwell si ha: Calcoliamo il rotore dei due termini: Il primo termine risulta essere (dalla 6 equazione differenziale): Sapendo che : Dalla IV equazione di Maxwell si ha che, pertanto: Quindi: Dal secondo termine dell equazione del rotore, sostituendo con : 89

90 Sapendo che: Sostituendo si ha: Pertanto: Invertendo di segno: In conclusione, ricapitolando: In forma fasoriale, con, con : In conclusiore: 90

91 5.3: Equazioni d onda in un mezzo conduttore Per mezzo conduttore si intende un mezzo in cui non c è carica libera ma solo conduzione di corrente: In queste condizioni le equazioni di Maxwell diventano: (I) (II) (III) (IV) (V) - Dalla prima equazione di Maxwell risulta: Dalle Relazioni Costitutive si ha che: La prima Equazione di Maxwell diventa: Derivando rispetto al tempo ambo i membri si ottiene: Pertanto si ottiene: Dalla seconda equazione di Maxwell si ha: Applichiamo l operatore rotore dei due termini: 91

92 Il primo termine, a sinistra, diviene (dalla 6 equazione differenziale): Che deriva dalla Proprietà: Sapendo che e andando a sostituire si ricava: Assume valore zero in quanto deve essere in linea con la (III) equazione di Maxwell; pertanto: Di conseguenza la seconda equazione di Maxwell diviene: Prendendo, ora, in considerazione il secondo termine, a destra, e sostituendo con : Dall equazione precedente, in cui si ottiene: Pertanto, unendo i due risultati: Ovvero, invertendo i segni: 92

93 - Dalla seconda equazione di Maxwell si ha: Derivando rispetto al tempo il primo e secondo membro: Sapendo, inoltre, che si ha: Dalla (I) equazione di Maxwell sappiamo che: Calcoliamo il rotore di ambo i membri: Dalle Relazioni Costituve si può scrivere: Pertanto si ottiene: Sappiamo che il primo membro lo si può scrivere: Dove, dalla IV equazione di Maxwell: Dove: Pertanto 93

94 Quindi diventa: Mentre: Infine: Raggruppando i vari termini: Invertendo i segni: Ricapitolando: Nel dominio dei fasori, con e si ottiene: 94

95 5.4: Definizione di onda Un campo elettrico variabile nel tempo produce un campo magnetico variabile nel tempo e, d altra parte, un campo magnetico tempo-variante produce un campo elettrico. Questo comportamento ciclico genera onde elettromagnetiche (EM) capaci di propagarsi nello spazio libero e nei mezzi materiali. Quando la sua propagazione è guidata da strutture materiali, come una linea di trasmissione, si dice che l onda EM viaggia in un mezzo guidante. La superficie della Terra e la ionosfera si possono considerare come confini paralleli di una struttura guidante naturale per la trasmissione radio a onde corte nella banda HF (da 3 a 30MHz); a queste frequenze la ionosfera è un buon conduttore e permette, quindi, alle onde di propagarsi a zig-zag tra i due confini sudetti, come mostrato in basso. Le onde EM si possono propagare anche nello spazio libero; le onde luminose emesse dal sole e le trasmissioni radio tramite antenne ne sono un tipico esempio. Viene definita Onda quella perturbazione che si propaga attraverso lo spazio trasportando energia, no materia. Le onde (come radiazioni elettromagnetiche) possono propagarsi nel vuoto o in un mezzo; attraverso questi mezzi le onde possono viaggiare e trasferire energia da un punto all altro, senza che alcuna particella del mezzo venga dislocata permanentemente: non esiste quindi un trasporto di massa associato, ogni punto oscilla attorno a una posizione fissa. Le ONDE PERIODICHE sono caratterizzate da una cresta (parte più alta) e da un ventre (punto più basso) e sono caratterizzate come longitudinali o trasversali. Nelle ONDE TRASVERSALI la vibrazione è perpendicolare alla direzione di propagazione. Sono onde trasversali quelle che si propagano, per esempio, sulle corde di una chitarra e di altri strumenti a corda. Se un onda trasversale si muove nella direzione positiva delle, le sue oscillazioni sono nelle direzione sopra e sotto che giacciono sul piano. 95

96 Le ONDE LONGITUDINALI sono, invece, caratterizzate da una vibrazione concorde con la direzione di propagazione dell onda stessa. Tutte le onde possiedono le seguenti proprietà: - RIFLESSIONE: quando un onda cambia direzione a causa di uno scontro con un materiale riflettente. - RIFRAZIONE: il cambio di direzione di un onda causata dal cambio del mezzo di propagazione. - DIFFRAZIONE: la diffusione delle onde, per esempio, quando passano per una fessura stretta. - INTERFERENZA: la somma vettoriale di due onde che entrano in contatto. - DISPERSIONE: la divisione di un onda in sotto onde in dipendenza della loro frequenza. I mezzi sul quale possono propagarsi le onde presentano le seguenti proprietà generali: - MEZZO LIMITATO: se ha una estenzione finita. - MEZZO OMOGENEO: se le proprietà fisiche del mezzo in un punto qualsiasi non cambiano a seguito di una traslazione da quel punto (spostamento rettilineo). - MEZZO ISOTROPO: se le proprietà fisiche del mezzo in un punto qualsiasi non cambiano a seguito di una rotazione da quel punto. Affermare che un mezzo è isotropo equivale a dire che le sue proprietà fisiche sono le stesse in tutte le direzioni. Infine, le ONDE ELETTROMAGNETICHE (o RADIAZIONI ELETTROMAGNETICHE) sono un fenomeno ondulatorio dovuto alla contemporanea propagazione di perturbazioni periodiche di un campo elettrico e di un campo magnetico, oscillanti in piani ortogonali tra loro: 96

97 5.5: Onda Piana Un onda piana è un onda a frequenza costante i cui fronti d onda sono infiniti piani paralleli di ampiezza costante, normale al vettore d onda (ha come direzione e verso quelli della propagazione dell onda). L onda piana è un approssimazione ideale dell onda, rappresenta il caso in cui la sorgente dell onda è posta a distanza infinita dal punto in cui si osserva il fronte d onda considerato. L onda piana si propaga in una sola dimensione (1D). Si definiscono fronte d onda l insieme dei punti che vibrano concordemente, in modo tale che per ciascuno di essi lo spostamento dalla posizione di equilibrio assume lo stesso valore in ogni istante. In termini più specifici, i fronte d onda è la superficie di un onda elettromagnetica i cui punti hanno tutti la stessa fase. Un fronte d onda si propaga seguendo il movimento dell onda con la sua stessa velocità. Schematicamente: 5.7: Propagazione di un onda piana: equazione d onda nel caso semplificato di onda piana Le equazioni d onda si riducono ad una forma molto più semplice nel caso di onda piana, inquanto ed sono considerati sulle due dimensioni e (le derivate parziali rispetto a e sono nulle). Allora: Con si ottiene: Sapendo che: 97

98 Otteniamo: Riprendendo le equazioni d onda, ricavate precedentemente, nello spazio libero (dielettrico): Si possono trascrivere come: In forma fasoriale: La soluzione generale di una equazione differenziale di questo tipo (nel dominio del tempo), cioè dell equazione d onda nel caso specifico di onda piana, è: Oppure: Dove: Inoltre, e possono essere qualsiasi funzione (non necessariamente la stessa) di e 0. Le funzioni e descrivono matematicamente come un onda venga confinata ad una dimensione nello spazio. 98

99 Consideriamo la funzione Se fissiamo un certo istante di tempo, ad esempio, allora la funzione diventa funzione di, dato che è una costante (ad esempio ecc ). Per ogni istante di avremo sempre la stessa forma della curva della funzione solo che sarà traslata verso destra di una distanza ; questo dimostra che il fenomeno ha viaggiato nella posizione positiva delle con una velocità. Inversamente, la funzione corrisponde ad un onda viaggiante nella direzione delle negative. Quindi la soluzione generale delle equazioni d onda in questo caso è vista consistere di due onde, una viaggiante verso destra (si allontana dalla sorgente) e l altra è viaggiante verso sinistra (torna indietro dalla sorgente). Se non è presente nessuna superficie che rifletta indietro l onda alla sorgente, il secondo termine della soluzione generale può essere omesso, pertanto la soluzione generale diventa: Mentre, la soluzione generale di una equazione d onda espressa nel dominio fasoriale è: Oppure: 99

100 5.7: Caso particolare: onda piana che si propaga lungo Condizioni iniziali: 1. ed sono funzioni di e ; 2. ed sono indipendenti da e, pertanto Soluzioni dell equazioni d onda per un onda piana (che si propaga lungo la direzione ) sono: In assenza di riflessione: Consideriamo l equazione d onda di (lo stesso vale per ) nello spazio libero (dominio del tempo): Dalla definizione di Laplaciano per una funzione vettoriale abbiamo: Per un onda piana che si propaga nella direzione si ha, quindi: Pertanto: I campi ed hanno componenti solo lungo le direzioni perpendicolari alla direzione di propagazione. Si vuole, ora, dimostrare che sotto queste ipotesi i campi ed non hanno componenti vettoriali in (direzione di spostamento). Si dice che le onde piane sono trasverse, pertanto si parlerà di ONDE TEM (TRANSVERS ELECTROMAGNETIC WAVES). Si consideri una regione in cui non c è carica, pertanto ; dalla III equazione di Maxwell si ha: Per un onda piana che si propaga nella direzione delle si ha che e, quindi si avrà per (e per : 100

101 Quindi l equazione d onda per un onda piana diventa: Nota: per dimostrare abbiamo utilizzato o, in quanto si è supposto inizialmente la componente. Ora prendiamo in considerazione la derivata parziale seconda rispetto al tempo (, essa deve risultare nulla. Questo richiede che sia o zero, o costante nel tempo oppure si incrementi uniformemente con il tempo: Le ultime due condizioni non possono essere considerate inquanto un campo che soddisfa le due condizioni non sarebbe una parte del movimento d onda, e quindi si ritiene valida la prima considerazione: Per movimento d onda si intende una particolarità di un campo: un campo che non fa parte del movimento d onda è un campo che non si propaga nella direzione dell onda (in questo caso ). Per questo motivo un onda piana progressiva sull asse non ha componenti di. Una simile analisi dimostrerebbe che non ci sono componenti per. Ne segue quindi che le onde piane elettromagnetiche sono trasversali (obblique) ed e (x, t) hanno componenti solo in direzioni perpendicolari alla direzione di propagazione. 5.8: Relazione fra e in onde piane uniformi Abbiamo visto come e non hanno componenti nella direzione di propagazione. Un onda piana uniforme viaggiante nella direzione di e, entrambi indipendenti da e, non hanno componenti in : a) e (x, t) dipendono solo da e (non da e ); b) e sono nulle. Consideriamo la prima e la terza equazione di Maxwell nello spazio libero, dove risultano le condizioni: Le Equazioni sono: (I) ; (II). Iniziamo con la prima equazione: 101

102 Nel caso di onda piana avremo: Mentre: Unendo i risultati abbiamo: Passando, ora, alla terza equazione di Maxwell: Nel caso di un onda piana avremo: Mentre: Unendo i risultati abbiamo: Eguagliando i termini e poi i termini, dalle equazioni risultanti, si hanno le seguenti relazioni: 102

103 Considerando che abbia solo la componente (cioè, oltre anche ) e non si ha riflessione (quindi la soluzione generale non ha il contributo ): Deriviamo tale equazione rispetto al tempo: Sostituendo nell equazioni abbiamo: Integrando ambo i membri rispetto a, otteniamo: Sapendo che: e: Abbiamo: In definitiva: Con la stessa trattazione ma considerando che ( e non si abbia riflessione, avremo: abbia solo componente, ovvero 103

104 Si ottiene: Sappiamo che le ampiezze sono definite come: Andando a sostituire i termini all interno della radice con i termini che abbiamo ottenuto precedentemente, otteniamo: In definitiva: In un onda piana esiste un definito rapporto tra le ampiezze di e : tale rapporto è. In un onda elettromagnetica piana esiste un definito rapporto tra le ampiezze di ed e che questo rapporto è uguale alla radice dell indice di permeabilità sulla costante dielettrica del mezzo. Dimostriamo ora perché in un onda piana ed (x, t) sono perpendicolari tra loro. Individuamo un piano che è ortogonale alla direzione di propagazione, cioè fronti d onda sono piani (si sviluppano sul piano delle e delle ). 104

105 Per definire l orientamento tra e (x, t) possiamo effettuare il prodotto scalare tra i due vettori. Consideriamo sempre l onda piana che si propaga lungo la direzione delle, e (x, t) avranno solo componenti nelle direzioni e, quindi: Con: Ora consideriamo le relazioni trovate prima: Sostituendo nel prodotto scalare: I vettori e sono perpendicolari tra loro, il che è dimostrabile anche attraverso la definizione di prodotto scalare: Ovvero, il coseno assume valore pari a quando: Per ottenere informazioni sulla potenza trasmessa dall onda per unità di superficie possiamo effettuare il prodotto vettoriale tra i due vettori: Sostituendo con: Si ottiene: Dove: 105

106 Con : In conclusione: Dalla formula: Sostituiamo nella si ricava: La potenza è diretta nella direzione delle per la presenza del versore (direzione di propagazione dell onda). Inoltre, il prodotto vettoriale tra il campo elettrico e il campo magnetico prende il nome di VETTORE DI POYNTING: 106

107 5.9: Propagazione di un onda piana in un mezzo dielettrico privo di perdite Ricapitolando quanto visto in precedenza, l equazione d onda nello spazio libero è: Per un onda piana (che si propaga lungo l asse delle positive) vale: Nel dominio fasoriale, l equazione d onda per un onda piana risulterà: Dove. Ponendo: Avremo: Assumiamo che abbia solo la componente in, ovvero che sia del tipo e, ricordando che è in funzione di : Considerando la componente l equazione associata sarà:, risolvendo l equazione differenziale del secondo ordine omogenea L equazione è paragonabile a: La soluzione generale di questa equazione differenziale nel dominio fasoiale risulterà del tipo: Dove sono le costanti complesse (o reali) arbitrarie. 107

108 Sostituendo e con i rispettivi valori ottenuti si ha: Il corrispondente campo tempo-variante (cioè nel dominio del tempo) è: Dalle formule di Eulero si è ricavata la trattazione: Dato che si vuole solo la parte reale, i termini immaginari vengono eliminati; pertanto: Questa espressione rappresenta la somma delle due onde viaggianti in direzioni opposte. Difatti: Se le due onde (incidente e riflessa) si combinano (ovvero si sommano punto per punto) per fornire un onda che non avanza: onda stazionaria. Dimostrandolo: Dalle formule di Eulero ricaviamo: Trasportando questa soluzione nel dominio del tempo si ha: Trascurando i termini immaginari, si ricava: Per le formule di Werner sappiamo che: Pertanto, l ONDA STAZIONARIA nel dominio del tempo diviene: 108

109 5.10: Velocità dell onda La velocità dell onda può essere ottenuta rescrivendo l equazione per come funzione di. Sappiamo che la velocità è: Con: Si ha: Dimostrazione: Ricordando l argomento dell equazione della propagazione di un onda in un mezzo privo di perdite: Trascurando l onda riflessa, diviene: Ponendo: Derivando si ottiene: Quindi: Dalla Fisica classica (Newtooniana), sappiamo che la velocità è la variazione di posizione in un intervallo di tempo; ponendo come posizione, la variazione di è data da in un intervallo di tempo,. Restringendo sempre più l intervallo di tempo di osservazione, abbiamo una grandezza infinitesimale che descrive la velocità di variazione della grandezza in esame, in questo caso la velocità: 109

110 5.11: Lunghezza d onda La lunghezza d onda, per definizione, è la distanza che la forma d onda copre in un periodo di. 5.12: Propagazione di un onda piana in un mezzo conduttore con perdite L equazione d onda in un mezzo conduttore è: Per un onda piana (che si propaga lungo l asse delle positive) si ha: Nel dominio fasoriale risulterà, : Ponendo: Ovvero: Essa è un numero complesso formato da una parte reale e da una parte immaginaria: Dove: - costante di propagazione di fase (parte immaginaria); - costante di attenuazione (parte reale). La costante di propagazione rappresenta il modo in cui l onda elettromagnetica di un segnale sinusoidale su una linea di trasmissione si attenua e sfasa lungo di essa. Ritornando all equazione d onda nel dominio fasoriale avremo: Risolvendo questa equazione differenziale, l equazione associata sarà: 110

111 La soluzione generale di un equazione differenziale nel dominio dei fasori è: Dove sono delle costanti complesse arbitrarie, anche reali. Sostituendo i valori di nella soluzione generale risultetà essere: Riportiamo tutto nel dominio del tempo: Attraverso le formule di Eulero: L onda stazionaria diviene: Quindi, per un mezzo con perdite : - L andamento sinusoidale è lo stesso che si ha per un mezzo privo di perdite; - E presente un fattore di attenuazione, pari a. Pertanto, quando un onda si propaga su un mezzo con perdite esso si attenua!! L attenuazione dell onda dipende dalla conducibilità (più è elevato e più si attenua l onda, aumentandone di conseguenza il valore di ), ecco perché nei conduttori il campo entra ma si attenua rapidamente (effetto pelle). 5.13: Profondità di penetrazione La profondità di penetrazione è definita come la profondità per la quale un onda penetra nel conduttore attenuandosi di un fattore, cioè attenuazione circa del 37%. 111

112 Parte 6: POLARIZZAZIONE La polarizzazione è una caratteristica delle onde elettromagnetiche che indica la direzione del campo elettrico durante la propagazione delle onde stesse. Consideriamo, ad esempio, un onda piana uniforme viaggiante nella direzione, con i vettori ed posti nel piano. Se la componente e, quindi, è presente solo, l onda viene definita polarizzata nella direzione delle. Lo stesso vale per la polarizzazione nella direzione, con e. Pertanto, ricapitolando questo concetto schematicamente: Se entrambe le componenti e sono presenti, e sono in fase tra loro, il campo elettrico risultante ha direzione dipendente dalla relativa dimensione di e, ovvero avrà direzione lungo la componente tra esse più grande. Se la direzione del vettore è costante nel tempo, l onda è detto ONDA POLARIZZATA LINEARMENTE. Se, invece, e non sono in fase, cioè se raggiungono il loro massimo in istanti di tempo differenti, allora la direzione del vettore risultante varierà col tempo. In questo caso può essere mostrato che il vettore risultante darà luogo ad un ellisse, e quindi l onda sarà definita come ONDA POLARIZZARA ELLITTICAMENTE. Nel particolare caso in cui e hanno uguale dimensione ed una differenza di fase pari a 90, il vettore risultante è un cerchio e l onda è detta ONDA POLARIZZARA CIRCOLARMENTE. Graficamente: - Polarizzazione lineare: composizione di due onde in fase polarizzate linearmente in due piani ortogonali. L onda risultante è ancora un onda polarizzata linearmente con piano di vibrazione obliquo, ovvero risulta essere obliqua sul piano quando l onda stessa viaggia lungo la direzione. 112

113 - Polarizzazione circolare: composizione di due onde polarizzate linearmente in due piani ortogonali sfasati di. L onda risultante è un onda polarizzata circolarmente in senso orario. - Polarizzazione ellittica: composizione di due onde polarizzate linearmente in due piani ortogonali sfasati di. L onda risultante è un onda polarizzata ellitticamente in senso orario. Si noti che le ampiezze delle due componenti e non sono uguali, e lo sfasamento può essere compreso tra. Il concetto di polarizzazione descritto precedentemente (a grandi linee) può essere sviluppato ulteriormente utilizzando la notazione fasoriale. Supponiamo che: 1. Un onda piana viaggiante lungo ; 2. Non ci sono riflessioni (quindi non c è il contributo di ); 3. Il mezzo sia privo di perdite. 113

114 Ricordando la formula generale della propagazione di un onda piana priva di perdite, nel dominio fasoriale avremo: Supposto per ipotesi che, avremo: In forma tempo-variante: Dato che l onda viaggia nella direzione delle, il vettore giace nel piano. In generale è un vettore le cui componenti sono numeri complessi o, in altre parole, è un vettore complesso. Come risultato può essere scritto nella forma: In cui e sono entrambi vettori reali aventi differenti direzioni. Nello stesso punto nello spazio il campo elettrico risultante tempo-variante è: 114

115 6.1: Polarizzazione circolare in forma fasoriale Consideriamo, per esempio, il caso in cui le componenti ed del campo elettrico hanno la stessa direzione. Se la componente è sfasata rispetto alla di 90 ed entrambe le componenti hanno ampiezza allora il campo elettrico nel punto è dato dal vettore complesso: Riportando nel dominio del tempo: Da cui si può vedere che le componenti sono: Queste componenti soddisfano la relazione: Questa relazione identifica l equazione della circonferenza di raggio con centro nell origine. La seguente relazione indica che il punto di fine di traccia un cerchio di raggio con il passare del tempo; quindi l onda è detta essere polarizzata circolarmente. 115

116 6.2: Polarizzazione ellittica in forma fasoriale Un esempio può essere presentato dal caso in cui le componenti ed del campo elettrico sono differenti in ampiezza. Assumiamo nuovamente che la componente sia sfasata rispetto ad di 90. Così un campo può essere rappresentato dal vettore complesso (ricordando che le due ampiezze sono differenti tra loro) in : Riportando nel dominio del tempo: Estraendo le due componenti di : Queste componenti soddisfano le relazioni: Quindi il punto di fine del vettore traccia un ellisse e l onda viene definita polarizzata ellitticamente. 6.3: Vettore d onda e vettore di posizione In fisica, il VETTORE D ONDA (solitamente indicato con ) è un vettore relativo ad un onda che ha come ampiezze il numero d onda (reciproco della lunghezza d onda) e come direzione e verso quelli della propagazione dell onda stessa. Dove: velocità di fase dell onda; direzione di propagazione dell onda. E possibile scrivere il vettore come: Si definisce VETTORE DI POSIZIONE quel vettore che congiunge l origine con il punto dove si considera il campo elettrico : 116

117 Effettuando il prodotto scalare tra i vettori e si ottiene: Si definiscono, ora, le restanti costanti e parametri in riferimento alle onde elettromagnetiche: Dove: Z = X = Y = direzione del campo elettrico; direzione del campo magnetico; direzione di propagazione dell onda o vettore d onda. 117

118 Parte 7: RIFLESSIONE E RIFRAZIONE DELLE ONDE PIANE Quando un onda elettromagnetica viaggiante in un mezzo urta contro un altro mezzo avente una differente costante dielettrica, permeabilità o conduttività, in generale l onda sarà parzialmente trasmessa e parzialmente riflessa. 7.1: CASO 1: Superficie di separazione: dielettrico-conduttore perfetto; Incidenza: normale; Polarizzazione: orizzontale (TE = Trasverso elettrico). Analizziamo separatamente le caratteristiche del mezzo: - Conduttore perfetto: All interno di un conduttore perfetto: 1. Non ci possono essere né né, quindi nessuna energia dell onda incidente può essere trasmessa. 2. Non ci sono perdite, quindi nessuna energia dell onda incidente è assorbita. Invece, per l onda interamente riflessa: 1. Le ampiezze di ed dell onda riflessa sono le stesse di e di dell onda incidente; 2. Rispetto all onda incidente cambia solo la direzione del flusso di potenza. Graficamente: Direzione di propagazione: asse ; Piano di separazione: ; Piano di incidenza: ; Campo Elettrico: ; Campo magnetico:. Stiamo considerando: - Onda piana ed sono perpendicolari alla direzione di propagazione; - Incidenza normale direzione di propagazione al piano di separazione. Quindi si ha che ed sono paralleli ( // ) al piano di separazione, ovvero ed hanno solo la componente tangenziale al piano di separazione. 118

119 Studiando il campo elettrico e il campo magnetico si dimostra che: 1. Il campo elettrico dell onda riflessa ha fase invertita rispetto al campo elettrico dell onda incidente; 2. Il campo magnetico dell onda riflessa ha la stessa fase del campo magnetico dell onda incidente. - NOZIONI PER L ANALISI: 1. La direzione del campo elettrico, campo magnetico e vettore d onda lo si vede attraverso la regola della mano destra, ove il pollice indica la direzione del campo elettrico, l indica il campo magnetico ed, infine, il medio la direzione del vettore d onda. In questo caso specifico, si noti che il campo elettrico incidente è trasverso al piano di incidenza, ovvero il campo elettrico risulta essere uscente (cioè pollice verso l alto) dal piano di incidenza stesso e, pertanto, viene definito TE = Trasverso Elettrico. Caso contrario (che poi sarà dimostrato analiticamente successivamente) avviene per il campo elettrico riflesso che risulta essere entrante al piano di incidenza; pertanto il pollice sarà rivolto verso il basso. Un buon riferimento affinchè non si ricorra ad eventuali errori di interpretazione di andamento dei campi è quello di prendere il vettore d onda riconosciuto dal dito medio; infatti per l onda incidente il vettore d onda presenta direzione concorde a quella di propagazione (z), mentre per il vettore d onda risulta avere direzione opposta a quella di propagazione. 2. Determinare il segno degli esponenziali che andranno a comporre la soluzione generale delle equazioni d onda nel dominio fasoriale. Dalla Teoria dei Campi si è studiato che una generica soluzione generale per un campo ( con direzione di propagazione lungo è del tipo: Dove i coefficienti possono essere di natura costante o appartenenti all insieme dei numeri complessi, mentre sono derivate dalla risoluzione dell equazione d onda ove esprimono (in questo caso semplice) la coppia di valori positivi e negativi della costante di fase ; ovvero: Pertanto, la soluzione generale diviene: Risulta essere ovvio che per casi complessi (come quelli che saranno trattati in seguito) essendo una propagazione di onde piane con incidenza diversa dalla normale, la coppia di valori saranno date dal prodotto scalare del vettore d onda per il vettore posizione, in quanto esse avranno proiezione cartesiane con angoli differenti. Ritornando alla soluzione generale dell equazione d onda, si noti che in questo caso gli esponenziali presentano valore positivo e negativo, rispettivamente: e. Tale valore è possibile quantificarlo vedendo, semplicemente, l andamento dei vettori d onda in merito ad un asse di riferimento assunto sul piano cartesiano in analisi. Pertanto, nella rappresentazione sopra, prendendo come asse di riferimento proprio l asse ed omettendo l asse 119

120 , si noti che il vettore d onda è diretto verso i valori di positivi, e quindi una traslazione in avanti comporta un segno meno, ovvero:. Diversamente, il vettore d onda è diretto verso i valori di negativi e, quindi, una traslazione in indietro comporta un segno più, ovvero: Rappresentando graficamente quando detto: Questa metodologia di analisi risulterà utile nelle prossime trattazioni. 3. Come ultimo punto essendiale, sono le condizioni al contorno dei rispettivi campi elettrici e magnetici. Queste saranno strettamente dipendente dai mezzi in esame (dielettrici perfetti, conduttori, conduttori perfetti ecc). Quando ci sarà la trattazione in cui l incidenza sarò di tipo obliqua, i campi in esame presenteranno proiezioni con angoli differenti da quelli noti (0, 90, 180, 270 ) e, pertanto, le condizioni al contorno permetteranno anche di determinare il segno di questi. Infine, è possibile determinare la continuità delle componenti tangenziali semplicemente vedendo dalla rappresentazione grafica se le componenti che risultano essere tangenziali al piano di separazione presentano lo stesso verso o meno. Ad esempio, in questo si noti che il campo elettrico incidente e riflesso risultano essere anche le uniche componenti tangenziali degli stessi, presentando perso direzioni opposte:. Invece il campo magnetico risulta essere anch esso tangenziale al piano di separazione ma le sue componenti tangenziali (che sarebbero gli stessi campi incidenti e riflessi) presentano la stessa direzione:. Ricaviamo, attraverso il dominio dei fasori, i rispettivi campi elettrici e magnetici incidenti e riflessi: - Condizioni al contorno elettriche Dalle CONDIZIONI AL CONTORNO ELETTRICHE si ricava che i campi elettrici coincidono proprio con le componenti tangenziali, ove si ricava: e Sostituendo con i rispettivi valori: Con otteniamo: Dall analisi matematica si ha che: 120

121 In conclusione, si ricava che: Questa soluzione dimostra matematicamente l effettiva inversione di fase del campo elettrico riflesso rispetto al campo elettrico incidente. Si noti che il campo elettrico incidente e il campo elettrico riflesso non presentano componenti normali al piano di separazione. - Campo elettrico totale Onda Stazionaria Calcoliamo, ora, il campo elettrico totale (onda stazionaria): Dalle condizioni al contorno si è ricavato che: Ed inoltre è evidente che le costanti di fase sono coincidenti in quanto il mezzo di propagazione è lo stesso (dielettrico): Pertanto si ricava: Dalle formule di Eulero sappiamo che: Moltiplicando e dividento per otteniamo: In conclusione, il campo elettrico totale nel dominio dei fasori è: Sapendo che: Sostituiamo: Nel dominio del tempo diviene: 121

122 In conclusione: - Condizioni al contorno magnetiche Dalle CONDIZIONI AL CONTORNO MAGNETICHE si ricava che i campi magnetici coincidono proprio con le componenti tangenziali, ove si ricava: e Sostituendo con i rispettivi valori: Con otteniamo: Dall analisi matematica si ha che: In conclusione, si ricava che: Questa soluzione dimostra matematicamente che sia il campo magnetico incidente che il campo magnetico riflesso non presentano inversione di fase. Si noti che il campo magnetico incidente e il campo magnetico riflesso non presentano componenti normali al piano di separazione. - Campo magnetico totale Onda Stazionaria Calcoliamo, ora, il campo magnetico totale (onda stazionaria): Dalle condizioni al contorno si è ricavato che: Ed inoltre è evidente che le costanti di fase sono coincidenti in quanto il mezzo di propagazione è lo stesso (dielettrico): Pertanto si ricava: Dalle formule di Eulero sappiamo che: 122

123 Moltiplicando e dividento per otteniamo: In conclusione, il campo magnetico totale nel dominio dei fasori è: Sapendo che: Sostituiamo: Nel dominio del tempo diviene: In conclusione: Si noti di come e sono sfasati di 90 rispetto al tempo. L energia trasmessa in una direzione è uguagliata dall energia dell onda riflessa: Dove è possibile esprimere: Pertanto, è scrivibile come: Invece: Si noti come i termini e presenti in e evidenziano lo sfasamento di 90 rispetto al tempo. 123

124 7.2: CASO 2: Superficie di separazione: dielettrico-conduttore perfetto; Incidenza: normale; Polarizzazione: verticale (TM = Trasverso magnetico). Graficamente: Direzione di propagazione: asse ; Piano di separazione: ; Piano di incidenza: ; Campo Elettrico: ; Campo magnetico:. Stiamo considerando: - Onda piana ed sono perpendicolari alla direzione di propagazione; - Incidenza normale direzione di propagazione al piano di separazione. Quindi si ha che ed sono paralleli ( // ) al piano di separazione, ovvero ed hanno solo la componente tangenziale al piano di separazione. Studiando il campo elettrico e il campo magnetico si dimostra che: 3. Il campo elettrico dell onda riflessa ha fase invertita rispetto al campo elettrico dell onda incidente; 4. Il campo magnetico dell onda riflessa ha la stessa fase del campo magnetico dell onda incidente. Ricaviamo, attraverso il dominio dei fasori, i rispettivi campi elettrici e magnetici incidenti e riflessi: 124

125 - Condizioni al contorno elettriche Dalle CONDIZIONI AL CONTORNO ELETTRICHE si ricava che i campi elettrici coincidono proprio con le componenti tangenziali, ove si ricava: e Sostituendo con i rispettivi valori: Con otteniamo: Dall analisi matematica si ha che: In conclusione, si ricava che: Questa soluzione dimostra matematicamente l effettiva inversione di fase del campo elettrico riflesso rispetto al campo elettrico incidente. Si noti che il campo elettrico incidente e il campo elettrico riflesso non presentano componenti normali al piano di separazione. - Campo elettrico totale Onda Stazionaria Calcoliamo, ora, il campo elettrico totale (onda stazionaria): Dalle condizioni al contorno si è ricavato che: Ed inoltre è evidente che le costanti di fase sono coincidenti in quanto il mezzo di propagazione è lo stesso (dielettrico): Pertanto si ricava: Dalle formule di Eulero sappiamo che: 125

126 Moltiplicando e dividento per otteniamo: In conclusione, il campo elettrico totale nel dominio dei fasori è: Sapendo che: Sostituiamo: Nel dominio del tempo diviene: In conclusione: - Condizioni al contorno magnetiche Dalle CONDIZIONI AL CONTORNO MAGNETICHE si ricava che i campi magnetici coincidono proprio con le componenti tangenziali, ove si ricava: e Sostituendo con i rispettivi valori: Con otteniamo: Dall analisi matematica si ha che: In conclusione, si ricava che: Questa soluzione dimostra matematicamente che sia il campo magnetico incidente che il campo magnetico riflesso non presentano inversione di fase. Si noti che il campo magnetico incidente e il campo magnetico riflesso non presentano componenti normali al piano di separazione. 126

127 - Campo magnetico totale Onda Stazionaria Calcoliamo, ora, il campo magnetico totale (onda stazionaria): Dalle condizioni al contorno si è ricavato che: Ed inoltre è evidente che le costanti di fase sono coincidenti in quanto il mezzo di propagazione è lo stesso (dielettrico): Pertanto si ricava: Dalle formule di Eulero sappiamo che: Moltiplicando e dividento per otteniamo: In conclusione, il campo magnetico totale nel dominio dei fasori è: Sapendo che: Sostituiamo: Nel dominio del tempo diviene: In conclusione: 127

128 Si noti di come e sono sfasati di 90 rispetto al tempo. L energia trasmessa in una direzione è uguagliata dall energia dell onda riflessa: Dove è possibile esprimere: Pertanto, è scrivibile come: Invece: Si noti come i termini e presenti in e evidenziano lo sfasamento di 90 rispetto al tempo. 128

129 7.3: CASO 3: Superficie di separazione: dielettrico-conduttore perfetto; Incidenza: obliqua; Polarizzazione: orizzontale (TE = Trasverso Elettrico). Questo caso riguarda un onda piana in un dielettrico che incide obliquamente contro la superficie di un conduttore perfetto. Si definisce TE = Trasverso Elettrico il campo elettrico trasverso rispetto al piano d incidenza (campo elettrico uscente dal piano). Graficamente si verifica la seguente condizione: Si definiscono: - Piano di incidenza: è il piano contenente il raggio incidente e la normale della superficie di separazione, ovvero la superficie ; - Polarizzazione orizzontale TE: quando ci sono le seguenti condizioni: 1. è parallelo al piano di separazione e perpendicolare ( ) al piano di incidenza; 2. è parallelo al piano di incidenza. Essendo il campo magnetico polarizzato orizzontalmente risulta che il campo elettrico è parallelo al piano di separazione, quindi ha solo componenti sull asse : Ovvero, il vettore ha direzione lungo l asse (positive e negative). Si ricavano i fasori del campo elettrico incidente e riflesso: Si noti che gli esponenziali sono tutti negativi in quanto i vettori d onda sono diretti verso valori positivi di. Lo stesso discorso è valido anche per il campo magnetico, ovviamente. 129

130 Mentre, per il campo magnetico incidente è espresso come: Dove le componenti fasoriali che lo compongono sono: Invece, il campo magnetico riflesso è espresso come: Dove le componenti fasoriali che lo compongono sono: Il campo magnetico totale è dato da: Dove: Le componenti lungo ed delle onde incidenti e riflesse, possono essere quindi riscritte come: Invece 130

131 - Vettore d onda incidente e Vettore d onda riflessa Ricaviamo per il Vettore d Onda : Dove: Quindi il vettore d onda è esprimibile come: Mentre, per il Vettore d Onda : Di cui le sue componenti sono: Quindi il vettore d onda è esprimibile come: 131

132 Il vettore d onda ha per definizione come modulo, dove (velocità di fase dell onda). Pertanto, i nostri vettori d onda sono riconducibili a: Dove: Dato che l onda incidente e l onda riflessa sono nello stesso mezzo, avremo: Quindi: - Vettore posizione Il vettore posizione viene definito come: 132

133 - Prodotto scalare tra vettore d onda e vettore posizione Con: prodotto scalare tra versori Avremo: Con: Sostituendo otteniamo: Mentre: Con: Avremo: 133

134 - Condizioni al contorno elettriche componenti tangenziali Dalle CONDIZIONI AL CONTORNO ELETTRICHE si ricava che i campi elettrici coincidono proprio con le componenti tangenziali, ove si ricava: e Sostituendo con i rispettivi valori: Sostituendo con i rispettivi valori: Con e sapendo che si ottiene: Ponendo: Si ricava che: Questa soluzione dimostra matematicamente l effettiva inversione di fase del campo elettrico riflesso rispetto al campo elettrico incidente. Si noti che il campo elettrico incidente e il campo elettrico riflesso non presentano componenti normali al piano di separazione. - Campo elettrico totale Onda Stazionaria Calcoliamo, ora, il campo elettrico totale (onda stazionaria): Dalle condizioni al contorno si è ricavato che: Ed inoltre è evidente che le costanti di fase sono coincidenti in quanto il mezzo di propagazione è lo stesso (dielettrico): E ponendo la condizione di esistenza della Legge di Snell sulla riflessione: Pertanto si ricava: 134

135 Dalle formule di Eulero sappiamo che: Moltiplicando e dividento per otteniamo: Ponendo e sostituendo con: Diventa: In conclusione, il campo elettrico totale nel dominio dei fasori è: Con: Sapendo che: Sostituiamo: Nel dominio del tempo diviene: In conclusione: 135

136 - Condizioni al contorno magnetiche componenti tangenziali Dalle CONDIZIONI AL CONTORNO MAGNETICHE si ricava che i campi magnetici coincidono proprio con le componenti tangenziali, ove si ricava: e Sostituendo con i rispettivi valori: Con e sapendo che si ottiene: Ponendo: Si ricava che: Questa soluzione dimostra matematicamente la mancata inversione di fase del campo magnetico riflesso rispetto al campo magnetico incidente. - Campo magnetico lungo Calcoliamo, ora, il campo magnetico lungo : Dalle condizioni al contorno si è ricavato che: Rispettando la Legge di Snell: Ed inoltre è evidente che le costanti di fase sono coincidenti in quanto il mezzo di propagazione è lo stesso (dielettrico): Pertanto si ricava: Dalle formule di Eulero sappiamo che: 136

137 Moltiplicando e dividento per otteniamo: Ponendo e sostituendo con: In conclusione, il campo magnetico lungo nel dominio dei fasori è: Sapendo che: Sostituiamo: Nel dominio del tempo diviene: In conclusione: - Condizioni al contorno magnetiche componenti normali Dalle CONDIZIONI AL CONTORNO MAGNETICHE si ricava che i campi magnetici coincidono proprio con le componenti tangenziali, ove si ricava: e Sostituendo con i rispettivi valori: Con e sapendo che si ottiene: 137

138 Ponendo: Si ricava che: Questa soluzione dimostra matematicamente l effettiva opposizione delle componenti normali dell onda riflessa rispetto all onda incidente, sempre magnetiche. - Campo magnetico lungo Calcoliamo, ora, il campo magnetico lungo : Dalle condizioni al contorno si è ricavato che: Rispettando la Legge di Snell: Ed inoltre è evidente che le costanti di fase sono coincidenti in quanto il mezzo di propagazione è lo stesso (dielettrico): Pertanto si ricava: Dalle formule di Eulero sappiamo che: Moltiplicando e dividento per j otteniamo: Ponendo e sostituendo con: 138

139 In conclusione, il campo magnetico lungo nel dominio dei fasori è: Sapendo che: Sostituiamo: Nel dominio del tempo diviene: In conclusione: - Campo magnetico totale - Onda Stazionaria Il campo magnetico totale nel dominio fasoriale è dato da: Nel dominio del tempo: Ovvero: 139

140 7.4: CASO 4: Superficie di separazione: dielettrico-conduttore perfetto; Incidenza: obliqua; Polarizzazione: verticale (TM = Trasverso Magnetico) Questo caso riguarda un onda piana in un dielettrico che incide obliquamente contro la superficie di un conduttore perfetto. Si definisce TM = Trasverso Magnetico il campo magnetico trasverso rispetto al piano d incidenza (campo magnetico uscente dal piano). Graficamente si verifica la seguente condizione: Si definiscono: - Piano di incidenza: è il piano contenente il raggio incidente e la normale della superficie di separazione. - Polarizzazione verticale TM: quando ci sono le seguenti condizioni: 1. è parallelo al piano di separazione e perpendicolare ( ) al piano di incidenza; 2. è parallelo al piano di incidenza. Essendo il campo elettromagnetico polarizzato verticalmente risulta che è parallelo al piano di separazione, ha solo la componente lungo l asse : Ovvero, il vettore ha direzione lungo l asse (positive e negative). Si ricavano i fasori del campo magnetico incidente e riflesso: Si noti che gli esponenziali sono tutti negativi in quanto i vettori d onda sono diretti verso valori positivi di. Lo stesso discorso è valido anche per il campo elettrico, ovviamente. 140

141 Mentre, per il campo elettrico incidente è espresso come: Dove le componenti fasoriali che lo compongono sono: Invece, il campo elettrico riflesso è espresso come: Dove le componenti fasoriali che lo compongono sono: Il campo elettrico totale è dato da: Dove: Le componenti lungo ed delle onde incidenti e riflesse, possono essere quindi riscritte come: Invece 141

142 - Vettore d onda incidente e Vettore d onda riflessa Ricaviamo per il Vettore d Onda : Dove: Quindi il vettore d onda è esprimibile come: Mentre, per il Vettore d Onda : Di cui le sue componenti sono: Quindi il vettore d onda è esprimibile come: 142

143 Il vettore d onda ha per definizione come modulo, dove (velocità di fase dell onda). Pertanto, i nostri vettori d onda sono riconducibili a: Dove: Dato che l onda incidente e l onda riflessa sono nello stesso mezzo, avremo: Quindi: - Vettore posizione Il vettore posizione viene definito come: 143

144 - Prodotto scalare tra vettore d onda e vettore posizione Con: prodotto scalare tra versori Avremo: Con: Sostituendo otteniamo: Mentre: Con: Avremo: 144

145 - Condizioni al contorno magnetiche componenti tangenziali Dalle CONDIZIONI AL CONTORNO MAGNETICHE si ricava che i campi magnetici coincidono proprio con le componenti tangenziali, ove si ricava: e Sostituendo con i rispettivi valori: Sostituendo con i rispettivi valori: Con e sapendo che si ottiene: Ponendo: Si ricava che: Questa soluzione dimostra matematicamente la mancata inversione di fase del campo magnetico riflesso rispetto al campo magnetico incidente. Si noti che il campo magnetico incidente e il campo magnetico riflesso non presentano componenti normali al piano di separazione. - Campo magnetico totale Onda Stazionaria Calcoliamo, ora, il campo magnetico totale (onda stazionaria): Dalle condizioni al contorno si è ricavato che: Ed inoltre è evidente che le costanti di fase sono coincidenti in quanto il mezzo di propagazione è lo stesso (dielettrico): E ponendo la condizione di esistenza della Legge di Snell sulla riflessione: Pertanto si ricava: 145

146 Dalle formule di Eulero sappiamo che: Moltiplicando e dividento per otteniamo: Ponendo e sostituendo con: Diventa: In conclusione, il campo elettrico totale nel dominio dei fasori è: Con: Sapendo che: Sostituiamo: Nel dominio del tempo diviene: In conclusione: 146

147 - Condizioni al contorno elettriche componenti tangenziali Dalle CONDIZIONI AL CONTORNO ELETTRICHE si ricava che i campi elettrici coincidono proprio con le componenti tangenziali, ove si ricava: e Sostituendo con i rispettivi valori: Con e sapendo che si ottiene: Ponendo: Si ricava che: Questa soluzione dimostra matematicamente l effettiva inversione di fase del campo elettrico riflesso rispetto al campo elettrico incidente. - Campo elettrico lungo Calcoliamo, ora, il campo elettrico lungo : Dalle condizioni al contorno si è ricavato che: Rispettando la Legge di Snell: Ed inoltre è evidente che le costanti di fase sono coincidenti in quanto il mezzo di propagazione è lo stesso (dielettrico): Pertanto si ricava: Dalle formule di Eulero sappiamo che: 147

148 Moltiplicando e dividento per otteniamo: Ponendo e sostituendo con: In conclusione, il campo elettrico lungo nel dominio dei fasori è: Sapendo che: Sostituiamo: Nel dominio del tempo diviene: In conclusione: - Condizioni al contorno elettriche componenti normali Dalle CONDIZIONI AL CONTORNO ELETTRICHE si ricava che i campi elettrici e : Sostituendo con i rispettivi valori: Con e sapendo che si ottiene: 148

149 Ponendo: Si ricava che: Questa soluzione dimostra matematicamente la mancata opposizione delle componenti normali dell onda riflessa rispetto all onda incidente, sempre elettriche. - Campo elettrico lungo Calcoliamo, ora, il campo elettrico lungo : Dalle condizioni al contorno si è ricavato che: Rispettando la Legge di Snell: Ed inoltre è evidente che le costanti di fase sono coincidenti in quanto il mezzo di propagazione è lo stesso (dielettrico): Pertanto si ricava: Dalle formule di Eulero sappiamo che: Moltiplicando e dividento per otteniamo: Ponendo e sostituendo con: 149

150 In conclusione, il campo elettrico lungo nel dominio dei fasori è: Sapendo che: Sostituiamo: Nel dominio del tempo diviene: In conclusione: - Campo elettrico totale - Onda Stazionaria Il campo elettrico totale nel dominio fasoriale è dato da: Nel dominio del tempo: Ovvero: 150

151 7.5: CASO 5: Superficie di separazione: dielettrico perfetto dielettrico perfetto; Incidenza: normale; Polarizzazione: verticale (TM = Trasverso Magnetico). Questo caso riguarda un onda piana in un dielettrico perfetto che incide normalmente contro la superficie di un dielettrico perfetto. Si definisce dielettrico perfetto un mezzo in cui non ci sono perdite, non c è assorbimento di energia nella propagazione, ovvero questa non subirà attenuazioni in quanto le perdite sono nulle e, quindi, anche l assorbimento di energia. Schematicamente: Si considera: - Onda piana ed sono perpendicolari alla direzione di propagazione; - Incidenza normale la direzione di propagazione è perpendicolare al piano di separazione e, pertanto, ed sono paralleli (//) al piano di separazione; ovvero ed hanno solo la componente tangenziale al piano di separazione. - Condizioni al contorno elettriche Dalle CONDIZIONI AL CONTORNO ELETTRICHE si ricava che i campi elettrici coincidono proprio con le componenti tangenziali, ove si ricava: e Ovvero: Sostituendo con i rispettivi valori: 151

152 Con otteniamo: Dall analisi matematica si ha che: In conclusione, si ricava che: - Condizioni al contorno magnetiche Dalle CONDIZIONI AL CONTORNO MAGNETICHE si ricava che i campi magnetici, e coincidono proprio con le componenti tangenziali, ove si ricava: Ovvero: Sostituendo con i rispettivi valori: Con otteniamo: Dall analisi matematica si ha che: In conclusione, si ricava che: Sapendo che: Sostituendo nell espressione ricavata alle condizioni al contorno, diviene: 152

153 - Coefficiente di riflessione & Coefficiente di trasmissione Mettiamo a sistema le equazioni ottenute dalle condizioni al contorno per le componenti tangenziali sia del campo elettricho che del campo magnetico: Definiamo: - ROS (Rapporto di Onda Stazionaria) Il ROS è il rapporto tra i valori di tensione massima e minima di un onda stazionaria: Il può assumere valori compresi tra l unità (assenza dell onda riflessa) e l infinito (massima interferenza dovuta all esistenza dell onda riflessa): 153

154 7.6: CASO 6: Superficie di separazione: dielettrico perfetto dielettrico perfetto; Incidenza: normale; Polarizzazione: orizzontale (TE = Trasverso Elettrico). Questo caso riguarda un onda piana in un dielettrico perfetto che incide normalmente contro la superficie di un dielettrico perfetto. Schematicamente: Si considera: - Onda piana ed sono perpendicolari alla direzione di propagazione; - Incidenza normale la direzione di propagazione è perpendicolare al piano di separazione e, pertanto, ed sono paralleli (//) al piano di separazione; ovvero ed hanno solo la componente tangenziale al piano di separazione: - Condizioni al contorno magnetiche Dalle CONDIZIONI AL CONTORNO MAGNETICHE si ricava che i campi magnetici coincidono proprio con le componenti tangenziali, ove si ricava: e Ovvero: Sostituendo con i rispettivi valori: 154

155 Con otteniamo: Dall analisi matematica si ha che: In conclusione, si ricava che: - Condizioni al contorno elettriche Dalle CONDIZIONI AL CONTORNO ELETTRICHE si ricava che i campi elettriche, e coincidono proprio con le componenti tangenziali, ove si ricava: Ovvero: Sostituendo con i rispettivi valori: Con otteniamo: Dall analisi matematica si ha che: In conclusione, si ricava che: Sapendo che: Sostituendo nell espressione ricavata alle condizioni al contorno, diviene: 155

156 - Coefficiente di riflessione & Coefficiente di trasmissione in Trasverso Elettrico (TE) Mettiamo a sistema le equazioni ottenute dalle condizioni al contorno per le componenti tangenziali sia del campo elettricho che del campo magnetico: Mentre: Definiamo: 156

157 - Legge di Snell La Legge di Snell è una formula che descrive le modalità di rifrazione di un raggio luminoso nella transizione tra due mezzi con indice di rifrazione diverso. La figura sopra mostra due mezzi trasmissivi con indice di rifrazione e in contatto tra loro attraverso una superficie. Il raggio luminoso colpisce l interfaccia nel punto ; a partire dal punto si traccia la normale (retta perpendicolare all interfaccia stessa). L angolo tra la normale e il raggio luminoso è detto RAGGIO D INCIDENZA. Il raggio prosegue nel secondo mezzo, ovvero il segmento. L angolo che tale raggio rifratto forma con la normale è detto ANGOLO DI RIFRAZIONE. La Legge di Snell fornisce la relazione tra i due angoli e : 157

158 7.7: CASO 7: Superficie di separazione: dielettrico-dielettrico; Incidenza: Obliqua; Polarizzazione: orizzontate (TE = Trasverso elettrico) Questo caso riguarda un onda piana in un dielettrico perfetto che incide obliquamente contro la superficie di un altro dielettrico perfetto. In questo caso l onda è: - In parte riflessa angolo di riflessione è uguale all angolo di incidenza; - In parte rifratta angolo di rifrazione che dipende da: Definiamo rifrazione la deviazione subita da un onda che ha luogo quando questa passa da un mezzo fisico ad un altro nel quale cambia la velocità di propagazione. La polarizzazione orizzontale (TE) ha luogo quando: - è parallelo al piano di separazione e perpendicolare al piano di incidenza; - è parallelo al piano di incidenza. Graficamente: Si ricava per i campi elettrici i fasori: 158

159 Mentre per i campi magnetici incidenti e riflessi si ricavano le seguenti composizioni fasoriali: Con: Sapendo che: Invece: Con: Sapendo che: Infine: Con: Sapendo che: NOTA: i segni delle componenti fasoriali che compongono i fasori d onda incidente, riflessa e trasmessa saranno ricavati dalle condizioni al contorno. 159

160 - Vettore d onda incidente, Vettore d onda riflessa e Vettore d onda trasmessa Ricaviamo per il Vettore d Onda : Dove: Quindi il vettore d onda è esprimibile come: Invece, per il Vettore d Onda : Di cui le sue componenti sono: Quindi il vettore d onda è esprimibile come: 160

161 Infine ricaviamo per il Vettore d Onda : Dove: Quindi il vettore d onda è esprimibile come: Il vettore d onda ha per definizione come modulo, dove (velocità di fase dell onda). Pertanto, i nostri vettori d onda sono riconducibili a: Dove: Dato che l onda incidente e l onda riflessa sono nello stesso mezzo, avremo: 161

162 Quindi: - Vettore posizione Il vettore posizione viene definito come: - Prodotto scalare tra vettore d onda e vettore posizione Con: prodotto scalare tra versori Avremo: Con: 162

163 Sostituendo otteniamo: Mentre: Con: Avremo: Infine: Con: Sostituendo otteniamo: 163

164 - Analisi del campo elettrico Le equazioni del campo elettrico per le onde sono: - Condizioni al contorno elettriche componenti tangenziali Ricordando che il campo elettrico è polarizzato orizzontalmente, e quindi è parallelo al piano di separazione, possiamo dire che ha solo componente tangenziale al piano di separazione; dunque: Per le condizioni al contorno, si deve avere la continuità della componente tangenziale di caso coincidono con ) alla superficie di separazione : (che in questo Ovvero: In : Sostituendo si ha: Supponiamo ora di essere in condizione di phase matching, cioè tutti gli esponenti sono uguali: hanno tutti la stessa fase, quindi In conclusione si ottiene: Dalla condizione di phase matching possiamo verificare l esistenza della Legge di Snell: I) Dalla prima uguaglianza: 164

165 II) Dalla seconda uguaglianza: Con: si ricava: Con: si ha: - Analisi del campo magnetico Consideriamo le componenti dei campi magnetici lungo, i quali costituiscono proprio le componenti tangenziali. Le equazioni delle componenti tangenziali del campo magnetico sono: Sapendo che i campi magnetici delle onde incidente, riflessa e trasmessa sono: Le componenti diventano: 165

166 - Condizioni al contorno magnetiche componenti tangenziali Per le condizioni al contorno si deve avere la continuità delle componenti tangenziali di discontinuità : alla superficie di Ovvero: Sostituendo con i rispettivi valori: In : Supponiamo ora di essere in condizioni di phase matching ( gli esponenti sono uguali), si ottiene: hanno tutti la stessa fase, quindi tutti Sapendo che: Sostituendo ricaviamo: - Ricavo del coefficiente di riflessione e del coefficiente di rifrazione Mettiamo a sistema le due condizioni al contorno magnetiche ed elettriche ricavate: Sostituiamo la 1 equazione con la 2 equazione per ricavare : 166

167 Pertanto, si ricava: Sapendo che: Diviene: Ricaviamo, ora, il Coefficiente di Tasmissione (o di Rifrazione): Sapendo per la Legge di Snell che si ricava: Sapendo per la Legge di Snell che si ricava: Pertanto: Quesito 1: Quando si annulla la riflessione? La riflessione si annulla quando i due dielettrici presentano le seguenti condizioni: 1. Stesse caratteristiche magnetiche: ; 2. Stesse costanti di permettività:. Dimostrando: Dove: 167

168 Con e si ha: Dalla Legge di Snell della rifrazione si ha: Quesito 2: Quando si annulla la rifrazione? La rifrazione si annulla quando i due dielettrici presentano le seguenti condizioni: 1. Stesse caratteristiche magnetiche: ; 2. Stesse costanti di permettività:. Dimostrando: Pertanto: Ovvero: 168

169 7.8: CASO 8: Superficie di separazione: dielettrico-dielettrico; Incidenza: obliqua; Polarizzazione: verticale (TM = Trasverso magnetico) Questo caso riguarda un onda piana in un dielettrico perfetto che incide obliquamente contro la superficie di un altro dielettrico perfetto. In questo caso l onda è: - In parte riflessa angolo di riflessione è uguale all angolo di incidenza; - In parte rifratta angolo di rifrazione che dipende da: Definiamo rifrazione la deviazione subita da un onda che ha luogo quando questa passa da un mezzo fisico ad un altro nel quale cambia la velocità di propagazione. La polarizzazione verticale (TM) ha luogo quando: - è parallelo al piano di separazione ed è perpendicolare al piano di incidenza; - è parallelo al piano di incidenza. Graficamente: Si ricava per i campi magnetici i fasori: 169

170 Mentre per i campi elettrici incidenti e riflessi si ricavano le seguenti composizioni fasoriali: Con: Sapendo che: Invece: Con: Sapendo che: Infine: Con: Sapendo che: NOTA: i segni delle componenti fasoriali che compongono i fasori d onda incidente, riflessa e trasmessa saranno ricavati dalle condizioni al contorno. 170

171 - Vettore d onda incidente, Vettore d onda riflessa e Vettore d onda trasmessa Ricaviamo per il Vettore d Onda : Dove: Quindi il vettore d onda è esprimibile come: Invece, per il Vettore d Onda : Di cui le sue componenti sono: Quindi il vettore d onda è esprimibile come: 171

172 Infine ricaviamo per il Vettore d Onda : Dove: Quindi il vettore d onda è esprimibile come: Il vettore d onda ha per definizione come modulo, dove (velocità di fase dell onda). Pertanto, i nostri vettori d onda sono riconducibili a: Dove: Dato che l onda incidente e l onda riflessa sono nello stesso mezzo, avremo: 172

173 Quindi: - Vettore posizione Il vettore posizione viene definito come: - Prodotto scalare tra vettore d onda e vettore posizione Con: prodotto scalare tra versori Avremo: Con: 173

174 Sostituendo otteniamo: Mentre: Con: Avremo: Infine: Con: Sostituendo otteniamo: 174

175 - Analisi del campo magnetico Le equazioni del campo magnetico per le onde sono: - Condizioni al contorno magnetiche componenti tangenziali Ricordando che il campo magnetico è polarizzato verticalmente, e quindi è parallelo al piano di separazione, possiamo dire che ha solo componente tangenziale al piano di separazione; dunque: Per le condizioni al contorno, si deve avere la continuità della componente tangenziale di caso coincidono con ) alla superficie di separazione : (che in questo Ovvero: In : Sostituendo si ha: Supponiamo ora di essere in condizione di phase matching, cioè tutti gli esponenti sono uguali: hanno tutti la stessa fase, quindi In conclusione si ottiene: Dalla condizione di phase matching possiamo verificare l esistenza della Legge di Snell: III) Dalla prima uguaglianza: 175

176 IV) Dalla seconda uguaglianza: Con: si ricava: Con: si ha: - Analisi del campo elettricho Consideriamo le componenti dei campi elettrici lungo, i quali costituiscono proprio le componenti tangenziali. Le equazioni delle componenti tangenziali del campo elettrico sono: Sapendo che i campi magnetici delle onde incidente, riflessa e trasmessa sono: Le componenti diventano: 176

177 - Condizioni al contorno elettriche componenti tangenziali Per le condizioni al contorno si deve avere la continuità delle componenti tangenziali di discontinuità : alla superficie di Ovvero: Sostituendo con i rispettivi valori: In : Supponiamo ora di essere in condizioni di phase matching ( gli esponenti sono uguali), si ottiene: hanno tutti la stessa fase, quindi tutti Sapendo che: Sostituendo ricaviamo: - Ricavo del coefficiente di riflessione e del coefficiente di rifrazione Mettiamo a sistema le due condizioni al contorno magnetiche ed elettriche ricavate: Sostituiamo la 1 equazione con la 2 equazione per ricavare : Pertanto, si ricava: 177

178 Sapendo che: Diviene: Ricaviamo, ora, il Coefficiente di Tasmissione (o di Rifrazione): Sapendo per la Legge di Snell che si ricava: Sapendo per la Legge di Snell che si ricava: Quesito 1: Quando si annulla la riflessione? La riflessione si annulla quando i due dielettrici presentano le seguenti condizioni: 3. Stesse caratteristiche magnetiche: ; 4. Stesse costanti di permettività:. Dimostrando: Dove: Con e si ha: Dalla Legge di Snell della rifrazione si ha: 178

179 Quesito 2: Quando si annulla la rifrazione? La rifrazione si annulla quando i due dielettrici presentano le seguenti condizioni: 3. Stesse caratteristiche magnetiche: ; 4. Stesse costanti di permettività:. Dimostrando: Pertanto: Ovvero: 179

180 7.9: Angolo di Brewster L'angolo di Brewster (anche conosciuto come angolo di polarizzazione) è un particolare angolo θ B per cui se un'onda incide su una superficie proprio a θ B, si trova che l'onda riflessa è polarizzata perpendicolarmente al piano di incidenza. Quando la luce passa da un mezzo a un altro mezzo che ha indice di rifrazione diverso dal primo, in genere parte dell'onda viene riflessa dall'interfaccia esistente tra i mezzi. A un particolare angolo di incidenza, però, la luce con una particolare polarizzazione non può essere riflessa. Questo angolo di incidenza è detto "angolo di Brewster", θ B. La polarizzazione che non può essere riflessa a questo angolo è quella per cui il campo elettrico dell'onda giace nello stesso piano del raggio incidente e della normale alla superficie (si parla di onda polarizzata TM). L espressione di è la seguente: Per avere la condizione in cui la riflessione è nulla, è opportuno che, quindi: Supponiamo che i due dielettrici abbiano le stesse caratteristiche magnetiche: Pertanto, sapendo che e sostituendo si ricava: 180