CALCOLO VETTORIALE ELEMENTI DI ANALISI MATEMATICA
|
|
|
- Casimiro Corona
- 7 anni fa
- Просмотров:
Транскрипт
1 ELEMENTI DI ANALISI MATEMATICA CALCOLO VETTORIALE - DEFINIZIONE DI VETTORE - COMPONENTI DI UN VETTORE - SOMMA E DIFFERENZA - PRODOTTO SCALARE - PRODOTTO VETTORIALE - VETTORE GRADIENTE - FLUSSO DI UN VETTORE Lucidi del Prof. D. Scannicchio
2 VETTORE caratterizzato da 3 dati modulo v direzione verso v modulo v, v direzione verso punto di applicazione (lettera v in grassetto ) esempi spostamento s velocità v accelerazione a s = 6.4 m v = 3.7 m s a = 9.8 m s
3 COMPONENTE DI UN VETTORE (lungo una direzione) direzione x v y = v cos α v x = v sen α o v x α v y v y v y + v x = = v cos α + v sen α = = v (cos α + sen α) = = v
4 Un vettore e individuato da un insieme di tre numeri, ad esempio le 3 coordinate cartesiane V x, V y e V z del punto estremo del vettore (quello col simbolo di freccia), avendo posizionato l altro estremo all origine (punto O) del sistema di riferimento cartesiano (costituito dai tre assi X,Y,Z). V x, V y e V z vengono indicate come le componenti o proiezioni del vettore lungo i tre assi coordinati. z x 0 V y V V z V x y V=(V x,v y,v z ) 3
5 Esempio Il vettore con componenti V x = V y = e V z =0 si indica cosi : ed e un vettore che giace sul piano X,Y (vedi figura) V =,,0 ( ) z 0 V z =0 V x = y x V y = V Il modulo del vettore e V = V x +V y +V z = = + =.4 4
6 Esempio Il vettore con componenti V x = V y = e V z = si indica cosi : (vedi figura) V =,, ( ) z V V z = x 0 V y = V x = y Il modulo del vettore e V = V x +V y +V z = + + = ++ 4 =
7 VERSORE n n = v v direzione e verso modulo = direzione v verso v esempio: componente di un vettore n prodotto scalare fra il vettore forza F e il versore n F n = F n = F cos θ F n = F cos ϑ ΔS F n ϑ 6 F
8 SOMMA DI VETTORI regola del parallelogramma (metodo grafico) v v v 3 v + = v 7
9 SOMMA DI VETTORI metodo per componenti (metodo quantitativo) y v y v x = v x + v x y = v y + v y y o v y v x α v x v x x = tg α = y x x + y 3 dimensioni: componente asse z 8
10 Somma dei vettori: Esempio 3 V =,,0 V =,, ( ) ( ) V 3 = V + V ( ) = ( V x +V x,v y +V y,v z +V ) z = V 3x,V 3y,V 3z ( ) = (,,) = +,+,0 + Il modulo del vettore somma e V 3 = V 3x +V 3y +V 3z = + + = = 3.46
11 y Somma di N vettori Dati i vettori a, a,..., a N il vettore somma b = a +a a N si calcola nel modo seguente: si costruisce la spezzata formata dai vettori a, a,..., a N si congiungono i due estremi liberi di tale spezzata a a a3 b a 4 0 x
12 DIFFERENZA DI VETTORI regola del parallelogramma (metodo grafico) v v = v v v v v + = v v 3
13 Differenza di due vettori La differenza a - b si calcola sommando al vettore a il vettore -b, opposto del vettore b y c = a - b -b a b 0 x
14 DIFFERENZA DI VETTORI metodo per componenti (metodo quantitativo) y v y v v x v o 3x v x v y y α v x v x v x = x v y v y = y = v 3x + v 3y tg α = y x 3 dimensioni: componente asse z 3
15 Differenza dei vettori: Esempio 4 V =,,0 V =,, ( ) ( ) V 4 = V V ( ) = ( V x V x,v y V y,v z V ) z = V 4 x,v 4 y,v 4 z ( ) = ( 0,0, ) =,,0 Il modulo del vettore differenza e V 4 = V 4 x +V 4 y +V 4z = ( ) = = 4 =
16 PRODOTTO SCALARE φ v v Prodotto fra vettori il cui risultato e uno scalare! v v = v v cos φ v v = v x v x + v y v y * v v = v v proprietà commutativa v (v + ) = v v + v proprietà associativa 3 dimensioni: componente asse z * + v z v z 5
17 PRODOTTO SCALARE v φ v v v = v v cos φ φ = 0 v v v v = v v cos φ = v v φ = 90 φ = 80 v v v v v v = v v cos φ = 0 v v = v v cos φ = v v 6
18 Prodotto scalare fra i vettori: Esempio 5 V =,,0 V =,, ( ) ( ) V V = V x V x +V y V y +V z V z = =++ 0 = Poiche il prodotto scalare puo anche essere espresso come il prodotto dei moduli dei due vettori per il coseno dell angolo α fra essi compreso, conoscendo il prodotto scalare e conoscendo i moduli dei vettori (vedi esempi e ) si puo determinare cosα e quindi α. V V = V V cosα cosα = α = arccos cosα ( ) = arccos V V = V V V V = arccos(0.577) rad 54.8 V V
19 y z x φ PRODOTTO VETTORIALE v v Prodotto fra vettori il cui risultato e un vettore! v v Notazione alternativa: V V = V 3 = modulo = v v sen φ direzione v, v verso : avanzamento vite che ruota sovrapponendo v su v 8
20 PRODOTTO VETTORIALE 3 dimensioni: componente asse z z = v x v y v x v y y z x φ v v v v = 9
21 Prodotto vettoriale In generale il prodotto vettoriale fra due vettori: V e V e un vettore V 6 = V V con componenti cartesiane: V 6 = V V = ( V 6x,V 6y,V ) 6z V 6x = V y V z V z V y V 6y = V z V x V x V z V 6z = V x V y V y V x
22 Esempio 6 Prodotto vettoriale fra i vettori: ( ) ( ) V =,,0 V =,, Conoscendo i moduli dei vettori e l angolo α fra di essi (vedi esempi, e 5) si puo determinare il modulo del prodotto vettoriale. V 6 = V V 6 = V V V sinα = 6 sin(54.8 ).83 Il prodotto vettoriale e in generale un vettore con componenti: V 6 = V V = ( V 6x,V 6y,V 6z ) = (,,0) V 6x = V y V z V z V y = 0 = V 6y = V z V x V x V z = 0 = V 6z = V x V y V y V x = = 0
23 La regola della mano destra Prima formulazione Si dispone il pollice lungo il primo vettore Si dispone l indice lungo il secondo vettore Il verso del medio individua il verso del prodotto vettoriale Seconda formulazione Si chiude a pugno la mano destra mantenendo sollevato il pollice Le dita chiuse a pugno devono indicare il verso in cui il primo vettore deve ruotare per sovrapporsi al secondo in modo che l angolo θ di rotazione sia minore di 80 Il verso del pollice individua il verso del prodotto vettoriale a b b a b b a a
24 Proprietà del prodotto vettoriale Il modulo del prodotto vettoriale è pari all area del parallelogramma individuato dai due vettori Il prodotto vettoriale è nullo se i due vettori sono paralleli (θ=0) Il prodotto vettoriale gode della proprietà anticommutativa: b θ a
25 4
26 esempio MOMENTO DI UNA FORZA M = OA F = r F OA = r = cm F = 000 N φ = 63 M modulo F r sen φ = 000 N x cm sen 63 = = 7.8 N m direzione verso r, F avanzamento vite che ruota sovrapponendo r su F 5
Angoli e loro misure
Angoli e loro misure R s Unità di misura: gradi, minuti, secondi 1 o =60' 1'=60'' Es: 35 o 41'1'' radianti α(rad) s R Angolo giro = 360 o = R/R = rad R=1 arco rad Es.: angolo retto R Arco 4 : se R=1 π
e la lunghezza della proiezione del vettore B sul vettore A. s = A B =A b
8) Prodotto scalare o prodotto interno Si definisce prodotto scalare s di due vettori A e B, l area del rettangolo che ha per lati il modulo del vettore A e la lunghezza della proiezione del vettore B
Grandezze scalari e vettoriali
VETTORI Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un unità di misura, altre invece sono completamente definite solo quando, oltre ad
Grandezze scalari e vettoriali
Grandezze scalari e vettoriali Per caratterizzare completamente una grandezza fisica, a volte è sufficiente dare soltanto un numero (scalare), mentre altre volte questo non è sufficiente. Massa, lunghezza,
I VETTORI. Definizione Sistemi di riferimento Componenti e modulo Somma e differenza Prodotto scalare Prodotto vettoriale Versori. Vettori. pag.
I VETTORI Definizione Sistemi di riferimento Componenti e modulo Somma e differenza Prodotto scalare Prodotto vettoriale Versori pag.1 Grandezze scalari e vettoriali Per una descrizione completa del fenomeno
VETTORI E SCALARI DEFINIZIONI. Si definisce scalare una grandezza definita interamente da un solo numero, affiancato dalla sua unità di misura.
VETTORI E SCALARI DEFINIZIONI Si definisce scalare una grandezza definita interamente da un solo numero, affiancato dalla sua unità di misura. Un vettore è invece una grandezza caratterizzata da 3 entità:
Algebra dei vettori OPERAZIONI FRA VETTORI SOMMA DI VETTORI
Algebra dei vettori Il vettore è un oggetto matematico che è caratterizzato da modulo, direzione e verso. Si indica graficamente con una freccia. Un vettore è individuato da una lettera minuscola con sopra
Lezione 2 Richiami sui sistemi di riferimento Richiami di trigonometria Vettori Calcolo vettoriale
Dr. Andrea Malizia Prof. Maria Guerrisi 1 Richiami sui sistemi di riferimento Richiami di trigonometria Vettori Calcolo vettoriale Sistemi di riferimento e spostamento 2 Sistemi di riferimento e spostamento
I.T.I.S «G. MARCONI» - PADOVA Via Manzoni, 80 Tel.: Fax
I.T.I.S «G. MARCONI» - PADOVA Via Manzoni, 80 Tel.: 049.80.40.211 Fax 049.80.40.277 [email protected] www.itismarconipadova.it Settore tecnologico Indirizzo meccanica meccatronica ed energia
CORSO DI BIOFISICA IL MATERIALE CONTENUTO IN QUESTE DIAPOSITIVE E AD ESCLUSIVO USO DIDATTICO PER L UNIVERSITA DI TERAMO
CORSO DI BIOFISICA IL MATERIALE CONTENUTO IN QUESTE DIAPOSITIVE E AD ESCLUSIVO USO DIDATTICO PER L UNIVERSITA DI TERAMO LE IMMAGINE CONTENUTE SONO STATE TRATTE DAL LIBRO FONDAMENTI DI FISICA DI D. HALLIDAY,
VETTORI. OPERAZIONI CON I VETTORI. RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA DEI VETTORI. APPLICAZIONI.
VETTORI. OPERAZIONI CON I VETTORI. RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA DEI VETTORI. APPLICAZIONI. Sia AB un segmento orientato. Ad esso è possibile associare: 1) la direzione, cioè la direzione della retta su
Lezione 2 Richiami sui sistemi di riferimento Richiami di trigonometria Vettori Calcolo vettoriale
Corsi di Laurea dei Tronchi Comuni 2 e 4 Dr. Andrea Malizia 1 Richiami sui sistemi di riferimento Richiami di trigonometria Vettori Calcolo vettoriale 2 Sistemi di riferimento e spostamento 3 Sistemi di
CORPO RIGIDO MOMENTO DI UNA FORZA EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO CENTRO DI MASSA BARICENTRO
LEZIONE statica-1 CORPO RIGIDO MOMENTO DI UNA FORZA EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO CENTRO DI MASSA BARICENTRO GRANDEZZE SCALARI E VETTORIALI: RICHIAMI DUE SONO LE TIPOLOGIE DI GRANDEZZE ESISTENTI IN FISICA
DEFINIZIONE Un vettore (libero) è un ente geometrico rappresentato da un segmento orientato caratterizzato da tre parametri:
DEFINIZIONE Un vettore (libero) è un ente geometrico rappresentato da un segmento orientato caratterizzato da tre parametri: 1. modulo: la lunghezza del segmento 2. direzione: coincidente con la direzione
Prodotto scalare e prodotto vettoriale. Elisabetta Colombo
Corso di Approfondimenti di Matematica Biotecnologie, Anno Accademico 2010-2011, http://users.mat.unimi.it/users/colombo/programmabio.html Vettori Vettori 1 2 3 4 di di Ricordiamo il in R n Dati a = (a
, c di modulo uguale sono disposti in modo da formare un triangolo equilatero come mostrato in fig. 15. Si chiarisca quanto vale l angolo formato da
22 Tonzig Fondamenti di Meccanica classica ta) Un esempio di terna destra è la terna cartesiana x, y, z [34] Per il prodotto vettoriale vale la proprietà distributiva: a ( b c) = a b a c, ma non vale la
Calcolo vettoriale. Versore: vettore u adimensionale di modulo unitario (rapporto tra un vettore e il suo modulo)
Grandezze scalari: caratterizzate da un valore numerico in una unità di misura scelta (ex: massa, temperatura, ecc) Grandezze vettoriali: oltre al valore numerico necessitano della definizione di una direzione
Due vettori si dicono opposti se hanno stessa direzione, stesso modulo ma direzione opposte, e si indica con.
Vettori. Il vettore è un ente geometrico rappresentato da un segmento orientato, che è caratterizzato da una direzione, da un verso e da un modulo. Il punto di partenza si chiama coda (o punto di applicazione),
Grandezze Fisiche, Sistema Internazionale e Calcolo Vettoriale
Grandezze Fisiche, Sistema Internazionale e Calcolo Vettoriale Soluzioni ai Quiz 1 Il Sistema Internazionale di Unità di Misura Le grandezze fisiche di base sono sei, ognuna delle quali ha una unità di
a) Parallela a y = x + 2 b) Perpendicolare a y = x +2. Soluzioni
Svolgimento Esercizi Esercizi: 1) Una particella arriva nel punto (-2,2) dopo che le sue coordinate hanno subito gli incrementi x=-5, y=1. Da dove è partita? 2) Disegnare il grafico di C = 5/9 (F -32)
1- Geometria dello spazio. Vettori
1- Geometria dello spazio. Vettori I. Generalità (essenziali) sui vettori. In matematica e fisica, un vettore è un segmento orientato nello spazio euclideo tridimensionale. Gli elementi che caratterizzano
Esercitazione di Analisi Matematica II
Esercitazione di Analisi Matematica II Barbara Balossi 06/04/2017 Esercizi di ripasso Esercizio 1 Sia data l applicazione lineare f : R 3 R 3 definita come f(x, y, z) = ( 2x + y z, x 2y + z, x y). a) Calcolare
1 Sistemi di riferimento
Università di Bologna - Corsi di Laurea Triennale in Ingegneria, II Facoltà - Cesena Esercitazioni del corso di Fisica Generale L-A Anno accademico 2006-2007 1 Sistemi di riferimento Le grandezze usate
misura. Adesso, ad un arbitrario punto P dello spazio associamo una terna di numeri reali x
4. Geometria di R 3. Questo paragrafo è molto simile al paragrafo : tratta infatti delle proprietà geometriche elementari dello spazio R 3. Per assegnare delle coordinate nello spazio, fissiamo innanzitutto
Vettori e Calcolo vettoriale
Vettori e Calcolo vettoriale Ci poniamo nello spazio ordinario S, in cui valgono gli assiomi della geometria euclidea. I vettori vengono rappresentati mediante frecce, con un punto iniziale e un punto
Introduzione FISICA 1. Dott.ssa Elisabetta Bissaldi
Introduzione FISICA 1 Dott.ssa Elisabetta Bissaldi Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A. 2018-2019 2 Introduzione alla Fisica FISICA: Scienza basata sull esperienza Descrive il mondo reale mediante
x 1 Fig.1 Il punto P = P =
Geometria di R 2 In questo paragrafo discutiamo le proprietà geometriche elementari del piano Per avere a disposizione delle coordinate nel piano, fissiamo un punto, che chiamiamo l origine Scegliamo poi
Operazioni coi vettori
Operazioni coi ettori Opposto di un ettore I ersori Somma e differenza tra ettori Componenti di un ettore Prodotto scalare Prodotto ettoriale Rappresentazione matriciale di un ettore I ettori Per definire
Le grandezze fisiche scalari sono completamente definite da un numero e da una unità di misura.
UNITÀ 3 LE GRANDEZZE FISICHE VETTORIALI E I VETTORI 1. Grandezze fisiche scalari e vettoriali. 2. I vettori. 3. Le operazioni con i vettori. 4. Addizione e sottrazione di vettori. 5. Prodotto di un numero
Angolo polare, versori radiale e trasverso
Angolo polare, versori radiale e trasverso Desideriamo descrivere il moto di un corpo puntiforme che ruota su una circonferenza attorno ad un asse fisso. Nella figura l asse di rotazione coincide con l
Fisicaa Applicata, Area Tecnica, M. Ruspa. GRANDEZZE FISICHE e MISURA DI GRANDEZZE FISICHE
GRANDEZZE FISICHE e MISURA DI GRANDEZZE FISICHE 1 LA FISICA COME SCIENZA SPERIMENTALE OSSERVAZIONI SPERIMENTALI Studio di un fenomeno MISURA DI GRANDEZZE FISICHE IPOTESI VERIFICA LEGGI FISICHE Relazioni
Momento angolare L. P. Maggio Prodotto vettoriale
Momento angolare L. P. Maggio 2007 1. Prodotto vettoriale 1.1. Definizione Il prodotto vettoriale di due vettori tridimensionali a e b è un vettore c così definito: a) Il modulo di c è pari all area del
Problemi di Fisica I Vettori
Problemi di isica I Vettori PROBLEMA N. Determinare la risultante, sia dal punto di vista grafico che analitico, delle seguenti forze: (; 6) (-; ) 3 (-6; -3) (0; -) Metodo grafico Rappresentiamo graficamente
ELEMENTI DI CALCOLO VETTORIALE
ELEMENTI DI CALCOLO VETTORIALE Vettori liberi e vettori applicati o Vettore libero: - individuato da una direzione orientata ed una lunghezza - non ha un'ubicazione fissa nello spazio: - puo' essere traslato
1 Appunti pre-corso di FISICA GENERALE
N. Giglietto - 1. Appunti pre-corso di FISICA GENERALE 1 1 Appunti pre-corso di FISICA GENERALE Il contenuto di questi appunti è più estesamente riportato nei capitoli 1 e 3 dell Halliday V- Edizione volume
Nel Sistema Internazionale l unità di misura dell angolo è il radiante
Scienze Motorie Grandezze fisiche Il Sistema Internazionale di Unità di Misura 1) Nel Sistema Internazionale il prefisso Giga equivale a a) 10 15 b) 10 12 c) 10 9 d) 10 6 e) 10 3 Nel Sistema Internazionale
Vettori e geometria analitica in R 3 1 / 25
Vettori e geometria analitica in R 3 1 / 25 Sistemi di riferimento in R 3 e vettori 2 / 25 In fisica, grandezze fondamentali come forze, velocità, campi elettrici e magnetici vengono convenientemente descritte
Sistemi di coordinate
Sistemi di coordinate Servono a descrivere la posizione di una punto nello spazio. Un sistema di coordinate consiste in Un punto fisso di riferimento chiamato origine Degli assi specifici con scale ed
figura. A figura. B Il modulo è la lunghezza o intensità del vettore. Il punto di applicazione è l origine del vettore detto anche coda.
Martinelli Sara 1A Lab. Di fisica del Liceo Scopo: verificare la regola del parallelogramma. Materiale utilizzato: Telaio 5 morse Asta orizzontale Base metallica 2 piantane verticali Pesi Goniometro stampato
La matematica del CAD. Vettori e Matrici
La matematica del CAD Vettori e Matrici IUAV Disegno Digitale Camillo Trevisan I programmi CAD riducono tutti i problemi geometrici in problemi analitici: la proiezione di un punto su un piano viene, ad
VETTORI GEOMETRICI / RICHIAMI
M.GUIDA, S.ROLANDO, 2016 1 VETTORI GEOMETRICI / RICHIAMI Chiamiamo vettore un qualsiasi segmento orientato del piano o dello spazio. Orientare un segmento significa scegliere un verso per percorrerlo,
Esercizi sul Calcolo Vettoriale 10/10/2014
Esercizi sul Calcolo Vettoriale 10/10/2014 Problema 1. Fissata una terna cartesiana eortogonale e dati due vettori a=11 î 7 ĵ +9 k, b=14 î+5 ĵ k determinare modulo, direzione e verso sia della somma a+
- Fondamenti di calcolo vettoriale - VETTORI
VETTORI Definizione: Il vettore è un segmento orientato ovvero un segmento su cui è fissato un verso di percorrenza. Graficamente il verso del vettore è rappresentato da una freccia. A A A Segmento orientato
Coordinate e Sistemi di Riferimento
Coordinate e Sistemi di Riferimento Sistemi di riferimento Quando vogliamo approcciare un problema per risolverlo quantitativamente, dobbiamo per prima cosa stabilire in che sistema di riferimento vogliamo
Argomenti Capitolo 1 Richiami
Argomenti Capitolo 1 Richiami L insieme dei numeri reali R si rappresenta geometricamente con l insieme dei punti di una retta orientata su cui sia stato fissato un punto 0 e un segmento unitario. L insieme
vettore spostamento infinitesimo: ds dr dxi + dyj + dzk
Appendice A A.1 - istemi di coordinate. 1) Coordinate cartesiane. Il sistema di riferimento è costituito da tre assi perpendicolari uscenti da una comune origine O ed orientati positivamente verso l esterno.
Corso di Fisica. Lezione 3 Scalari e vettori Parte 2
Corso di Fisica Lezione 3 Scalari e vettori Parte 2 Algebra vettoriale Negli anni trascorsi si sono studiate le regole dell algebra applicate agli scalari Ora occorre definire le regole algebriche per
Grandezze scalari e vettoriali
Grandezze scalari e vettoriali Esempio vettore spostamento: Esistono due tipi di grandezze fisiche. a) Grandezze scalari specificate da un valore numerico (positivo negativo o nullo) e (nel caso di grandezze
Istituzioni di Matematiche Modulo B (SG)
Istituzioni di Matematiche Modulo B (SG) II foglio di esercizi ESERCIZIO 1. Per ciascuna funzione f(, ) calcolare le derivate parziali f (, ) e f (, ) e determinare il relativo dominio di definizione.
Meccanica. 1. Vettori. Domenico Galli. Dipartimento di Fisica e Astronomia
Meccanica 1. Vettori http://campus.cib.unibo.it/2421/ Domenico Galli Dipartimento di Fisica e Astronomia 3 febbraio 2017 Traccia 1. Grandezze Fisiche 2. Vettori 3. Calcolo Vettoriale 4. Somma e Differenza
Appunti sul corso di Complementi di Matematica (modulo Analisi)
Appunti sul corso di Complementi di Matematica (modulo Analisi) prof. B.Bacchelli. 04 - Vettori topologia in R n : Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Cap. 1.2: In R n : vettori, somma, prodotto
Il modulo del vettore è: = = = ,6.
LE GRANDEZZE VETTORIALI ESERCIZI Esercizio 1 Le componenti cartesiane di un vettore sono 18 ; 12. Determina il modulo del vettore e l angolo che esso forma con l asse. 18 ; 12?? Il modulo del vettore è:
Meccanica. 1. Vettori. Domenico Galli. Dipartimento di Fisica e Astronomia. 5 maggio 2017
Meccanica 1. Vettori http://campus.cib.unibo.it/2421/ Domenico Galli Dipartimento di Fisica e Astronomia 5 maggio 2017 Traccia 1. Grandezze Fisiche 2. Vettori 3. Calcolo Vettoriale 4. Somma e Differenza
LEZIONE 8. k e w = wx ı + w y j + w z. k di R 3 definiamo prodotto scalare di v e w il numero
LEZINE 8 8.1. Prodotto scalare. Dati i vettori geometrici v = v x ı + v y j + v z k e w = wx ı + j + k di R 3 definiamo prodotto scalare di v e w il numero v, w = ( v x v y v z ) w x = v x + v y + v z.