VETTORI GEOMETRICI / RICHIAMI

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1 M.GUIDA, S.ROLANDO, VETTORI GEOMETRICI / RICHIAMI Chiamiamo vettore un qualsiasi segmento orientato del piano o dello spazio. Orientare un segmento significa scegliere un verso per percorrerlo, cioè fissare un estremo iniziale ed uno finale. I vettori si indicano con u, v, w... (o anche u, v, w..., o u, v, w...), oppure con AB, AC, BC... qualora se ne vogliano evidenziare gli estremi finale ed iniziale. L estremo finale di un vettore u si chiama punta di u, quello iniziale punto di applicazione o coda di u. Un vettore con punta e coda coincidenti si dice vettore nullo. Si conviene che due vettori sono uguali 1 se sono perfettamente sovrapponibili mediante traslazione (la definizione non è rigorosa, ma nemmeno ambigua). Ne consegue che il vettore nullo è unico (per cui lo si indica semplicemente con 0) e che uno stesso vettore può essere rappresentato come applicato in un punto qualsiasi, arbitrariamente scelto. Ad un qualsiasi vettore u = AB si associa il numero reale 0 che esprime la lunghezza del segmento AB rispetto ad un prefissata unità di misura; tale numero è detto modulo o norma di u e si indica con u o u. Seu =1,sidicecheu èunversore. Risulta u =0u = 0, cioè il vettore nullo è caratterizzato dall avere modulo nullo. Ad un qualsiasi vettore u = AB = 0 si associano anche una direzione (quella della retta AB) 2 e, ovviamente, un verso (quello da A a B). Stante la definizione data di uguaglianza tra vettori, modulo, direzione e verso caratterizzano un vettore u = 0 (che, ricordiamo, può però essere rappresentato come uscente da un punto qualsiasi). Dato un vettore qualsiasi u = AB, il vettore BA è detto vettore opposto di u e si indica con u. Risulta u = u u = 0, mentre, se u = 0, allorau è il vettore con modulo e direzione uguali a quelli di u e verso opposto. Due (o più) vettori si dicono paralleli se, applicati in uno stesso punto, stanno sulla stessa retta. Due vettori si dicono ortogonali se, applicati in uno stesso punto, stanno su rette perpendicolari. Per indicare che u e v sono paralleli o ortogonali, si scrive rispettivamente u v o u v. Si noti che il vettore nullo è parallelo ed ortogonale ad ogni altro. Se rappresentati con lo stesso punto di applicazione, due vettori non paralleli individuano un unico piano (quello passante per il punto di applicazione comune e contenente i due vettori). Tre o più vettori si dicono complanari se, applicati in uno stesso punto, stanno su uno stesso piano. Applicando nello stesso punto due vettori non nulli u, v (del piano o dello spazio), risultano individuati due angoli di lati u e v: tra questi, quello di ampiezza non superiore a si dice angolo di u e v e si indica con uv. Dunque si ha sempre 0 uv e, in particolare, risulta: uv =0u, v paralleli e concordi (stesso verso); uv = u, v paralleli e discordi (verso opposto); uv = 2 u v. 1 arigorisidovrebbedireequivalenti o equipollenti 2 una definizione rigorosa di direzione di una retta non è semplice, ma intuitivamente essa può essere pensata come la qualità comune a tutte le rette tra loro parallele (si veda anche l articolo

2 2 M.GUIDA, S.ROLANDO, SOMMA E PRODOTTO PER SCALARI Sui vettori si definiscono varie operazioni, motivate dal comportamento delle grandezze che in Fisica si rappresentano tramite vettori (grandezze vettoriali, come spostamenti, velocità, forze ecc.). Ancora per analogia con la Fisica (dove le grandezze rappresentate da numeri e non da vettori sono dette grandezze scalari), nel contesto del calcolo vettoriale i numeri reali prendono il nome di scalari SOMMA DI VETTORI. La somma u + v èdefinita, in generale, con la regola del punta-coda: rappresentando v come uscente dalla punta di u, lasommau + v èilvettoreche vadallacodadiualla punta di v; in altri termini AB + BC := AC. Se u, v non sono paralleli, tale regola equivale alla regola del parallelogramma: applicando tutti i vettori in uno stesso punto, u + v è la diagonale del parallelogramma di lati u, v. I tre vettori u, v e u + v sono sempre complanari. Proprietà algebriche della somma: (S1) commutativa: u + v = v + u (S2) associativa: (u + v)+w = u +(v + w) ( la regola del punta-coda si generalizza a più vettori, dando la regola del parallelepipedo nel caso di tre addendi non complanari: applicando tutti i vettori in uno stesso punto, u + v + w è la diagonale del parallelepipedo di spigoli u, v, w) (S3) esistenza dell elemento neutro: u + 0 = u (S4) esistenza dell opposto: u +(u) =0 ( si può definire la dierenza come u v := u +(v)) PRODOTTO DI UN VETTORE PER UNO SCALARE. Dati uno scalare = 0 ed un vettore u = 0, si indica con u il vettore parallelo ad u che ha modulo u ed è concorde con u se > 0, discordese < 0. Siconvienepoicheu = 0 se =0oppure u = 0. Per ogni u e, ilvettoreu è detto multiplo del vettore u secondo lo scalare. Dati u = 0 e v qualsiasi, v è parallelo ad u se e solo se v è multiplo di u. Dato u = 0, l unico versore parallelo e concorde con u è detto versore di u e si indica con u oppure vers u. Risulta evidentemente u = 1 uu (si scrive anche u u ). Proprietà algebriche del prodotto per scalari: (P1) (µu) =(µ) u (P2) 1u = u (D1) distributiva rispetto alla somma di scalari: ( + µ) u = u + µu (D2) distributiva rispetto alla somma di vettori: (u + v) =u + v. Altre proprietà (che seguono dalle precedenti) sono: i) u =(1) u e, più in generale, u =() u ii) legge di annullamento del prodotto: u = 0 =0oppure u = 0.

3 M.GUIDA, S.ROLANDO, COMBINAZIONE LINEARE. Dati n scalari 1, 2,..., n ed n vettori u 1, u 2,...,u n (n 1), l espressione 1 u u n u n si chiama combinazione lineare dei vettori u 1,...,u n con coecienti 1,..., n. L insieme delle combinazioni lineari di u 1,...,u n si indica con L (u 1,...,u n ),cioèsidefinisce L (u 1,...,u n ):={ 1 u n u n : 1,..., n R}. In particolare, L (u) ={u : R} è l insieme dei multipli di u. Dati u 1, u 2 non paralleli e v qualsiasi, v è complanare con u 1, u 2 se e solo se v L (u 1, u 2 ). 2. DECOMPOSIZIONE FONDAMENTALE DI UN VETTORE Per ricondurre il calcolo vettoriale ad un calcolo scalare (più agevole), è di fondamentale importanza la seguente identificazione tra vettori e coppie (nel piano) o terne (nello spazio) ordinate di numeri reali. Illustriamo solo il caso dello spazio, essendo quello del piano del tutto analogo (oltre che più semplice). Fissiamo un riferimento cartesiano R =(O; x, y, z) (a volte indicato con Oxyz) e rappresentiamo tutti i vettori come applicati nell origine O. Unqualsiasivettoreu = OP è univocamente individuato dalla sua punta P =(x, y, z), la quale è a sua volta univocamente individuata dalle proprie coordinate cartesiane (x, y, z) rispetto ad R. Pertanto l insieme dei vettori u dello spazio può essere identificato con l insieme R 3 delle terne ordinate (x, y, z) di numeri reali. Realizzando tale identificazione, si parla (impropriamente) di vettori di R 3 esiscriveu =(x, y, z). Gli scalari x, y, z sono detti componenti di u rispetto al riferimento R. Chiaramente risulta 0 =(0, 0, 0). In particolare, i vettori i =(1, 0, 0), j =(0, 1, 0) e k =(0, 0, 1) sono versori con la stessa direzione e lo stesso verso degli assi coordinati e vengono detti versori fondamentali del riferimento R. Assegnare un riferimento R equivale ad assegnare l origine O ed i versori fondamentali i, j, k, percuisiscriveancher =(O; i, j, k). Teorema (di decomposizione). Se u =(x, y, z), allora risulta u = xi + yj + zk. Inoltre, le componenti (x, y, z) di u rispetto ad R sono gli unici coecienti che consentono una tale decomposizione di u come combinazione lineare dei versori fondamentali di R. In altri termini: u =(x, y, z) u = xi + yj + zk. Osserviamo che, mentre l identificazione u =(x, y, z) tra vettori e coordinate è stata realizzata applicando tutti i vettori in O, la decomposizione u = xi + yj + zk prescinde dai punti di applicazione dei vettori considerati. Somma e prodotto per scalari in componenti. Fissato un riferimento cartesiano R nello spazio, per ogni u =(x, y, z), u =(x,y,z ) e R si ha u + u =(x + x,y+ y,z+ z ) e u =(x, y, z). Di conseguenza, due vettori risultano paralleli se e solo se le loro componenti omologhe sono nulle o proporzionali. Inoltre, le componenti del vettore P 1 P 2 si ottengono dalle coordinate dei punti P 1 =(x 1,y 1,z 1 ) e P 2 =(x 2,y 2,z 2 ) per dierenza, cioè P 1 P 2 =(x 2 x 1,y 2 y 1,z 2 z 1 ) (infatti, per definizione di somma, risulta P 1 P 2 = OP 2 OP 1 ). Per questo motivo, il vettore P 1 P 2 si indica spesso anche con P 2 P 1.

4 4 M.GUIDA, S.ROLANDO, ALTRE OPERAZIONI Altre operazioni di notevole importanza sui vettori sono il prodotto scalare (che opera su due vettori del piano o dello spazio e produce uno scalare), il prodotto vettoriale (che opera su due vettori dello spazio e produce un vettore) e il prodotto misto (che opera su tre vettori dello spazio e produce uno scalare) PRODOTTO SCALARE (O INTERNO). Dati due vettori non nulli u, v (del piano odellospazio), si chiama prodotto scalare (o prodotto interno) di u e v il numero reale u v := uvcos uv. Si conviene inoltre che u v =0se u = 0 oppure v = 0. Per ogni u e v, risulta u v =0 u v (si ricordi che il vettore nullo è ortogonale ad ogni altro) e u u = u 2.Inoltre,sev è non nullo, allora u v v = lunghezza della proiezione ortogonale di u sulla retta parallela a v e passante per la coda di u. Proprietà algebriche del prodotto scalare: (1) commutativa: u v = v u (2) distributiva: u (v + w) =u v + u w (3) omogeneità: (u) v = u (v) = (u v). Prodotto scalare in componenti (nello spazio). Fissato un riferimento cartesiano R nello spazio, per ogni u 1 =(x 1,y 1,z 1 ) e u 2 =(x 2,y 2,z 2 ) risulta u 1 u 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2. Di conseguenza, per ogni u =(x, y, z) si ha x = u i, y= u j, z= u k e u = u u = x 2 + y 2 + z PRODOTTO VETTORIALE (O ESTERNO). Dati due vettori non paralleli u, v dello spazio, si chiama prodotto vettoriale (o prodotto esterno) di u e v l unico vettore u v (o u v) che è ortogonale ad entrambi u e v, ha modulo u v := uvsin uv ed è diretto in modo che la terna ordinata (u, v, u v) sia destrorsa (= applicando tutti i vettori nello stesso punto e disponendo indice e medio di una mano destra rispettivamente sul primo e secondo vettore in modo che tra le due dita sia compreso l angolo dei due, il terzo vettore è orientato come il pollice). Si conviene inoltre che u v = 0 se u e v sono paralleli. Per ogni u, v nello spazio, risulta u v = 0 u v (si ricordi che il vettore nullo è parallelo ad ogni altro). Inoltre, se u v = 0, allora u v = area del parallelogramma di lati u, v = 2 volte l area del triangolo di lati u, v. Proprietà algebriche del prodotto vettoriale: (1) anticommutativa: u v = (v u) (2) distributiva: u (v + w) =u v + u w (3) omogeneità: (u) v = u (v) = (u v).

5 M.GUIDA, S.ROLANDO, Prodotto vettoriale in componenti. Fissato un riferimento cartesiano R nello spazio, per ogni u 1 =(x 1,y 1,z 1 ) e u 2 =(x 2,y 2,z 2 ) risulta i j k u 1 u 2 = x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 =(y 1z 2 y 2 z 1,x 2 z 1 x 1 z 2,x 1 y 2 x 2 y 1 ) dove il determinante è solo formale e va sviluppato rispetto alla prima riga PRODOTTO MISTO. Dati tre vettori u, v, w dello spazio, si chiama prodotto misto di u, v, w (nell ordine) il numero reale u v w (ovviamente si intende u (v w), perché (u v) w non ha senso). Per ogni u, v, w nello spazio, risulta u v w =0 u, v, w sono complanari.seu v w = 0, alloralaterna(u, v, w) è destrorsa se e solo se u v w > 0; inoltre risulta u v w = volume del parallelepipedo di spigoli u, v, w = 6 volte il volume del tetraedro di spigoli u, v, w. Prodotto misto in componenti. Fissato un riferimento cartesiano R nello spazio, per ogni terna di vettori u i =(x i,y i,z i ), i =1, 2, 3, risulta x 1 y 1 z 1 u 1 u 2 u 3 = x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z CONDIZIONI DI PARALLELISMO E COMPLANARITÀ NELLO SPAZIO Si è già visto che (nel piano o nello spazio): dati u = 0 e v qualsiasi, v è parallelo ad u seesolosev è multiplo di u; dati u 1, u 2 non paralleli e v qualsiasi, v è complanare con u 1, u 2 se e solo se v L (u 1, u 2 ). Per due o tre vettori nello spazio, valgono inoltre le seguenti caratterizzazioni di parallelismo e complanarità: 1 dati due vettori u, v dello spazio, le seguenti aermazioni sono equivalenti: u e v sono paralleli; almeno uno tra u e v è multiplo dell altro; le componenti omologhe di u e v sono nulle o proporzionali; u v = 0; 2 dati tre vettori u, v, w dello spazio, le seguenti aermazioni sono equivalenti: u, v, w sono complanari; almeno uno tra u, v, w è combinazione lineare degli altri; u v w =0.

6 6 M.GUIDA, S.ROLANDO, PROIEZIONI ORTOGONALI 1 Dati u = 0 e v qualsiasi (nel piano o nello spazio), sichiamaproiezione ortogonale di v sulla retta di u il vettore v u := (v u) u. Il vettore v u può essere caratterizzato come: i) l unico vettore parallelo ad u tale che v v u u ii) l unico vettore tale che v v u = min v w. wl(u) Di conseguenza, la scrittura v = v u +(v v u ) fornisce una decomposizione (unica) di v come somma di un vettore parallelo ad u con uno ortogonale ad u. 2 Dati nello spazio u 1, u 2 non paralleli e v qualsiasi, si chiama proiezione ortogonale di v sul piano di u 1, u 2 il vettore v u1 u 2 := v v u dove u = u 1 u 2. v u1 u 2 può essere caratterizzato come l unico vettore: v vu1 u i) complanare con u 1, u 2 etaleche 2 u 1 v v u1 u 2 u 2 ii) tale che v v u1 u 2 = min v w. wl(u 1,u 2 ) La scrittura v = v u1 u 2 +v u fornisce una decomposizione (unica) di v come somma di un vettore complanare con u 1, u 2 con uno ortogonale al piano di u 1, u 2. Se u 1 u 2,risultaanche v u1 u 2 =(v u 1 ) u 1 +(v u 2 ) u 2.