l intersezione di due piani perpendicolari tra loro individua una retta, nello spazio, ossia un asse di riferimento

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1 Coordinate cartesiane, polari sferiche e polari cilindriche i sistemi di coordinate curvilinee ortogonali sono costruiti scegliendo tre superfici dette superfici coordinate che vengono identificate ciascuna con un parametro reale l interseione di queste supefici identifica in maniera univoca un punto nello spaio nel caso del sistema cartesiano ortogonale le superfici coordinate sono piani perpendicolari tra loro

2 l interseione di due piani perpendicolari tra loro individua una retta, nello spaio, ossia un asse di riferimento l interseione di un tero piano perpendicolare ai primi due piani con l asse di riferimento individua in maniera univoca un punto nello spaio l origine del sistema di riferimento vengono cosi determinati tre assi di riferimento ortogonali,, identificati dai tre versori ortogonali tra loro iˆ, ˆjk, ˆ

3 ^ ^ ^ i, j, k costituiscono una terna unitaria ortogonale destrorsa iˆ iˆ= 1 iˆ ˆj = 0 ˆ ˆ j j kˆ kˆ= = 1 1 iˆ kˆ = 0 ˆj kˆ = 0 terna unitaria terna ortogonale iˆ ˆj = kˆ ˆj kˆ = iˆ kˆ iˆ= ˆj terna destrorsa SI N SI ovviamente si avra anche iˆ iˆ= 0 ˆj ˆj = 0 kˆ kˆ= 0

4 Coordinate polari sferiche come superfici coordinate si assumono 1) superfici sferiche 2) superfici semi coniche 3) semipiani scelti un punto fisso come origine una retta orientata passante per come asse di riferimento detta asse polare il semipiano σ contenente l asse come riferimento le superfici sferiche sono identificate dal raggio ρ della sfera ρ > 0 i semiconi con centro in sono identificati dall angolo di apertura del cono a partire dall asse polare θ [ 0 θ < π ] i semipiani π passanti per l asse polare sono identificati dall angolo che formano rispetto al semipiano σ di riferimento ϕ [ 0 ϕ < 2π ] nel generico punto P la terna ortogonale e data dai tre versori orientati nelle direioni perpendicolare alla sfera, perpendicolare alla superficie del cono, perpendicolare al piano π ϕ ϑ P ρ uˆr û ϑ û ϕ

5 coordinate cartesiane espresse in funione delle coordinate polari sferiche : ϑ ϕ ρ P sen = ρcosϑ cos = ρ ϑ ϕ = ρsenϑsenϕ le relaioni inverse sono: ρ = + + ϑ = arcos ϕ = artg

6 Coordinate polari cilindriche come superfici coordinate si assumono 1) superfici cilindriche 2) piani e semipiani scelti : un punto fisso come origine una retta orientata passante per come asse di riferimento detta asse polare coincidente con l asse del cilindro il semipiano σ contenente l asse come riferimento il piano π passante per e perpendicolare all asse π

7 i piani paralleli al piano π sono individuati dalla loro posiione le superfici cilindriche aventi come asse di simmetria l asse di riferimento sono definite dal raggio ρ della seione normale del cilindro ρ > 0 ρ P û ϕ û i semipiani passanti per l asse di riferimento sono caratteriati dall angolo ϕ che formano rispetto al semipiano σ di riferimento ϕ [ 0 ϕ < 2π ] il versore u ^ (P) parallelo all asse e perpendicolare in P al piano π passante per il punto P dello spaio ad una generica superficie cilindrica passante per il punto P dello spaio sara perpendicolare in P il versore u ρ diretto in direione radiale uscente dall asse di riferimento verso l esterno ϕ π

8 coordinate cartesiane espresse in funione delle coordinate polari cilindriche : = ρcosϕ = ρsenϕ ϕ ρ P = le relaioni inverse sono: ρ = ϕ = artg =

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