la forza peso e conservativa

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1 La forza gravitazionale sulla superficie della terra P = mg e detta forza peso la forza peso e conservativa dimostrazione : se si utilizza la prima definizione di conservativita di un campo di forze occorrera dimostrare che il lavoro calcolato lungo un qualsiasi percorso non dipende dal percorso, ma solo dai valori che una funzione scalare della posizione assume in corrispondenza delle coordinate degli estremi di partenza e di arrivo 1

2 il lavoro effettuato da P nel passare da a lungo il percorso Γ e l integrale di linea da a della forza peso P dl dl e il lavoro infinitesimo di P e per definizione di integrale di linea lungo Γ P dl

3 attenzione: non si deve pensare di lasciare il corpo libero di cadere ma occorrera spostarlo bilanciando costantemente la forza peso P con una forza F est uguale ed opposta alla forza peso di modo che ad ogni istante vi sia equilibrio per far cio bisogna che gli spostamenti siano molto piccoli, al limite infinitesimi e che vengano effettuati molto lentamente, ossia eseguendo una trasformazione adiabatica nel tempo in questo modo si potra valutare il lavoro effettuato da F est e il lavoro fatto da P sara uguale, ma contrario in segno, al lavoro fatto dall esterno

4 scelto un sistema di riferiento cartesiano ortogonale z ed un percorso Γ qualsiasi orientato da a z la forza peso e un campo di forza costante z F est Γ ed e sempre diretta lungo la verticale, percio P = 0 iˆ + 0 ˆj mg kˆ e la forza che equilibria P dovra essere = mg kˆ pari a î ˆk ĵ dl F = P = mgkˆ est P y y y infine l espressione di un generico spostamento infinitesimo nello spazio sara dl = d i ˆ+ dy ˆj + dzkˆ 4

5 5 e il lavoro infinitesimo fatto dalla forza esterna dl F dl 1 est 1 est = 0 d + 0 dy + mg dz lungo il primo spostamento sara = mg dz 1 dz 3 dz dz 1 z z z z z z F est F est F est Γ dl 3 dl lungo il secondo tratto sara e cosi via est = mg dz lungo tutto il percorso da a î ˆk ĵ P dl 1 P dl P y y y si avra sempre dlest = mg dz

6 6 per cui F est dl, y, z =, y, z ( mg) dz, y, z = mg, y, z dz = mg z z dz = ( mgz mgz) ma L = L Peso est L Peso = ( mgz mgz ) qualunque sia il percorso effettuato

7 7 se L Peso = ( mgz mgz ) posto: E ( ) = mgz P e E ( ) = mgz P E = E ( ) E ( ) = ( mgz mgz ) P P P L Peso = E P

8 8 Ricapitolando: si e dimostrato che la forza peso e conservativa e che esiste una funzione scalare, detta energia potenziale gravitazionale, che dipende solo dalle posizioni iniziali e finali, ma non dal percorso la variazione dell energia potenziale fornisce il lavoro effettuato dalla forza peso nel passare da un punto ad un altro l espressione della energia potenziale per la forza peso dipende solo dalla altezza rispetto al suolo ed e data della espressione E ppeso = mgz

9 una forza elastica unidimensionale diretta lungo l asse ha espressione F = kiˆ dove k e una costante positiva per definizione nella pratica per produrre una forza elastica si usa una molla costituita da un sottile filo metallico avvolto a spirale una molla ha una lunghezza a riposo l 0 e se la molla viene estesa o compressa î l 0 alla lunghezza l si manifesta una forza di richiamo proporzionale a = l l 0 che tende a riportare la molla alla lunghezza originale 9

10 se portiamo la molla dalla posizione l a l la stiamo allungando sara = l l 0 nel punto e = l l 0 nel punto = = l l = l Fel = kiˆ e l elongazione la forza elastica non e costante durante lo spostamento percio dovremo valutare il lavoro per spostamenti infinitesimi ed integrare sul percorso per elongazioni infinitesime, se per semplicita supponiamo che e dl = dliˆ diˆ F = F = kiˆ d = dl est el F el î l 0 î l F el l dl l F est l = riesce che l 0 0 î l dl l F est l l per cui 10

11 F est k dl = = = k kiˆ diˆ k sara uguale ed opposto a quello k k L L = = el est 1 se si pone EP el = 1 1 = k k k = kd( iˆ iˆ) = k il lavoro effettuato dalla forza elastica effettuato della forza esterna k k = ( ) E = E ( ) E ( ) P P P L el el el el = E P el d 11

12 1 possiammo concludere che la forza elastica e conservativa EP el = 1 k e detta energia potenziale elastica,

13 Energia dell oscillatore armonico unidimensionale F = F = k d dt infatti per la seconda legge della dinamica F = F = k + ω = 0 dove F = F = ma ω percio se uguagliando si ha ma = k ossia ma k 0 ma a k + = a+ = 0 m = d d + ω = dt dt 0 = k m

14 la soluzione è una funzione armonica del tipo ( t) = sen( ω t + ϕ) 14 per cui d() t v( t) = = ωcos( ωt+ φ) dt la forza elastica è conservativa dunque l energia meccanica sara costante durante il moto 1 ( ) Ec () t = m v t 1 m ω cos ( ωt ϕ ) = + p 1 E () t = k () t 1 k sen ( ωt ϕ) = +

15 15 l energia meccanica e : E = E + E m c p 1 1 = k = mω = cost in assenza di forze dissipative l energia meccanica dell oscillatore armonico e una costante del moto e vale M 1 E = m ω con ω = k m

16 Valor medio durante un periodo il valore medio di una funzione in un intervallo [ 1, ] e f() = sin(θ) 1,000 la media su di un periodo della funzione seno ( coseno) e zero 1 π π 0 f m = f ( ) d π senϑdϑ = ( cos ϑ ) = 0 0 π 0,500 0,000-0,500-1, la media su di un periodo della funzione seno al quadrato ( coseno al quadrato ) vale 1/ f() = sin (θ) 1 sen ϑdϑ = ( ϑ senϑ cos ϑ ) + C cos ϑdϑ = ( ϑ + senϑcos ϑ) + C 1 1 π 1 sen ϑdϑ = π 0 e 1 π 1 cos ϑdϑ = π 0 1,000 0,500 0,

17 17 Lavoro di una forza di attrito in generale una forza di attrito radente dinamico avra espressione F = µ Nuˆ a d v dove û v e il versore della velocita relativa tra le due superfici a contatto tra loro e µ d e il coefficiente di attrito dinamico per il caso semplice di moto rettilineo lungo l asse delle ascisse nel passare da a la forza di attrito F dl = µ d = diˆ Niˆ µ > 0 d e discorde allo spostamento F a d dl

18 18 il lavoro eseguito dalla forza F diˆ= Niˆ diˆ µ F d = µ Niˆ nel muovere un corpo materiale da a sara d = µ d N d Nota ene : d e la lunghezza infnitesima lungo il percorso da a e d e la lunghezza del percorso stesso quindi il lavoro di una forza di attrito dinamico dipendera dal percorso!! in conclusione : la forza di attrito dinamico NN è una forza conservativa!!

19 da a a b dl a d b dl a d b da b a a dl a d b dl a d b 19

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