Prova Scritta di di Meccanica Analitica. 3 giugno Un punto di massa unitaria si muove soggetto al potenziale ) V (x) = x exp.

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1 Prova Scritta di di Meccanica Analitica 3 giugno 015 Problema 1 Un punto di massa unitaria si muove soggetto al potenziale V x = x exp x a Determinare le posizioni di equilibrio e la loro stabilitá b Tracciare il grafico del potenziale ed il ritratto di fase c Determinare il periodo delle piccole oscillazioni nel punto critico stabile e l equazione della retta tangente alla varietá instabile nel punto critico instabile. d Si consideri un punto materiale m=1 su una guida orizzontale attaccato ad una molla di costante elastica ω fissata a sua volta ad un punto O. All istante t = 0 il punto O e il punto materiale si trovano nell origine con velocitá iniziali rispettivamente v 0 e 0. Determinare la soluzione xt. Punti critici sono x = 1 stabile e x + = 1 instabile. La derivata seconda del potenziale d V dx = xx + exp x La frequenza della dinamica linarizza attorno al punto stabile é ω = 1/ e mentre la tangente lungo le separatrice é m = ± 3e 1/4, quindi La soluzione cercata viene dal calcolo t xt = vx T po = πe 1/4 v = ± 3e 1/4 x 1 0 cos ωt s sin ωt s/ω ω sin ωt s cos ωt s 0 ω ds v 0 s Dal calcolo diretto segue xt = v 0 t v 0 ω sin ωt 1

2 Problema Un punto matriale di massa m e carica q si muove vincolato ad un paraboloide rovesciato di equazione z = ar / con r = x + y. Il punto é soggetto alla forza peso ed ad un campo magnetico B 0 ẑ costante lungo z. a Scrivere la Lagrangiana del sistema in coordinate cilindriche r, θ, z e indicare gli integrali primi. b Scrivere un potenziale efficace; c Determinare la condizione di esistenza di orbite circolari e calcolarne il periodo. La posizione del punto materiale é data da x = r cos θ, r sin θ, a r La matrice metrica delle coordinate si scrive 1 + a G = r r 0 0 r da cui l energia cinetica T = m 1 + a r ṙ + θ r Il potenziale del peso é V p = mga r ed abbiamo il potenziale generalizzato del campo magnetico V g = q c A v = qb c θr La Lagrangiana si scrive L = m 1 + a r ṙ + θ r + qb c θr + mga r Gli integrali primi del moto sono p θ = m θr + qb E = m c r 1 + a r ṙ + θ r mga r

3 Possiamo introdurre il potenziale efficace [ V eff = p θ mr + 1 m qb0 r mga] c La condizione di esistenza delle orbite circolari é 1 qb0 mga = ω > 0 m c Il raggio delle orbite circolari ci calcola dalla relazione r 4 c = p θ /mω ed il periodo delle orbote circolari segue da T = π θ = π p θ /mr c qb 0 /mc Problema 3 Si consideri un asta AB omogenea lunga r e di massa m incernierata nel baricentro su una guida circolare di raggio r. Oltre alla forza peso l asta é soggetta ad una forza elastica di costante k lungo la direzione orizzontale che attira l estremo B sull asse y. a Scrivere la Lagrangiana del sistema. b Scrivere la Lagrangiana delle piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio con l asta verticale nella posizione di minima altezza per il centro di massa. c Scrivere l equazione che determina le frequenze delle piccole oscillazioni. Il momento di inerzia dell asta é I = mr /3 utilizziamo gli angoli θ, ϕ per la posizione del centro di massa sulla guida e per l inclinazione dell asta rispetto ad una direzione orizzontale. Abbiamo x cm = rcos θ, sin θ x B = x cm + rcos ϕ, sin ϕ Utilizziamo il teorema di Köning per il calcolo dell energia cinetica mentre il potenziale é T = mr θ + mr 6 V = kr cos θ + cos ϕ + mgr sin θ ϕ 3

4 Calcolo le posizioni di equilibrio kr cos θ + cos ϕ sin θ + mgr cos θ = 0 kr cos θ + cos ϕ sin ϕ = 0 Abbiamo una soluzione stabile θ = π/ e ϕ = π/ infatti la matrice Hessiana del potenziale si scrive kr H = + mgr kr kr kr Quindi la Lagrangiana delle piccole oscillazione si scrive L po = mr 6 ϕ + m θ 1 kr + mgr θ kr θ ϕ + kr ϕ Le frequenze delle piccole oscillazioni é sono date dalle equazione ω mr kr + mgr kr Det kr ω mr 3 kr = 0 Problema 4 Si consideri un sistema di coordinate x, y, s dove s definisce una traiettoria di riferimento che supporemo rettilinea ed x, y il piano trasversale ad essa. Un punto materiale massa m = 1 é soggetto ad un potenziale V x, y, s definito positivo con un minimo per x = y = 0. 1 Si determini come si deve modificare la funzione di Hamilton del punto se il tempo viene scalato con t = λt e quindi anche la definizione dei momenti é modificata. Utilizzare l analogia della corrispondenza tra coordinate e momenti coniugati e la corrispondenza tra tempo ed energia cambiata di segno nel formalismo canonico e scrivere l Hamiltoniana associata all uso della coordinata s come parametro libero. 3 Porre λ = E / dove E é il valore dell energia meccanica scalata per l orbita considerata e trovare un approssimazione per la nuova Hamiltoniana valida se l energia nel piano x, y é piccola rispetto all energia totale. Soluzione 1 Un riscalamento del parametro tempo t = λt non deve modificare il funzionale di Azione t t S = Ldt = L dt 4

5 quindi la nuova Lagrangiana sará L = L/λ. Tuttavia dobbiamo scalare anche l energia cinetica in quanto le velocitá scalano v = v/λ, quindi vale L = λt 1 λ V Abbiamo quindi la relazione tra coordinate e momenti p = L v = λv quindi passando in formalismo Hamiltoninano avremo tolgo gli apici per semplicitá H = p x + p y + p s λ + 1 V x, y, s λ Se usiamo s come parametro l Hamiltoniana corrisponde al momento p s cambiato di segno quindi p s = λe V x, y, s p x + p y 3 Posto λ = 1/E abbiamo p s = 1 p x + p y V x, y, s 1 + p x + p y + V x, y, s p x + p y + V x, y, s dove l approssimazione vale se l energia trasversale é piccola rispetto all energia totale ovvero E 1 rispetto all energia cinetica trasversale e al potenziale. 5