Soluzione del Compitino di Sistemi Dinamici del 21 dicembre 2016

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1 Soluzione del Compitino di Sistemi Dinamici del dicembre 06 Esercizio Si consideri il sistema newtoniano con dissipazione ẍ = x cosx γẋ, γ 0, ed il sistema dinamico continuo ad esso associato a Si trasformi il sistema newtoniano in un equazione alle differenze finite del secondo ordine con passo h > 0 usando l approssimazione delle differenze centrali seconde e della differenza prima all indietro D xkh = 0x k h, Dxkh = x k h, e successivamente in un sistema dinamico discreto usando come variabile y k = x k x k Si consideri il caso γ = 0 b Si calcolino i punti di equilibrio del sistema dinamico continuo e se ne discuta la stabilità; si caratterizzino quindi i punti fissi del sistema dinamico discreto al variare di h c Si trovino i valori di h affinché i punti di equilibrio stabili del sistema dinamico continuo per x [ π, +π] siano punti fissi ellittici Si consideri il caso γ > 0 piccolo e si assuma che γh > 0 Si prenda il solo intervallo x [ π, +π] d Si mostri che i punti fissi iperbolici del caso γ = 0 continuano ad essere iperbolici anche nel caso γ > 0 e Si trovi una condizione sufficiente su h affinché i punti di equilibrio asintoticamente stabili del sistema dinamico continuo siano punti fissi con moltiplicatori di Lyapunov < la condizione deve essere non vuota per ogni γ tale che γh > 0 Soluzione Punto a L equazione alle differenze seconde si ottiene come segue: x k+ x k + x k h = x k x k+ = x k + h x k cosx k Il corrispondente sistema dinamico discreto diventa cosx k γ x k x k h + γh x k x k x k+ = x k + h fx k + γh y k, y k+ = h fx k + γh y k,

2 dove fx k = x k cosx k Punto b I punti di equilibrio del sistema dinamico continuo sono dati da y = 0, e dagli x tali che fx = 0, cioè x cosx = 0 x = 0, x n = ± π + nπ n Z Calcoliamo la derivata seconda dell energia potenziale rispetto ad x, e valutiamola in x e in x n, V x = f x = x sinx cosx +, V x =, V x n = ± ± π + nπ Il punto x è un massimo locale di V x perciò x, 0 è un punto di equilibrio di tipo sella instabile I punti x p = π + nπ n 0, x q = π + nπ n 0, sono punti di minimo locale di V x e quindi x p, 0 e x q, 0 sono punti di equilibrio di tipo centro stabili Infine i punti x r = π + nπ n < 0, x s = π + nπ n > 0, sono punti di massimo locale di V x e quindi x r, 0 e x s, 0 sono punti di equilibrio di tipo sella instabili Veniamo al sistema dinamico discreto con γ = 0, e calcoliamo il suo linearizzato Il polinomio caratteristico risulta e il suo discriminante è A = + h f x k h f x k P λ = λ [ + h f x k ] λ + = 0, = h f x k [ h f x k + ] I punti fissi del sistema dinamico discreto sono i punti di equilibrio del sistema dinamico continuo Per i punti di equilibrio di tipo sella, poiché f > 0, si ha > 0 Segue che questi punti fissi sono iperbolici h > 0 Per i punti di equilibrio di tipo centro si ha π f = + n π < 0 La condizione che questi punti fissi siano ellittici è data da < 0, cioè deve essere h f x k + = h π + n π > 0

3 h 8 < π + n π 0 < h < π + n π Per > 0 essi diventano iperbolici e infine per = 0 si hanno due autovalori reali entrambi uguali a Punto c Per x [ π, +π] i punti di equilibrio stabili sono π, 0 e π, 0 Essi sono punti fissi ellittici se 8 h < π Punto d Se γ > 0 il linearizzato del sistema dinamico discreto è + h A = f x k γh h f x k γh Il polinomio caratteristico risulta P λ = λ [ + h f x k γh ] λ + γh = 0 Per i punti fissi iperbolici 0, 0, 5π, 0, 5π, 0 del caso γ = 0 continua a valere f > 0, inoltre per ipotesi γh > 0 Dalle due valutazioni P 0 = γh > 0, P = h f x k < 0, segue subito che questi punti fissi rimangono iperbolici h > 0 anche quando γ > 0 Questa parte è stata considerata come facoltativa Consideriamo ora i punti fissi π, 0 e π, 0 Per 8 h > π sono iperbolici Si hanno le disuguaglianze f < 0, P 0 > 0, P > 0 Inoltre P = + h f x k γh = h π 6 γh Osservando che π 6 h > π 8 6 π =, segue che P < 0 e si conclude che questi punti fissi continuano a rimanere iperbolici Punto e Consideriamo i punti di equilibrio asintoticamente stabili del sistema dinamico continuo, cioè x p, 0 e x q, 0 In particolare, per x [ π, +π] ce ne sono due: π, 0 e π, 0 Si ha P 0 = γh > 0, P = h f x k > 0,

4 dato che f < 0 Passando a valutare la derivata di P rispetto a λ si ottiene P = h f x k + γh > 0 Una condizione sufficiente su h affinché i punti di equilibrio asintoticamente stabili del sistema dinamico continuo siano punti fissi con moltiplicatori di Lyapunov < è che P 0 < 0 In questo modo gli autovalori o sono complessi coniugati, ciascuno di modulo γh, o sono reali entrambi di modulo < Abbiamo P 0 = h f + γh < 0 Esercizio h π + γh < 0 6 h < γ + γ π + π Sia dato un corpo puntiforme di massa m, vincolato a muoversi sulla curva di equazione z = x nel piano x, z, ruotante attorno all asse verticale ascendente z con velocità angolare costante ω > 0 Supponiamo che il corpo puntiforme sia collegato all asse z tramite una molla vincolata a rimanere parallela all asse x durante il moto La molla ha lunghezza a riposo nulla e costante elastica k > 0 Sul corpo agisce un accelerazione costante g > 0 diretta verticalmente verso il basso a Si scrivano la funzione di Lagrange e l equazione di Lagrange utilizzando come parametro lagrangiano l ascissa x del punto b Si scrivano la funzione di Hamilton, le equazioni di Hamilton e si trovino i punti di equilibrio del sistema dinamico hamiltoniano, in funzione dei parametri reali positivi m, k, ω, g c Si discuta la stabilità dei punti di equilibrio trovati, in funzione del parametro J = k mω mg d Si tracci il diagramma di biforcazione dei punti di equilibrio nel piano J, x e Si tracci un disegno qualitativo delle orbite nel piano p, x dove p è il momento coniugato a x per J = Soluzione Punto a Il grafico della funzione zx è mostrato in figura Se chiamiamo con P il punto materiale e con O l origine degli assi, la posizione del punto materiale si scrive nel sistema di riferimento Oxz come P O = x, z = x, x La velocità relativa al sistema di riferimento ruotante diventa dp O dt = ẋ, ż = ẋ, xx

5 L energia cinetica nel riferimento ruotante è T = m ẋ + ż = mẋ [ 6x x + ] L energia potenziale ha due contributi, uno dovuto alla forza di gravità e l altro alla forza centrifuga: V = mgx mω x + kx La funzione di Lagrange risulta [ L = T V = m ẋ [ 6x x + ] gx + ] ω x kx Per scrivere l equazione di Lagrange, calcoliamo L ẋ = mẋ [ 6x x + ], d L = mẍ [ 6x x + ] + mẋ [ xx + 6x x ] dt ẋ = mẍ [ 6x x + ] + mẋ x x x +, L x = m [ 6ẋ x x x + xgx + ω x ] kx Si ha quindi dividendo per la massa m ẍ [ 6x x + ] = 6ẋ x x x + xgx + ω k x m Punto b Utilizziamo la trasformazione di Legendre inversa per introdurre il momento coniugato a x, p = L ẋ = mẋ [ 6x x + ] Successivamente determiniamo la funzione di Hamilton con la trasformata di Legendre: Hp, x = ẋp, xp Lx, ẋp, x = p m [6x x + ] + mgx + k mω x Il sistema dinamico hamiltoniano diventa ṗ = H x = 6p x x x + m [6x x + ] mgxx + mω kx ẋ = H p = p m [6x x + ] I suoi punti di equilibrio sono caratterizzati da p = 0 e dagli x che soddisfano mgxx + mω kx = 0 x x mω k = 0, mg 5

6 z x Figura : Grafico della curva z = x e introducendo il parametro J = k mω mg si ha x x + J = 0 x = 0, x, = ± J, dove J In definitiva i punti di equilibrio sono tre 0, 0 0, J 0, J Punto c Per discutere la stabilità dei punti di equilibrio dobbiamo calcolare il linearizzato e valutarlo nei punti di equilibrio Per semplicità lo calcoliamo ponendo già p = 0 Si ha dove A0, x = 0 V m[6x x +] 0 V = V x = mgx mω + k mg = mg x + J Il segno del determinate di A è il segno di V x Nel punto di equilibrio 0, 0 si ha V = mg J, 6

7 08 06 stabile instabile 0 0 x Figura : Diagramma di biforcazione J ed è stabile se J >, instabile se J < Nei due punti di equilibrio 0, x, 0, x si ha perciò sono stabili se J < e instabili se J > V = mg J, Punto d Il diagramma di biforcazione dei punti di equilibrio è mostrato in figura Punto e L energia potenziale, ponendo J =, diventa V x = mgx + J mgx = mg x x + Il grafico di questa funzione è mostrato in figura Per J = si hanno i due punti di equilibrio stabili 0, ± e il punto di equilibrio instabile 0, 0 Un disegno qualitativo delle orbite si può ottenere con il metodo delle curve di livello della funzione hamiltoniana, in analogia con i sistemi newtoniani conservativi C è però una differenza ora rispetto al caso newtoniano: l energia cinetica dipende sia da p che da x, infatti T p, x = p m [6x x + ] Dunque il metodo delle curve di livello permette di disegnare solo un approssimazione di queste orbite In figura si mostrano le orbite corrette e approssimate 7

8 5 Energia potenziale x Figura : Energia potenziale si è posto mg = 5 05 x p Figura : Orbite del sistema hamiltoniano nel piano p, x per J = si è posto mg = In blu le orbite corrette, in rosso quelle approssimate 8