1.9 Massimi e minimi vincolati

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1 .9 Massimi e minimi vincolati Sia K un compatto di R N e sia f : K R una funzione continua. Per il teorema di Weierstrass, f assume massimo e minimo su K. Come determinarli? Se K ha punti interni e f è di classe C, gli eventuali punti di massimo e di minimo interni a K sono da ricercare, come si sa dall Analisi I, fra i punti stazionari di f interni a K. Questo studio, tuttavia, non include gli eventuali punti di massimo o di minimo situati sulla frontiera di K. Il problema che ci poniamo qui è la ricerca del massimo e del minimo di una funzione f C A), con A aperto di R N, su un insieme compatto K A, privo di parte interna. L insieme K, sul quale naturalmente occorrerà fare qualche ipotesi, è detto vincolo, ed i valori estremi raggiunti da f su K si diranno massimi e minimi vincolati su K). Il termine vincolo indica appunto che le variabili da cui dipende f sono vincolate a muoversi dentro K. Per i nostri scopi basterà supporre che K sia una varietà m-dimensionale m < N) di classe C contenuta nell aperto A, oppure, più in generale, l unione finita di varietà di questo tipo. Esempio.9. Se K è la frontiera del quadrato di R di centro l origine e lato, allora K è l unione di quattro segmenti di lunghezza, ciascuno dei quali è una curva regolare: ad esempio il segmento di estremi, ) e, ) è descritto dalla parametrizzazione x =, y = t, con t [, ]. Definizione.9. Sia A un aperto di R N, sia f C A) e sia K una varietà m-dimensionale m < N) di classe C, contenuta in A. Un punto x 0 A si dice punto stazionario vincolato per f su K, se x 0 K e se il vettore fx 0 ) è ortogonale al piano m-dimensionale tangente a K in x 0. Teorema.9.3 Sia A un aperto di R N, sia f C A) e sia K una varietà m-dimensionale m < N) di classe C, contenuta in A. Se x 0 K è punto di massimo o di minimo relativo per f K, allora x 0 è un punto stazionario vincolato per f su K. Dimostrazione Supponiamo che K sia della forma K = gu), con U aperto di R m e g funzione di classe C con matrice Jacobiana di rango m in ogni punto di U. Sarà, in particolare, x 0 = gy 0 ), con y 0 U. Dall ipotesi fatta su x 0 segue che y 0 è punto di massimo o di minimo locale per la funzione 8

2 composta F y) = fgy)), y U. Quindi deve essere ossia D i F y 0 ) = N D j fgy 0 ))D i g j y 0 ) = 0, i =,..., m, j= fx 0 ) D i gy 0 ) = 0, i =,..., m : ciò significa che fx 0 ) è ortogonale ai vettori D gy 0 ),..., D m gy 0 ), i quali, in virtù del teorema del rango, sono i generatori del piano m-dimensionale tangente a K nel punto x 0. Ciò prova che in x 0 il vettore fx 0 ) è ortogonale a K, che è la tesi. Il teorema precedente mostra che la ricerca dei punti di massimo e di minimo di una funzione f su K va limitata ai punti stazionari vincolati. Un confronto fra i valori assunti da f in tali punti fornirà poi i valori massimo e minimo cercati. Esempio.9.4 Cerchiamo il massimo e il minimo della funzione fx, y) = e x y sulla circonferenza K di equazione x + y =, che si parametrizza ponendo x, y) = gt) = cos t, sin t) con t [ π, π]. Dobbiamo trovare il massimo e il minimo della funzione composta fcos t, sin t) = e cos t sin t, la cui derivata si annulla quando e cos t sin t sin t cos t) = 0. Ciò accade per t = ) π/4 e t = 3π/4, valori che corrispondono ai punti x, y ) =, e x, y ) =, ). Essendo g t) = sin t, cos t), in corrispondenza di questi punti si ha ) g t ) =,, g t ) =, ), mentre fx, y ) = e x y, e x y ) = e, e ), ) fx, y ) = e x y, e x y ) = e, e ; ne segue, come è giusto, che fx, y ) g t ) = 0 e fx, y ) g t ) = 0. Il massimo ed il minimo di f valgono max f = fx, y ) = e, min f = fx, y ) = e. K 83 K

3 Molto spesso la varietà K è data come nell esempio precedente) in forma di luogo di zeri di una funzione. In questo caso può essere più comodo utilizzare il metodo dei moltiplicatori, dovuto a Lagrange, che andiamo a descrivere nell enunciato che segue. Teorema.9.5 Sia A un aperto di R N, sia f C A) e sia K = {x A : Gx) = 0}, ove G : A R k k < N) è una funzione di classe C con matrice Jacobiana DGx) di rango massimo k in ogni punto x K. Allora un punto x 0 A è stazionario vincolato per f su K se e solo se esiste m 0 R k tale che x 0, m 0 ) è punto stazionario libero) in A R k per la funzione Lagrangiana Lx, m) = fx) m Gx). Dimostrazione Nelle ipotesi fatte, K è una varietà N k)-dimensionale di classe C in virtù del teorema del Dini. Sia x 0 A un punto stazionario vincolato per f: allora si ha Gx 0 ) = 0 e, per il teorema.9.3, il vettore fx 0 ) deve essere ortogonale al piano N k)-dimensionale tangente a K in x 0. Ma, essendo K una curva di livello della funzione G, i vettori normali a K in x 0 sono le righe della matrice Jacobiana DGx 0 ), ossia i vettori G x 0 ),..., G k x 0 ). Quindi fx 0 ) è combinazione lineare di tali vettori, e dunque esistono k numeri reali m,..., m k detti moltiplicatori) tali che fx 0 ) k m i G i x 0 ) = 0. i= In altre parole, il punto x 0 verifica le condizioni { Dj fx 0 ) k i= m id j G i x 0 ) = 0, j =,... N G i x 0 ) = 0, i =,..., k, le quali equivalgono, per definizione della Lagrangiana L e ponendo m 0 = m,..., m k ), all annullarsi in x 0, m 0 ) del gradiente di L rispetto alle variabili x j e m i. Viceversa, se un punto x 0, m 0 ) A R k è stazionario per la Lagrangiana, ossia soddisfa il sistema sopra scritto, allora il secondo gruppo di equazioni ci dice che x 0 K, mentre il primo gruppo esprime la lineare dipendenza di 84

4 fx 0 ) dai vettori normali a K in x 0. Ciò prova che x 0 è punto stazionario vincolato per f su K. Il teorema.9.5 ha un interpretazione geometrica. Supponiamo k =, cioè che il vincolo K sia la superficie di livello 0 di una funzione scalare G. Se consideriamo gli insiemi di livello della funzione f, ad un punto stazionario vincolato x 0 K corrisponderà il valore critico fx 0 ) = c 0 ; il teorema dice allora che, essendo i vettori fx 0 ) e Gx 0 ) paralleli, la curva di livello {x A : fx) = c 0 } è tangente nel punto x 0 al vincolo K. Gli stessi moltiplicatori hanno un loro significato geometrico, che è descritto nell esercizio.9.8. In sostanza, il metodo dei moltiplicatori riduce il problema della ricerca dei punti stazionari vincolati a quello più semplice di trovare i punti stazionari ordinari della Lagrangiana: il prezzo da pagare è che si hanno delle variabili in più i moltiplicatori). Esempi.9.6 ) Calcoliamo, con il metodo dei moltiplicatori, il massimo ed il minimo della funzione fx, y) = e x y sulla circonferenza x + y =, già determinati nell esempio.9.4. Dobbiamo cercare i punti stazionari della Lagrangiana Lx, y, m) = e x y mx + y ), Risulta Lx, y, m) = 0 se e solo se e x y mx = 0 e x y my = 0 x + y =. 85 x, y, m) R [ π, π].

5 Dalle prime due equazioni segue che m 0 e mx + y) = 0, da cui x = y. Sostituendo nella terza si trova x =, ed infine i due punti ) x, y, m ) =,, e, x, y, m ) = ),, e. Abbiamo così ritrovato i punti x, y ) e x, y ) ottenuti nell esempio.9.4. ) Sia Q il quadrato di R di centro l origine e spigolo. Vogliamo calcolare il massimo e il minimo di fx, y) = x )y su Q. Anzitutto, essendo fx, y) = xy, yx )), l unico punto stazionario interno a Q è l origine, dove si ha f0, 0) = 0. Analizziamo la situazione sulla frontiera: essa è costituita dal quattro lati T = {t, ) : t ], [}, T = {, t) : t ], [}, T 3 = {t, ) : t ], [}, T 4 = {, t) : t ], [}, e dai quattro vertici, ),, ),, ) e, ). In questo caso l uso del metodo dei moltiplicatori non è conveniente, perché è piuttosto complicato rappresentare Q come luogo di zeri di una funzione. Usiamo dunque le parametrizzazioni dei lati della frontiera sopra scritte: se poniamo f i = f Ti, i =,, 3, 4, risulta f t) f 4 t) 0, mentre f t) f 3 t) = t, f t) = t, f t) = 0 t = 0, con f 0) = f0, ) = f 3 0) = f0, ) =. Nei quattro vertici poi la f si annulla. Confrontando i valori trovati nei punti considerati, si conclude che Esercizi.9 max f = 0, min f =. Q Q. Siano a, b R non entrambi nulli. Determinare il massimo ed il minimo della funzione fx, y) = ax + by sulla circonferenza x + y =.. Sia α > 0. Determinare il massimo ed il minimo della funzione fx, y) = xy sull insieme Γ = {x, y) R : x 0, y 0, x α + y α = }. 86

6 3. Determinare il massimo ed il minimo delle funzioni seguenti sui vincoli indicati: { } i) fx, y) = x + y), K = x, y) R : x + y = ; 4 3 ii) fx, y) = 3x + y), K = {x, y) R : 4x + y = }; iii) fx, y, z) = xyz, K = {x, y, z) R 3 : max{x + y, z } = }. 4. Fra tutti i rettangoli inscritti in una data ellisse, trovare quello di area massima. 5. Determinare sulla superficie di equazione z xy = i punti più vicini all origine di R Trovare il massimo ed il minimo di fx, y) = x y sul vincolo K = {x, y) R N : x N = y N = }. 7. Sia A una matrice N N, simmetrica, a coefficienti reali, e siano λ,..., λ N gli autovalori di A, ordinati in modo decrescente. Posto fx) = Ax x per ogni x R N, si provino i fatti seguenti: i) λ = max M f, ove M = {x R N : x N = }, ed inoltre se y M realizza tale massimo, allora y è autovalore di A relativo a λ ; ii) λ = max M f, ove M = {x R N : x N =, x y = 0}, ed inoltre se y M realizza tale massimo, allora y è autovalore di A relativo a λ ; iii) similmente, per k = 3,..., N si ha λ k = max Mk f, ove M k = {x R N : x N =, x y j = 0, j =,..., k }, ed inoltre se y k M k realizza tale massimo, allora y k è autovalore di A relativo a λ k. 8. Sia A un aperto di R e siano f, g C A). Sia inoltre x 0, y 0 ) un punto stazionario vincolato per f rispetto al vincolo K = {x, y) A : gx, y) = t 0 }, con moltiplicatore m 0. Dimostrare i fatti seguenti: 87

7 i) se la Lagrangiana Lx, y, m) = fx, y) + mgx, y) t 0 ) ha matrice Hessiana non singolare nel punto x 0, y 0, m 0 ), allora esiste un intorno I di t 0 in R tale che per ogni t I il sistema f x x, y) + mg x x, y) = 0 f y x, y) + mg y x, y) = 0 gx, y) = t ha un unica soluzione xt), yt), mt)); ii) posto ct) = fxt), yt)), risulta mt) = c t) per ogni t I. Dunque m 0 = mt 0 ) è una misura di quanto il valore critico fx 0, y 0 ) è sensibile a variazioni del vincolo K rispetto al livello t = t 0. [Traccia: si applichi il teorema del Dini. Per il calcolo di c t) è utile derivare l identità gxt), yt)) = t.] 88