7.4 Massimi e minimi vincolati. Moltiplicatori di Lagrange

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1 4 7.4 Massimi e minimi vincolati. Moltiplicatori di Lagrange Sia f (,,, n ) una funzione delle n variabili,,, n, supponiamo che esse non siano indipendenti, cioè che siano legate da p < n equazioni: ϕ(,,, n ) ϕ (,,, n ) ϕ p (,,, n ) (7..) Si supponga che f, ϕ, ϕ,, ϕ n siano definite in un campo A dello spazio R n e che, in detto campo, esistano dei punti P(,,, n ) che siano soluzioni del sistema (7..). Questi punti costituiscono un insieme B A. Considerando solo la restrizione della f(,,, n ) all insieme B A, si dice che il punto Q (,,, n ) B è un punto di massimo (minimo) relativo vincolato per la f(,,, n ) se esiste un intorno I di Q B nel quale risulta: f(,,, n ) f(,,, n ) [f(,,, n ) f(,,, n )] per tutti i punti di I appartenenti a B. Se le disuguaglianze valgono per tutti i punti di B, il punto Q si dirà di massimo (minimo) assoluto vincolato. Sussiste il seguente: TEOREMA Siano f, ϕ, ϕ,, ϕ n continue insieme alle loro derivate prime in ogni punto di un campo A, e la matrice jacobiana: ϕ ϕ ϕ n ϕ ϕ ϕ (7..) n ϕp ϕp ϕp n abbia caratteristica p in ogni punto di A. In queste ipotesi se il massimo o il minimo relativo della f(,,, n ) nell insieme B, costituito dai punti soluzioni del sistema, è assunto in un punto Q interno ad A, esistono p costanti,,, p tali che la funzione: f + ϕ, ϕ,, p ϕ p abbia nel punto Q derivate parziali prime tutte nulle. Queste p costanti,,, p vengono fornite, avendo supposto la caratteristica della matrice jacobiana uguale a p in ogni punto di B, dal sistema: f p + ϕ + ϕ ϕ + p f ϕ + + ϕ ϕ p + p f p + ϕ + ϕ ϕ + p n n n n (7..)

2 Questo sistema in p incognite, con il sistema (7..), in n incognite, formano un sistema in n + p incognite che risolve completamente il problema. Se l insieme B è un compatto, per il teorema di Weierstrass, in esso la f(,,, n ) è certamente dotata di massimo e di minimo assoluto Massimi e minimi vincolati di funzioni di due variabili Quanto detto nel paragrafo precedente, per le funzioni di due variabili sottoposte ad un unico vincolo, si traduce in un procedimento di estrema semplicità. L ipotesi è che sia la funzione f(,) che il vincolo ϕ(,), nel comune dominio di esistenza, siano continue e derivabili sino al secondo ordine. Si definisce la seguente funzione detta funzione di Lagrange: L(,,) f(,) + ϕ(,) Il coefficiente è detto moltiplicatore di Lagrange. Nei punti del piano appartenenti al vincolo ϕ(,), la funzione L(,,) coincide con la f(,). Si trasforma così un problema di massimo o di minimo vincolato in due variabili in un problema di massimo o di minimo non vincolato in tre variabili. Della funzione L(,,) si ricercano i punti stazionari risolvendo il sistema: ( )+ ( ) ( )+ ( ) L f, ϕ, L f, ϕ, L ϕ (, ) Per la determinazione della natura dei punti stazionari, si ricorre al determinante hessiano relativo alla L(,,): L,, L,, L,, H(,, L (,, ) L (,, ) L (,, ) L,, L,, L,, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e si può dimostrare che se P (,, ) è un punto stazionario per la funzione di Lagrange, allora in tale punto si ha: un minimo vincolato se H(,, ) < ; un massimo vincolato se H(,, ) >. Si osservi solo che le condizioni di massimo e di minimo stabilite dallo studio del segno dell hessiano associato alla L(,,) sono diverse da quelle riferite allo studio del segno dell hessiano associato alla f(,). 7.6 Particolarizzazione del metodo di Lagrange per le funzioni di tre variabili Per le funzioni di tre variabili sottoposte ad un unico vincolo, il procedimento, rispetto a quello esposto nel precedente paragrafo, si presenta appena un po più complesso. Siano, come al solito, la funzione f(,,z) ed il vincolo ϕ(,,z), nel comune dominio di esistenza, continue e derivabili sino al secondo ordine. 7. Massimi e minimi assoluti, relativi, vincolati

3 6 Definita la funzione lagrangiana: L(,,z,) f (,,z) + ϕ(,,z) e detti H (,,z,) e H 4 (,,z,) i seguenti determinanti: L L L L L ϕ H (,, z, L L L L L ϕ L L L ϕ ϕ L L L L z L L Lz L H4 (,, z, Lz Lz Lzz Lz L L L L z L L Lz ϕ L L Lz ϕ Lz Lz Lzz ϕz ϕ ϕ ϕ z si potrebbe dimostrare che, se il punto P (,,z, ) è un punto stazionario per la funzione di Lagrange, la funzione f(,,z), nel punto P (,,z ) ha: un minimo vincolato se H (P ) < e H 4 (P ) < ; un massimo vincolato se H (P ) > e H 4 (P ) <. Ovviamente, la ricerca dei punti stazionari della funzione lagrangiana viene effettuata tramite la risoluzione del sistema: L L Lz L f (,, z)+ ϕ ( z,, ) f (,, z)+ ϕ (,, z) fz (,, z)+ ϕz ( z,, ) ϕ ( z,, ) 7.7 Esercizi su massimi e minimi vincolati di funzioni di due o tre variabili Esercizio n Determinare gli eventuali punti di massimo e di minimo relativo della funzione: z f(,) sottoposta al vincolo lineare: ϕ(,) + Essendo il vincolo lineare, la ricerca dei punti di massimo e di minimo vincolato risulta estremamente semplice. Dall equazione del vincolo si esplicita una variabile in funzione dell altra e, sostituendola nell espressione della funzione data, si ottiene una funzione in una sola variabile. Dunque, se i punti ricercati esistono, vanno individuati tra le soluzioni del sistema: z + + z z

4 A questo punto si deve studiare la funzione ottenuta z , cioè: 7 dz d dz 8< d I risultati dicono che il punto è un punto di massimo relativo per la funzione ottenuta dal sistema. 4 Sostituendo il valore 4 nell espressione del vincolo si ottiene. In conclusione, la funzione data, sotto il vincolo assegnato, presenta nel punto, 4 un massimo relativo vincolato. Esercizio n Determinare gli eventuali punti di massimo e di minimo relativo della funzione: z f(,) + sottoposta al vincolo non lineare rappresentato dalla funzione: ϕ(,) Per la ricerca dei valori massimo e minimo della funzione si consideri il generico piano parallelo al piano coordinato caratterizzato dall equazione z k. Questo piano intercetta sulla superficie della funzione assegnata z + una curva γ che, nel caso in esame è una retta, data dal seguente sistema: z + z k + k L espressione ottenuta rappresenta la proiezione sul piano della suddetta curva γ. Quest ultima, in corrispondenza dei punti di massimo e minimo, è tangente alla curva che rappresenta la funzione sottoposta al vincolo assegnato. Ne segue che anche le proiezioni di γ, + k, sul piano, sono tangenti alla proiezione sul piano della curva che rappresenta la funzione vincolata, la quale coincide con la curva che rappresenta il vincolo. I punti di tangenza sono, pertanto, dati dal seguente sistema: ( ) k + k 4k + k + k Imponendo, poi, la condizione di tangenza (discriminante nullo dell equazione di secondo grado) si ha: k + 8k + k 4 k 4+ Sostituendo i valori di k e k nelle equazioni della funzione e del vincolo, si determinano, così, i punti di massimo e di minimo vincolati. 7. Massimi e minimi assoluti, relativi, vincolati

5 8 Esercizio n Determinare gli eventuali punti di massimo e di minimo della funzione: z f(,) + sottoposta al vincolo non lineare rappresentato dalla funzione: ϕ(,) + 5 Si consideri la funzione di Lagrange associata: ( ) ( )+ ( ) + + ( + 5) L,, f, ϕ, Se ne determinino le derivate parziali prime: ( ) + 5 ϕ, I punti stazionari della L(,,) sono dati dalle soluzioni del sistema: L (,, L (,, L (,, ( + ) e + e e e ± 5 ± ± 4 In definitiva, i punti stazionari della funzione di Lagrange sono: P 5,, P 5 P ;,, ;,, ;,, P 4 Le derivate parziali seconde della funzione L(,,) sono: ed il determinante hessiano vale: L L L (,, (,, (,, (,, ) (,, ) ( + ) (,, L L L L (,, L (,, L (,, ( ) L (,, ) L (,, ) L,, H(,, L (,, ) L (,, ) L (,, ) ( + ) 8 ( + )+ L,, L,, L,, ( ) ( ) ( )

6 Per ogni punto stazionario si ha quindi, per la L(,,): 9 H 5,, 8 < punto di minimo relativo H,, < punto di minimo relativo H 98 > punto di massimo relativo H 98 > punto di massimo relativo In conclusione, può dirsi che la f(,) ha in ciascuno dei punti: ( 5,) e (5,) un minimo vincolato;,, e un massimo vincolato. Esercizio n Determinare i punti di massimo e di minimo assoluto della funzione: z f(,,z) sottoposta al vincolo non lineare rappresentato dalla funzione: ϕ(,) + Si consideri la funzione lagrangiana associata: L(,,) f(,) + ϕ(,) ( + ) se ne determinino le derivate parziali prime: ( ) ϕ, + I punti stazionari sono dati dalle soluzioni del sistema: L (,, L (,, L (,, ( ± e 4 e ± + ± 7. Massimi e minimi assoluti, relativi, vincolati

7 pertanto, i punti critici della L(,,) sono: P,, ; P,, ; P,, ; P Le derivate parziali seconde della funzione L(,,) sono: ( ) (,, ) 4 L,, 6 L,, 8 L (,, L L L (,, L L (,, ( ) + ( ) (,, ) 8 (,, ) 8 + (,, (,, L Il determinante hessiano è espresso da: ( ) L (,, ) L (,, ) L,, H(,, L (,, ) L (,, ) L (,, ) L,, L,, L,, e nei quattro punti critici vale: ( ) ( ) ( ) H 7,, < H,, 9 6 > 8 8 H (,, ) 8 H (,, ) 8 Questi risultati dicono che il punto (,) è un punto di minimo relativo vincolato per la f(,); il punto (,) è un punto di massimo relativo vincolato per la f(,). Per i punti (,) e (, ) nulla può dirsi. Per avere, quindi maggiori informazioni, bisogna approfondire l indagine studiando localmente la funzione sottoposta al vincolo dato, ovverosia bisogna studiare la restrizione della funzione assegnata all insieme di punti costituenti il vincolo. Si ricavi, ad esempio, dall espressione del vincolo e la si sostituisca nell espressione della funzione: si ha: z f(,) + 4( ) 4 dz dz dz 9 ; 8; 8 d d d da cui è facile, invocando le conoscenze sulle funzioni di una variabile reale, riconoscere che il punto: ( ±) per la funzione z(), è un punto di flesso. Quindi, tali sono, pertanto anche, i punti (,) e (, ) per la f(,).

8 Esercizio n Determinare i punti di massimo e di minimo assoluto della funzione: z f(,) sen + sen sotto la condizione: ϕ(,) cos cos + Si consideri la funzione lagrangiana associata: L(,,) f(,) + ϕ(,) sen + sen + (cos cos + ) se ne determinino le derivate parziali prime: cos sen cos sen (, ) c ϕ os cos + I punti stazionari sono dati dalle soluzioni del sistema: L (,, L (,, L (,, cos sen cos + sen cos cos cos sen cos sen cos cos Si osservi che non può essere soluzione del sistema perché ciò implicherebbe, per le prime due equazioni, cos e cos e, di conseguenza, non sarebbe soddisfatta la terza, quindi, cos e cos. Assodato ciò, è lecito proseguire, effettuando i seguenti passaggi: cos sen cos sen cos cos tan tan tan tan ± + tan + tan + + tan tan tan tan tan tan tan e tan ± + π π + nπ + nπ π π + mπ e + mπ con m, n Z 7. Massimi e minimi assoluti, relativi, vincolati

9 Avendo eseguito un elevamento al quadrato, bisogna verificare che effettivamente le soluzioni trovate soddisfino il sistema di partenza. Si trova, così, che solo le terne fornite dal secondo insieme determinato, soddisfacendo la terza equazione cos cos, sono soluzioni del sistema: π + nπ π + m m n Z π con, Le derivate parziali seconde della funzione L(,,) sono: L (,, sen cos L (,, L (,, sen L,, L,, sen + cos L (,, sen ( ) ( ) L (,, sen L,, sen L,, Il determinante hessiano è espresso da: ( ) ( ) ( ) sen cos sen H(,, ( sen + cos ) sen sen ( sen cos )+ sen sen + cos sen sen ( ) e nei punti critici vale: π π H n m + π π +,, > Si può, in forza di questo risultato, concludere che i punti: π π + π π n ; + m per la funzione assegnata, sono dei punti di massimo relativo vincolato. Esercizio n Determinare i punti di massimo e di minimo assoluto della funzione: sotto le condizioni: z f(,) + + z e + z 5 La funzione è definita in tutto lo spazio euclideo, cioè A R. Ha senso, quindi, l imposizione delle condizioni citate. Il vincolo è costituito dall intersezione tra la superficie sferica di centro (,,) e raggio r 5 ed il piano + z, per cui è una circonferenza. Esso è un compatto e, per il teorema di Weierstrass, la funzione è in esso dotata di massimo e di minimo assoluto.

10 Posto: ϕ si consideri la funzione lagrangiana associata: 5, z ϕ e, z ( ) + + ( ) + L,, f, ϕ, ϕ, ( ) ( )+ ( )+ ( ) z z + ( + ) se ne determinino le derivate parziali prime: z z l z + z I punti critici sono dati dalle soluzioni del sistema: + + z z + z z z z z ± ± ± + z si hanno, perciò, per la L(,,z,, ) due punti critici: P P,,,, e,,,, A questo punto, è assolutamente banale stabilire che per la funzione z f(,,z), il punto: avente ascissa è il punto di minimo cercato; avente ascissa è il punto di massimo cercato. Esercizio n Determinare i punti di massimo e di minimo assoluto della funzione: z f(,) e + e sotto la condizione: + La funzione data è definita in tutto il piano cartesiano, cioè A R. Ha senso, quindi, l imposizione della condizione citata. Posto ϕ(,) +, si consideri la funzione lagrangiana associata: L(,,) f(,) + ϕ(,) e + e + ( + ) 7. Massimi e minimi assoluti, relativi, vincolati

11 4 Le derivate parziali prime sono: + + e e + I punti critici della funzione lagrangiana sono dati dalle soluzioni del sistema: e + e + + e e e + + e + e quindi, costituite dall unico punto (,, e). Le derivate parziali seconde sono: Il determinante hessiano è espresso da: L e L L L L e L L L L e H(,, e ( e + e )< Si può, in forza di questo risultato, concludere che il punto (,) è un punto di minimo relativo vincolato. Esercizio n Assegnata la funzione: u f(,,z) + + z se ne determinino i punti di massimo e di minimo relativo sotto la condizione: + + z La funzione f(,,z) è definita in tutto lo spazio euclideo, cioè A R. Ha, quindi, senso l imposizione della assegnata condizione, la quale è costituita dai punti appartenenti alla superficie della sfera avente raggio r e centro nell origine (,,). Posto ϕ(,,z) + + z, si consideri la funzione lagrangiana associata: ( ) ( )+ ( ) ( + + z ) Lz,,, f z,, ϕ z,, z e se ne determinino le derivate parziali prime: z z z ϕ,, + + z ( )

12 I punti stazionari della L(,,z,) sono dati dalle soluzioni del sistema: 5 L (,, z, L (,, z, Lz (,, z, L (,, z, z + + z z 4 z ± costituite dai due punti P,,, e P,,, Le derivate parziali seconde della funzione L(,,) sono: (,,, (,,, z (,,, (,,, (,, z, L ( z,,, Lz ( z,,, L ( z,,, z (,,, z (,,, z z(,,, z (,,, (,, z, L (,, z, L (,, z, z L z,,, L z L z L z L z L L z L z L z L z z L ( ) ed i determinanti H (,,z,) ed H 4 (,,z,) sono espressi, rispettivamente, da: z. L L ϕ H (,, z, L L ϕ ϕ ϕ 8 + ( ) L L L ϕ z L L Lz ϕ H4 (,, z, L L L ϕ z z zz ϕ ϕ ϕ z + + z z z ( ) 6 che, nei punti stazionari P,,, e P,,, 8 H( P) 8 ( + )8 + < H4( P) 6 ( + )< 8 H( P) 8 ( + )8 + > H4( P) 6 ( + )<, valgono: il che permette di concludere che, per la f(,,z), il punto,, è un punto di minimo vincolato, e il punto,,, invece, di massimo vincolato. 7. Massimi e minimi assoluti, relativi, vincolati

13 6 Esercizio n Assegnata la funzione: u f(,,z) ln + ln + zlnz se ne determinino i punti di massimo e di minimo relativo sotto la condizione: + + z 9 Affinché la funzione f(,,z) abbia senso deve verificarsi > ; > ; z >, cioè il campo di definizione è A (,, z) : >, >, z >. Ha, quindi, senso la condizione imposta. { } È facile convincersi che tale vincolo è costituito dai punti appartenenti al triangolo disposto nello spazio ed avente i vertici nei punti A(9,,); B(,9,); C(,,9). Quanto esposto, a maggior chiarimento, è illustrato nella seguente figura. z (,,9) (,9,) (9,,) Posto ϕ(,,z) + + z 9, si consideri la funzione lagrangiana associata: ( ) ( )+ ( ) + + z+ ( + + z 9) Lz,,, f z,, ϕ z,, ln ln zln e se ne determinino le derivate parziali prime: ln ln lnz z ϕ (, z, ) + + z 9 I punti stazionari della L(,,z,) sono dati dalle soluzioni del sistema: L (,, z, ln + + L (,, z, ln + + Lz (,, z, lnz + + L (,, z, + + z 9 costituite dall unico punto P(,,, ln). e e z e e z ln