Matematica con elementi di Informatica

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1 Funzioni a più variabili Matematica con elementi di Informatica Tiziano Vargiolu Dipartimento di Matematica vargiolu@math.unipd.it Corso di Laurea Magistrale in Chimica e Tecnologie Farmaceutiche. () Funzioni a più variabili. 1 / 35

2 Introduzione La maggior parte delle funzioni che si incontrano nelle applicazioni sono definite in un sottoinsieme di R n. Esempio. Consideriamo un impianto industriale per la produzione di farmaci. Il tasso di farmaci prodotti per unità di tempo è proporzionale a π, detta funzione di produzione. Allora si possono verificare diversi casi: π 1 : [0, + ) R ovvero x π 1 (x) nel processo di produzione è presente un solo fattore. π 2 : [0, + ) [0, + ) R ovvero (x, y) π 2 (x, y) nel processo di produzione sono presenti due fattori (es. forza lavoro e principio attivo). Esempio. Funzione di produzione di Cobb Douglas Π(L, K ) (concavità rendimenti di scala decrescenti) π 1 (x) = x a a (0, 1) π 2 (x, y) = x a y b a, b (0, 1) Π (L, K ) = L a K b L, K (0, 1) () Funzioni a più variabili. 2 / 35

3 Cobb Douglas () Funzioni a più variabili. 3 / 35

4 Legge di stato dei gas perfetti PV = nrt P = pressione di un gas perfetto V = volume della regione in cui si trova il gas n = massa del gas (grammomolecole) R = costante universale 8.31 J mol 1 K 1 T = temperatura assoluta m = peso molecolare ρ = nm/v, densità r = R/m P = nmrt Vm = ρrt P : [0, + ) [0, + ) R P(ρ, T ) = rρt () Funzioni a più variabili. 4 / 35

5 Studio di funzione Quali passi dello studio di funzione si possono analizzare quando si affrontano funzioni a più variabili? Dominio, l insieme dei punti per i quali è possibile calcolare la funzione, è un sottoinsieme di R n Insiemi di livello (segno), rappresentano sottoinsiemi del dominio sui quali il valore della funzione è costante (sono l immagine inversa di un fissato valore/livello rispetto alla funzione) Differenziabilità, l insieme dei punti dove la funzione è differenziabile (e quindi anche continua) Massimi e minimi locali, gradiente e matrice hessiana () Funzioni a più variabili. 5 / 35

6 Studio di funzione Nel seguito ci concentreremo su funzioni a due variabili perchè contengono tutte le difficoltà caratteristiche dell aumento di dimensione del dominio permettono di visualizzare i risultati aiutando quindi l intuizione () Funzioni a più variabili. 6 / 35

7 Dominio Attenzione in particolare a: denominatori es. f (x, y) = 1/g (x, y) richiede g (x, y) = 0 logaritmi es. f (x, y) = ln (g (x, y)) richiede g (x, y) > 0 radici es. f (x, y) = g (x, y) richiede g (x, y) 0 () Funzioni a più variabili. 7 / 35

8 Dominio Per le funzioni di due variabili è possibile disegnare sul piano il dominio della funzione (che è un sottoinsieme di R 2 ) Per farlo può essere utile saper individuare i punti che soddisfano equazioni del tipo g (x, y) = 0 e/o g (x, y) > 0 I due modi più semplici per ottenere tale informazione sono: esplicitare una delle variabili in funzione dell altra g (x, y) = 0 y = h (x), oppure g (x, y) = 0 x = k (y) riconoscere nell espressione g (x, y) = 0 un luogo geometrico come circonferenza, parabola, iperbole,... () Funzioni a più variabili. 8 / 35

9 Circonferenze, parabole, iperboli Circonferenza di centro (x 0, y 0 ) e raggio r (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2 (si può trovare scritta anche nella forma x 2 + y 2 + αx + βy + γ = 0 dove x 0 = α/2, y 0 = β/2, r 2 = α 2 /4 + β 2 /4 γ > 0) Iperbole con asintoto orizzontale y = a/c e verticale x = d/c y = ax b cx d Parabola con asse parallelo all asse y y = ax 2 + bx + c () Funzioni a più variabili. 9 / 35

10 Esempi Disegnare il dominio delle seguenti funzioni f (x, y) = ln (4 x 2 (y 1) 2) g (x, y) = x 2 4x + 3 y h (x, y) = x 2 + y 2 x y + 1 k (x, y) = ln ((x 1) y 1) () Funzioni a più variabili. 10 / 35

11 Grafico di una funzione di due variabili {(x, y, z) R 3 (x, y) Domf, z = f (x, y)} () Funzioni a più variabili. 11 / 35

12 Insiemi di livello Data la funzione f (x, y) gli insiemi di livello k sono tutti i sottoinsiemi del dominio che si possono ottenere risolvendo l equazione Il livello k può variare in R. In altre parole, l insieme di livello f (x, y) = k Γ k (f ) = {(x, y) Dom f f (x, y) = k} rappresenta l immagine inversa (antiimmagine) del valore k mediante la funzione f. Per alcune funzioni particolarmente facili si possono calcolare esplicitamente e forniscono un idea del grafico della funzione () Funzioni a più variabili. 12 / 35

13 Insiemi / curve di livello: applicazioni Isobare Isoutilità Isoquanti di produzione... () Funzioni a più variabili. 13 / 35

14 Esempio f (x, y) = ln (4 x 2 (y 1) 2) () Funzioni a più variabili. 14 / 35

15 Definizione Una funzione è differenziabile se è possibile approssimarla localmente con una funzione lineare affine. Per funzioni di una sola variabile questa richiesta è equivalente alla derivabilità. Per funzioni di due variabili stiamo richiedendo che esista un piano tangente, ma come facciamo ad assicurarci che questo piano esista? () Funzioni a più variabili. 15 / 35

16 Derivate direzionali Fissiamo un punto (x, y) ed un versore (v x, v y ) (vettore di norma 1) e limitiamoci a considerare la funzione lungo la retta h (x, y) + h (v x, v y ) al variare di h R. Se chiamiamo g(h) = f ((x, y) + h(v x, v y )) allora ovvero g (0) = D v f (x, y) f ((x, y) + h (v x, v y )) f (x, y) lim = D v f (x, y) h 0 h D v f (x, y) si chiama derivata direzionale di f lungo la direzione v. () Funzioni a più variabili. 16 / 35

17 Derivate parziali Fissiamo un punto (x, y) e i due vettori (1, 0) e (0, 1) allora: f ((x, y) + h (1, 0)) f (x, y) lim h 0 h lim h 0 f (x + h, y) f (x, y) h f ((x, y) + h (0, 1)) f (x, y) lim h 0 h lim h 0 f (x, y + h) f (x, y) h = = f (x, y) x = = f (x, y) y queste vengono chiamate derivate parziali lungo le direzioni x e y, rispettivamente. Per calcolare la derivata parziale rispetto a x basta derivare la funzione rispetto a x, trattando la y come se fosse una costante. () Funzioni a più variabili. 17 / 35

18 Differenziabilità Affinché una funzione sia differenziabile in un punto (x, y), le derivate direzionali dovranno: esistere rispetto a qualunque direzione (v x, v y ); essere in accordo tra loro ovvero generare lo stesso piano tangente. Condizioni sufficienti affinché questo accada è che: esistano f f x (x, y), y (x, y); esse siano funzioni continue. () Funzioni a più variabili. 18 / 35

19 Derivabilità e differenziabilità Se una funzione f : R R è differenziabile in un punto x 0, allora: funzione x f (x); derivata f x (x 0) = m 0 ; differenziale h m 0 h; funzione lineare affine approssimante x f (x 0 ) + m 0 (x x 0 ) () Funzioni a più variabili. 19 / 35

20 Derivabilità e differenziabilità Se una funzione f : R 2 R è differenziabile in un punto (x 0, y 0 ), allora: funzione (x, y) f (x, y); derivate parziali f x (x 0, y 0 ) = a 0 differenziale (h x, h y ) (a 0, b 0 ) ( hx h y f y (x 0, y 0 ) = b 0 ; ) = a 0 h x + b 0 h y ; funzione lineare affine approssimante ( ) x x0 (x, y) f (x 0, y 0 ) + (a 0, b 0 ) y y 0 () Funzioni a più variabili. 20 / 35

21 Gradiente Il vettore (riga) (a 0, b 0 ) viene anche detto gradiente della funzione nel punto (x 0, y 0 ) e indicato come ( f f (x 0, y 0 ) = x (x 0, y 0 ), f ) y (x 0, y 0 ) è la matrice caratteristica del differenziale (che sappiamo essere un applicazione lineare da R 2 in R). Il gradiente in (x, y) è nella direzione di massima pendenza (in salita), ed è proporzionale alla pendenza. () Funzioni a più variabili. 21 / 35

22 Punti stazionari Vengono definiti stazionari i punti dove il differenziale è l applicazione lineare identicamente nulla. f : R R, il suo differenziale è nullo se e solo se f x (x 0) = 0 f : R 2 R, il suo differenziale è nullo se e solo se ( f f (x 0, y 0 ) = x, (x 0, y 0 ), f ) y (x 0, y 0 ) = (0, 0) I massimi e minimi locali di una funzione regolare vanno cercati tra i punti stazionari (condizione necessaria). () Funzioni a più variabili. 22 / 35

23 Esempio f (x, y) = ln (4 x 2 (y 1) 2) () Funzioni a più variabili. 23 / 35

24 Esempio g (x, y) = x 2 4x + 3 y () Funzioni a più variabili. 24 / 35

25 Esempio h (x, y) = x 2 + y 2 x y + 1 () Funzioni a più variabili. 25 / 35

26 Esempio k (x, y) = ln ((x 1) y 1) () Funzioni a più variabili. 26 / 35

27 Sviluppo di Taylor Se una funzione f : R R è differenziabile due volte in un punto x 0, allora f (x) f (x 0 ) + f x (x 0) (x x 0 ) f 2 x 2 (x 0) (x x 0 ) Se x 0 è stazionario allora f (x) f (x 0 ) f x 2 (x 0) (x x 0 ) Da qui si ricavavano condizioni per i massimi e i minimi di f. Come generalizzare il concetto di derivata seconda in più variabili? () Funzioni a più variabili. 27 / 35

28 Matrice Hessiana Se una funzione f : R 2 R è differenziabile due volte in un punto (x 0, y 0 ), allora chiamiamo matrice Hessiana 2 f (x x 2 0, y 0 ) 2 f x y (x 0, y 0 ) 2 f (x 0, y 0 ) = 2 f y x (x 0, y 0 ) 2 f y 2 (x 0, y 0 ) () Funzioni a più variabili. 28 / 35

29 Sviluppo di Taylor Se una funzione f : R 2 R è differenziabile due volte in un punto (x 0, y 0 ), allora ( x x0 f (x, y) f (x 0, y 0 ) + f (x 0, y 0 ) y y 0 Se (x 0, y 0 ) è stazionario allora 1 2 (x x 0, y y 0 ) 2 f (x 0, y 0 ) ) + ( x x0 y y 0 ) +... f (x, y) f (x 0, y 0 ) + 1 ( 2 (x x 0, y y 0 ) 2 x x0 f (x 0, y 0 ) y y 0 ) +... () Funzioni a più variabili. 29 / 35

30 Segnatura, definizione Data una matrice A quadrata n n e simmetrica (A = A T ) diremo che questa è semidefinita positiva: v R n accade che v T Av 0 semidefinita negativa: v R n accade che v T Av 0 definita positiva: v R n se v = 0 accade che v T Av > 0 definita negativa: v R n se v = 0 accade che v T Av < 0 indefinita: esistono v, w R n tali che v T Av > 0 e w T Aw < 0 () Funzioni a più variabili. 30 / 35

31 Matrice Hessiana Dato (x 0, y 0 ) stazionario per f : se 2 f (x 0, y 0 ) è definita positiva allora (x 0, y 0 ) è minimo locale stretto; se 2 f (x 0, y 0 ) è definita negativa allora (x 0, y 0 ) è massimo locale stretto; se 2 f (x 0, y 0 ) è indefinita allora (x 0, y 0 ) non è nè massimo locale, nè minimo locale. ( ) x x0 f (x, y) f (x 0, y 0 ) + (x x 0, y y 0 ) }{{} 2 f (x 0, y 0 ) +... }{{} y y 0 v T A }{{} v () Funzioni a più variabili. 31 / 35

32 Minori Data una matrice A quadrata n n e simmetrica (A = A T ) chiamiamo minore di ordine k: i determinanti delle matrici quadrate contenute in A che si ottengono cancellando n k righe e n k colonne minore principale di ordine k: i determinanti delle matrici quadrate contenute in A che si ottengono cancellando n k righe e le stesse n k colonne minore principale di guida di ordine k: minore principale di ordine k: i determinanti delle matrici quadrate contenute in A che si ottengono cancellando le ultime n k righe e le ultime n k colonne () Funzioni a più variabili. 32 / 35

33 Segnatura e minori Data una matrice A quadrata n n condizioni necessarie e sufficienti affinché questa sia semidefinita positiva: tutti i minori principali siano 0 semidefinita negativa: tutti i minori principali di ordine dispari siano 0 e di ordine pari siano 0 definita positiva: tutti i minori principali di guida siano > 0 definita negativa: tutti i minori principali di guida di ordine dispari siano < 0 e di ordine pari siano > 0 indefinita se non è nè semidefinita positiva e neppure semidefinita negativa () Funzioni a più variabili. 33 / 35

34 Esercizi f (x, y) = ln ( 9 (x 1) 2 (y 2) 2) f (x, y) = exp ( 2x 2 + y 2 + xy + x + 2y + 1 ) f (x, y) = x 2 + y f (x, y) = ln (1 xy) f (x, y) = xy/ ( x 2 + y 2), senza analisi dell hessiana () Funzioni a più variabili. 34 / 35

35 Ottimizzazione vincolata Ottimizzazione vincolata Punti regolari per il vincolo Teorema dei moltiplicatori di Lagrange Esistenza + condizioni necessarie () Funzioni a più variabili. 35 / 35