Compito di Meccanica Razionale

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1 Compito di Meccanica Razionale Corso di Laurea in Ingegneria Aerospaziale 18 Settembre 27 usare fogli diversi per esercizi diversi) Primo Esercizio In un piano si fissi un sistema di riferimento Oxy. Un disco di raggio r rotola senza strisciareall interno di un anello di raggior > r il quale a sua volta rotola senza strisciare sull asse Ox. y C O s P θ Q x Sia C il centro dell anelloeqil punto di contatto tra l anelloed il disco. Usando come coordinatel ascissasdi C e l angoloθ tra il segmento CQ e l asseoy vedi figura), a) determinare la velocità angolare dell anello; b) determinare la velocità angolare del disco; c) calcolare le coordinate del centro istantaneo di rotazione C 0 del disco. Secondo Esercizio In un piano verticale si fissi un sistema di riferimento Oxy con asse Oy verticale ascendente. In tale piano si consideri il moto di un corpo rigido discreto formato da tre punti materiali A,B,C di uguale massa m posti ai vertici di un triangolo equilatero di lato l. Il punto A può scorrere sull asse Ox considerato un vincolo liscio. Sul punto B agisce la forza costante Fê 1, dove F > 0 e ê 1 è il versore dell asse Ox. Il punto C è collegato all asse Oy da una molla di costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla che si mantiene parallela all asse Ox vedi figura). Sul sistema agisce anche la forza di gravità, di accelerazione g. Usando come coordinate lagrangiane l ascissa s del punto A e l angolo θ che il lato AB forma con l asse Ox a) trovare le coordinate dei punti A,B,C in funzione di s,θ; b) scrivere l energia cinetica del corpo rigido; c) scrivere le componenti del vettore delle forze attive) generalizzate Q = Q s,q θ ); 1

2 y B Fê k C θ O s A x d) scrivere l energia potenziale delle forze attive. Terzo Esercizio InunpianoverticalesifissiunsistemadiriferimentoOxy esiconsideriilsistema meccanico formato da due punti materiali P 1,P 2 di massa m vincolati a scorrere senza attrito l uno sul bordo di una guida circolare di raggio R e centro in O e l altro lungo l asse Ox. I punti P 1,P 2 sono collegati da una molla di costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla. Sul sistema agisce anche la forza di gravità, di accelerazione g. y P 1 O θ s P 2 x Per descrivere le configurazioni del sistema si usi l angolo θ formato dal segmento OP 1 con l asse Ox e l ascissa s del punto P 2 vedi figura). a) Trovare le configurazioni di equilibrio del sistema; b) discutere la stabilità di tali configurazioni al variare dei parametri m, g, k, R; c) assumendo che mg < kr, calcolare le frequenze proprie delle piccole oscillazioni attorno alle configurazioni di equilibrio stabili. 2

3 Soluzioni Primo Esercizio a) Introduciamo il sistema di riferimento Oê 1 ê 2 ê 3, con le direzioni e i versi di ê 1 ed ê 2 dati dagli assi Ox e Oy, rispettivamente, ed ê 3 = ê 1 ê 2. Siano x P = se 1, x C = se 1 +Re 2 le coordinate del punti P,C. La velocità angolare dell anello è della forma ω a = ω a ê 3, ω a R. Calcoliamo la componente ω a con la formula fondamentale della cinematica rigida applicata ai punti P, C: v P = v C +ω a e 3 x P x C ). Essendoci puro rotolamento v P = 0 e si ottiene ω a = ṡ R. b) Sia G il centro di massa del disco, le coordinate dei punti Q,G sono x Q = s+rsinθ)e 1 +R Rcosθ)e 2, x G = [s+r r)sinθ]e 1 +[R R r)cosθ]e 2. La velocità angolare del disco è della forma ω d = ω d ê 3, ω d R. Calcoliamo la componente ω d con la formula fondamentale della cinematica rigida applicata ai punti Q,G: v Q = v G +ω d e 3 x Q x G ). Usando l ipotesi di puro rotolamento la velocità di Q è Si ottiene infine v Q = v P +ω a e 3 x Q x P ) = ṡ1 cosθ)e 1 ṡsinθe 2. ω d = ṡ r θr r). r c) La posizione del centro istantaneo di rotazione del disco è data da C 0 O = C 0 Q)+Q O), dove C 0 Q = ω d v Q ω 2 d rṡ = ṡ+r r) θ [sinθê 1 +1+cosθ)e 2 ]. 3

4 Secondo Esercizio a) Le coordinate dei punti A,B,C sono le seguenti: x A,y A ) = s,0), x B,y B ) = s+lcosθ,lsinθ), x C,y C ) = s+lcosθ + π 3 ),lsinθ + π ) 3 ) = s+ l 2 cosθ 3sinθ), l ) 2 sinθ + 3cosθ). b) L energia cinetica del corpo rigido è data dalla somma delle energie cinetiche dei 3 punti che lo compongono. Le velocità di questi punti sono ẋ A,ẏ A ) = ṡ,0), ẋ B,ẏ B ) = ṡ l θsinθ,l θcosθ), ẋ C,ẏ C ) = ṡ l 2 θsinθ+ 3cosθ), l 2 θcosθ 3sinθ)). per cui T = 1 2 m 3ṡ 2 +2l 2 θ2 l3sinθ + 3cosθ)ṡ θ ). c) La mappa che ci fornisce le configurazioni del sistema in funzione delle coordinate s,θ è χ = χ A,χ B,χ C ) = x A,y A,x B,y B,x C,y C ). Per scrivere le componenti delle forze generalizzate calcoliamo le derivate di χ A,χ B,χ C rispetto a s,θ. Siano e 1 = 1,0) T,e 2 = 0,1) T. Troviamo che χ A s = χ B s = χ C s = e 1, χ A θ = 0, χ B θ = lsinθe 1 +lcosθe 2, χ C θ = l 2 sinθ 3cosθ)e 1 + l 2 cosθ 3sinθ)e 2. Inoltre le forze attive che agiscono sui punti A,B,C hanno rispettivamente coordinate Si ottiene quindi che F A = mge 2, F B = mge 2 +Fe 1, F C = mge 2 k s+ l ) 2 cosθ 3sinθ) e 2. Q s = F A χ A s +F B χ B s +F C χ C s = F k s+ l ) 2 cosθ 3sinθ), Q θ = F A χ A θ +F B χ B θ +F C χ C θ = Flsinθ mg 3 2 l 3cosθ sinθ)+k l 2 4 s+ l ) 2 cosθ 3sinθ) sinθ + 3cosθ).

5 d) L energia potenziale delle forze attive è Vs,θ) = mgy B +y C ) Fx B kx2 C 3 = mgl 2 3sinθ +cosθ) Fs+lcosθ)+ k s+ l 2. 3sinθ)) 2 2 cosθ Terzo Esercizio a) Le coordinate dei punti P 1,P 2 sono { x1 = Rcosθ y 1 = Rsinθ { x2 = s y 2 = 0 per cui l energia potenziale della forza peso e della forza elastica è Vθ,s) = mgy k[x 1 x 2 ) 2 +y 1 y 2 ) 2 ] = mgrsinθ+ 1 2 ks2 +R 2 2sRcosθ). Le configurazioni di equilibrio sono date dai punti stazionari di V, soluzioni del sistema V = mgrcosθ+ksrsinθ = 0, θ 1) V s = ks Rcosθ) = 0. Usando s = Rsinθ nella prima equazione si ottiene Se cosθ = 0 si hanno le configurazioni di equilibrio Se invece sinθ = mg kr Rcosθmg +krsinθ) = 0. 2) θ,s) = π 2,0),3π 2,0). mg < kr) si hanno le configurazioni di equilibrio θ,s) = arcsinj,r 1 J 2 ),arcsinj π, R 1 J 2 ), dove abbiamo introdotto per comodità il parametro J = mg kr. b) Per studiare la stabilità degli equilibri calcolo la matrice hessiana V dell energia potenziale. Si ha 2 V = mgrsinθ +ksrcosθ, θ2 2 V θ s = krsinθ, 2 V θ2 2 = k, da cui V π [ ] mgr kr 2,0) =, V kr k 3π [ ] mgr kr 2,0) = kr, kr k V arcsinj,r 1 J 2 ) = V arcsinj π, R [ kr 1 J 2 2 mg ) = mg k Concludo che ]. 5

6 detv π 2,0) = krmg + kr) < 0 per cui ci deve essere un autovalore negativo, quindi θ,0) = π 2,0) è instabile; detv 3π 2,0) = krmg kr) e trv 3π 2,0) = mgr + k > 0 per cui θ,s) = 3π 2,0) è stabile se mg > RK cioè se J > 1) per il Teorema di Lagrange-Dirichlet; Se J < 1 la matrice V 3π 2,0) ha un autovalore negativo e trv 3π 2,0) = mgr+k > 0 per cui θ,s) = 3π 2,0) è instabile; detv arcsinj,r 1 J 2 ) = k 2 R 2 m 2 g 2 etrv arcsinj,r 1 J 2 ) = kr 2 +k > 0percuiθ,s) = arcsinj,r 1 J 2 ),arcsinj π, R 1 J 2 ) sono stabili per J < 1 quando esistono sono stabili) per il Teorema di Lagrange-Dirichlet. c) Le frequenze proprie sono ω 1 = λ 1, ω 2 = λ 2, dove λ 1,λ 2 sono le soluzioni dell equazione secolare ed detv θ, s) λa θ, s)) = 0 A = è la matrice cinetica. Abbiamo quindi [ mr m detv θ, s) λa) = R 2 k λm) 2 m 2 g 2 = 0, ] le cui soluzioni sono λ 1 = kr+mg mr, λ 2 = kr mg mr. 6