Esercitazioni di Meccanica Razionale

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1 Esercitazioni di Meccanica Razionale a.a. 00/003 Grandezze cinetiche Maria Grazia Naso Dipartimento di Matematica Università degli Studi di Brescia Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 00/003 - Grandezze cinetiche - c 003 M.G. Naso p.1

2 Esercizio 1. Nel riferimento cartesiano ortogonale Oxyz si consideri un sistema materiale (Figura 1) costituito da tre aste omogenee OA, OB, OC, ciascuna di massa m e lunghezza L, saldate in O in modo che AÔB = AÔC = BÔC = π. Il sistema è incernierato in O in modo tale che l estremo C si mantenga sull asse z, mentre gli estremi A e B appartengono al piano Oxy. Il sistema materiale è posto in rotazione uniforme, con velocità angolare ω attorno all asse z. Si chiede di determinare: (a) l energia cinetica T, (b) il momento della quantità di moto K O, rispetto al polo O, del sistema materiale. Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 00/003 - Grandezze cinetiche - c 003 M.G. Naso p.

3 z z C ω PSfrag replacements B y O y x A x Figura 1: Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 00/003 - Grandezze cinetiche - c 003 M.G. Naso p.3

4 Risoluzione. I metodo: Calcoliamo la matrice d inerzia del corpo rigido rispetto al riferimento Ox y z (Figura 1). Poiché I O (OA) = ml 3 I O (OB) = ml 3 I O (OC) = ml 3 diag diag diag [ ] 0, 1, 1 [ ] 1, 0, 1 [ ] 1, 1, 0, risulta I O = ml 3 diag [ ] 1, 1, 1. Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 00/003 - Grandezze cinetiche - c 003 M.G. Naso p.4

5 Sia ω = ω(0, 0, 1). Si tratta di determinare l energia cinetica T ed il momento della quantità di moto K O di un corpo rigido con asse z fisso. Pertanto si ha T = 1 I O ω ω = 1 IO 33 ω, KO = I O ω = I33 O ω k. Risulta T = ml ω, K 3 O = ml 3 II metodo: Si calcoli ω k. T = T (OA) + T (OB) + T (OC) = 1 IO 33(OA) ω + 1 IO 33(OB) ω = ml 3 ω K O = I O (OA) ω + I O (OB) ω = ml 3 ω k. Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 00/003 - Grandezze cinetiche - c 003 M.G. Naso p.5

6 Esercizio. Si consideri un sistema materiale costituito da due lamine rettangolari omogenee (Figura ) OABC e ODEF, ciascuna di massa m e di dimensioni OA = OD = a, AB = DE = b, saldate lungo OD. Si supponga che tale sistema materiale sia posto in rotazione uniforme attorno all asse Oy, con velocità angolare ω. Si chiede di determinare: (a) l energia cinetica T, (b) il momento della quantità di moto K O, rispetto al polo O, del sistema materiale. Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 00/003 - Grandezze cinetiche - c 003 M.G. Naso p.6

7 PSfrag replacements z z A B O F ω y y x y C D E x Figura : Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 00/003 - Grandezze cinetiche - c 003 M.G. Naso p.7

8 Risoluzione. Calcoliamo la matrice d inerzia del sistema materiale rispetto al riferimento Ox y z (Figura ). Poiché ma 3 0 mab 4 m(a I O (OABC) = 0 +b ) 3 0 I O (ODEF ) = mab mb mb 3 mab 4 0 mab risulta I O = I O (ODEF ) + I O (OABC). ma 3 0 m(a +b ) 3, Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 00/003 - Grandezze cinetiche - c 003 M.G. Naso p.8

9 Sia ω = ω(0, 1, 0). Si tratta di determinare l energia cinetica T ed il momento della quantità di moto K O di un corpo rigido con asse Oy fisso. Pertanto si ha T = 1 I O ω ω = 1 IO ω K O = I O ω = I O 1 ω ı + I O ω j. Risulta T = 1 ( ) ma + mb ω, 3 3 K O = mab ( ) ma 4 ω ı + + mb ω j. 3 3 N.B. Poiché l asse Oy di rotazione non è principale d inerzia, si ha K O I O ω j. Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 00/003 - Grandezze cinetiche - c 003 M.G. Naso p.9

10 Esercizio 3. Si consideri una lamina triangolare omogenea (Figura 3), di massa m e cateti OA = OB = L, in rotazione uniforme, con velocità angolare ω attorno ad una retta r che AOB forma un angolo di π 4 con il semiasse positivo y +. Si chiede di determinare: (a) l energia cinetica T, (b) il momento della quantità di moto K O, rispetto al polo O, (c) il momento assiale della quantità di moto K r, rispetto all asse r, del sistema materiale. Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 00/003 - Grandezze cinetiche - c 003 M.G. Naso p.10

11 z A r ω PSfrag replacements O y x B Figura 3: Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 00/003 - Grandezze cinetiche - c 003 M.G. Naso p.11

12 Risoluzione. Calcoliamo la matrice d inerzia del sistema materiale rispetto al riferimento Ox y z (Figura 3). Si trova I O = ml Sia ω = ω (0, 1, 1). Si tratta di determinare l energia cinetica T ed il momento della quantità di moto K O di un corpo rigido in rotazione uniforme attorno all asse fisso r. Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 00/003 - Grandezze cinetiche - c 003 M.G. Naso p.1

13 Si ha T = 1 I O ω ω = 1 I r ω K O = I O ω, dove I r = I O r r. Essendo I O r = ml si trova T = 1 8 ml ω = 4 ml 1 4 Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 00/003 - Grandezze cinetiche - c 003 M.G. Naso p.13

14 Inoltre K O = I O ω = 4 ml ω ( 1, 4, ). Il momento assiale della quantità di moto K r, rispetto all asse r, è uguale a K r = K O r = 4 ml ω ( 1, 4, ) (0, 1, 1) = 1 4 ml ω. Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 00/003 - Grandezze cinetiche - c 003 M.G. Naso p.14

15 Esercizio 4. Nel piano Oyz si consideri il sistema materiale (Figura 4) costituito da due aste omogenee OA e AB, ciascuna di massa m e lunghezza L, incernierate in A. L estremo O è incernierato nell origine del riferimento, mentre l estremo B è vincolato a scorrere sull asse y. Inoltre in B è saldato un punto materiale di massa M. Si chiede di determinare: (a) la quantità di moto Q, (b) l energia cinetica T, (c) il momento della quantità di moto K O, rispetto al polo O, del sistema materiale. Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 00/003 - Grandezze cinetiche - c 003 M.G. Naso p.15

16 z PSfrag replacements A G 1 G θ O B y x Figura 4: Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 00/003 - Grandezze cinetiche - c 003 M.G. Naso p.16

17 Risoluzione. q := θ = y + ÔA [0, π). Il sistema ha un grado di libertà. Sia Sia G il baricentro del sistema materiale (due aste + punto) e siano rispettivamente G 1 e G i baricentri dell asta OA e dell asta AB. Dalla proprietà additiva del baricentro, si ha Q = (m + M) v G = m v G1 + m v G + M v B. Nel riferimento cartesiano ortogonale Oxyz, si hanno ( ( G 1 0, L cos θ, L sin θ) v G1 = 0, L sin θ θ, ) L cos θ θ ( ( G 0, 3L cos θ, L sin θ) v G = 0, 3L sin θ θ, ) L cos θ θ ( B (0, L cos θ, 0) v B = 0, L sin θ θ, ) 0. Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 00/003 - Grandezze cinetiche - c 003 M.G. Naso p.17

18 Quindi Q = (m + M)L sin θ θ j + ml cos θ θ k. Per l additività del momento della quantità di moto, si ha K O = K O (OA) + K O (AB) + K O (B). Poiché il sistema materiale è piano, l asse Ox, ortogonale al piano Oyz su cui giace il sistema materiale, è principale d inerzia e K O = K O ı. Si trovano K O (OA) = I 11 (OA) ω OA = ml θ 3 K O (B) = 0 (essendo v B (B O)). Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 00/003 - Grandezze cinetiche - c 003 M.G. Naso p.18

19 Inoltre K O (AB) = I G 11 ω AB + [m v G (O G )] ı Risulta K O = ml θ ı. = ml 1 θ + m (y G ż G z G ẏ G ) = 3 ml θ. L energia cinetica del sistema materiale è Calcoliamo T = T (OA) + T (AB) + T (B). T (OA) = 1 I 11(OA) ω OA = 1 6 ml θ, Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 00/003 - Grandezze cinetiche - c 003 M.G. Naso p.19

20 T (AB) = 1 mv G + T = 1 mv G + 1 IG 11 (AB) ω AB = 1 6 ml ( sin θ ) θ, con v G = L 4 ( sin θ ) θ e I G ml 11 (AB) = 1. Inoltre T B = 1 Mv B = ML sin θ θ. L energia cinetica del sistema è [ m T = θ] 3 + (m + M) sin L θ. Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 00/003 - Grandezze cinetiche - c 003 M.G. Naso p.0

21 Esercizio 5. Nel piano Oyz si consideri (Figura 5) un disco omogeneo D 1, di massa m, centro O e raggio r, che rotola senza strisciare su un disco omogeneo D, di massa M, centro O e raggio R, che ruota attorno all asse Ox. Si chiede di determinare: (a) l energia cinetica T, (b) il momento della quantità di moto K O, rispetto al polo O, del sistema materiale. Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 00/003 - Grandezze cinetiche - c 003 M.G. Naso p.1

22 PSfrag replacements z z A B D θ ψ H ϕ O n D 1 t y O y x Figura 5: Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 00/003 - Grandezze cinetiche - c 003 M.G. Naso p.

23 Risoluzione. Indichiamo con θ = z + ÔH ϕ = angolo di rotazione propria del disco D 1 ψ = angolo di rotazione propria del disco D. Per l ipotesi di rotolamento senza strisciamento del disco D 1 sul disco D, si trova θ = r ϕ R ψ R + r Il sistema materiale ha due gradi di libertà. Siano q 1 := ϕ e q := ψ. Si ha ω D1 = ϕ ı e ω D = ψ ı.. Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 00/003 - Grandezze cinetiche - c 003 M.G. Naso p.3

24 Si ha K O = K O (D 1 ) + K O (D ) dove Quindi K O = K O (D 1 ) = K O (D 1 ) + m v O (O O ) = I11 O (D 1 ) ω D1 + m(r + r) θ t (R + r) n ] = [ mr ϕ m(r + r)(r ϕ R ψ) ı, K O (D ) = I O 11(D ) ω D = MR [ m r (R + 3 r ) ϕ + R ψ ı. ( mr + mr + MR ) ] ψ ı. Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 00/003 - Grandezze cinetiche - c 003 M.G. Naso p.4

25 L energia cinetica del sistema materiale è data da T = T (D 1 ) + T (D ) dove T (D 1 ) = 1 m v O + T = 1 m(r + r) θ + 1 mr ϕ = 1 4 mr ϕ + 1 m (r ϕ R ψ) Quindi T = 1 ψ. T (D ) = 1 IO 11(D ) ωd = MR 4 [ ( 3 mr ϕ mrr ϕ ψ + m + M ) R ψ ]. Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 00/003 - Grandezze cinetiche - c 003 M.G. Naso p.5

26 Esercizio 6. Nel piano Oxy si consideri (Figura 6) un disco omogeneo D, di massa m, centro G e raggio r, che rotola senza strisciare sulla retta orizzontale x. Si calcoli l energia cinetica T del disco. y PSfrag replacements O θ C G x z Figura 6: Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 00/003 - Grandezze cinetiche - c 003 M.G. Naso p.6

27 Risoluzione. Il disco ha un grado di libertà. Indichiamo con q := θ l angolo di rotazione propria del disco D 1. Per l ipotesi di rotolamento senza strisciamento del disco, si ha ẋ G = r θ. I metodo: Per applicazione del Teorema di König, l energia cinetica del disco è T = 1 m v G + T = 1 mr θ + 1 mr θ = 3mr 4 θ Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 00/003 - Grandezze cinetiche - c 003 M.G. Naso p.7

28 II metodo: Poiché C, punto di contatto tra disco e asse x, è centro di istantanea rotazione del disco, si ha T = 1 I Cz θ = 3mr 4 θ, dove (per applicazione del Teorema di Huygens) I Cz = I Gz + m GC = mr + mr = 3mr. Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 00/003 - Grandezze cinetiche - c 003 M.G. Naso p.8

29 Esercizio 7. Nel piano Oxy si consideri (Figura 7) un disco omogeneo D, di massa m, centro G e raggio R, g replacements O x θ H ϕ G x che rotola senza strisciare su una retta r che ruota (mantenendosi comunque nel piano Oxy) attorno ad un suo punto fisso O, coincidente con l o- y r rigine del riferimento. Si y t r calcoli l energia cinetica T del disco. Figura 7: Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 00/003 - Grandezze cinetiche - c 003 M.G. Naso p.9

30 Risoluzione. Il disco ha due gradi di libertà. Indichiamo con q 1 := θ = x + Ôr + [0, π) e con q := ϕ R l angolo di rotazione propria del disco D. N.B. Come q può essere scelto anche s = (H O) r R. Infatti, per l ipotesi di rotolamento senza strisciamento del disco, si ha ṡ = R ϕ. Per applicazione del Teorema di König, l energia cinetica del disco è T = 1 m v G + T = 1 m v G + 1 I G z ω D. Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 00/003 - Grandezze cinetiche - c 003 M.G. Naso p.30

31 Calcolo di ω D : Per applicazione del teorema di composizione delle velocità angolari, la velocità angolare ω D del disco risulta ω D = ω a D = ω r D + ω τ D dove ω a D, ω r D, ω τ D sono, rispettivamente, la velocità angolare assoluta, relativa e di trascinamento del disco. In questo caso ω r D = ϕ k, ω τ D = θ k. Quindi, si ha ω D = ( θ + ϕ ) k. Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 00/003 - Grandezze cinetiche - c 003 M.G. Naso p.31

32 Calcolo di vg : I metodo: Dalla formula fondamentale della cinematica dei sistemi rigidi, si ha v G = v H + ω D (G H). Per l ipotesi di rotolamento senza strisciamento, v H = v H, dove H D e H r. Ma v H = s θ t. Quindi v G =s θ ( ) t + θ + ϕ k ( R t) = s θ ( ) t + R θ + ϕ r. Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 00/003 - Grandezze cinetiche - c 003 M.G. Naso p.3

33 II metodo: Si ha x G = s cos θ + R sin θ y G = s sin θ R cos θ e quindi ẋ G = ṡ cos θ s sin θ θ + R cos θ θ ẏ G = ṡ sin θ + s cos θ θ + R sin θ θ. Risulta vg = ẋ G + ẏ G = ṡ + s θ + R θ + R ṡ θ. Poiché ṡ = R ϕ e supponendo che ϕ = 0 per H O, si trova s = R ϕ. Pertanto vg = R ϕ + R ϕ θ + R θ + R ϕ θ. Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 00/003 - Grandezze cinetiche - c 003 M.G. Naso p.33

34 Essendo poi I Gz = mr, l energia cinetica del disco è T = 1 (R m ϕ + R ϕ θ + R θ + R ϕ θ ) + 1 mr = 1 [ ( ) ] 3 m R ϕ + 3 ϕ θ ϕ θ. ( θ + ϕ ) Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 00/003 - Grandezze cinetiche - c 003 M.G. Naso p.34

35 Esercizio 8. Nel piano Oxy, si consideri (Figura 8) un disco omogeneo, eplacements γ di massa m e raggio R, y O θ ϕ G C n y t x x che rotola senza strisciare all interno di un profilo circolare γ fisso, di centro O e raggio R. Calcolare l energia cinetica del disco. Figura 8: Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 00/003 - Grandezze cinetiche - c 003 M.G. Naso p.35

36 Risoluzione. Il disco ha un solo grado di libertà. Indichiamo con q := θ = y + ÔC [0, π). I metodo: Per applicazione del Teorema di König, l energia cinetica del disco è T = 1 m v G + T = 1 m v G + 1 I G z ω D. Calcolo di ω D : Si ha v G = (R r) θ t. (1) Inoltre, dalla formula fondamentale della cinematica dei sistemi rigidi, si ha v G = v C + ω D (G C). Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 00/003 - Grandezze cinetiche - c 003 M.G. Naso p.36

37 Per l ipotesi di rotolamento senza strisciamento v C = 0. Quindi Uguagliando (1) con (), si ha v G = ω D k r n = ωd r t. () (R r) θ = ω D r ω D = R r r θ. Pertanto l energia cinetica del disco è T = 1 m (R r) θ + 1 mr ( R r r ) θ = 3 4 m (R r) θ. Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 00/003 - Grandezze cinetiche - c 003 M.G. Naso p.37

38 II metodo: Essendo C il centro di istantanea rotazione del disco, l energia cinetica è data da T = 1 I Cz ω D = 3 4 m (R r) θ dove I Cz = 3 mr. Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 00/003 - Grandezze cinetiche - c 003 M.G. Naso p.38

39 N.B. Come parametro lagrangiano può essere scelto anche ϕ, angolo di rotazione propria del disco. In questo caso: ω D = ϕ k. L energia cinetica del disco è data da T = 1 I Cz ω D = 3 4 m r ϕ. Per l ipotesi di rotolamento senza strisciamento v G = ω D (G C) = ϕ k r n = r ϕ t. Essendo poi v G = (R r) θ t, si ritrova ϕ = R r r θ. Esercitazioni di Meccanica Razionale - a.a. 00/003 - Grandezze cinetiche - c 003 M.G. Naso p.39