Esercitazioni di Meccanica Razionale

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Corinna Salvadori
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1 Esercitazioni di Meccanica Razionale a.a. 2002/2003 Vettori applicati e poligono funicolare Maria Grazia Naso naso@ing.unibs.it Dipartimento di Matematica Università degli Studi di Brescia Esercitazioni di Meccanica Razionale a.a. 2002/2003 p.1

2 Poligono funicolare Un sistema di vettori è piano se le rette di applicazione dei v.a. (A i, v i ) appartengono ad uno stesso piano π. Dato un sistema piano π, esiste un procedimento grafico, detto poligono funicolare, che permette di determinare, per via grafica, la riduzione di π ad un v.a. in un punto dell a.c. (se R 0) oppure ad una coppia (se R = 0). Preso un punto arbitrario B 0 π, si costruisce la poligonale dei vettori v i : v 1 := (B 1 B 0 ), v 2 := (B 2 B 1 ),... v n := (B n B n 1 ). Sia R = n v i = (B n B 0 ). i=1 C.N.S. affinché R 0 è che B n B 0 (poligonale chiusa). Esercitazioni di Meccanica Razionale a.a. 2002/2003 p.2

3 1 o caso : R 0 e π = {(A i, v i ), i = 1,..., n}. Ad esempio, scegliamo n = 3. A 1 A 3 PSfrag replacements v 1 A 2 v 3 v 2 Esercitazioni di Meccanica Razionale a.a. 2002/2003 p.3

4 Preso un punto P 0 π arbitrario ma non appartenente alla poligonale, si unisca P 0 con i punti B i, i = 1, 2, 3, individuando le rette r i, i = 1, 2, 3. PSfrag replacements B 0 v 1 r 0 B 1 r 1 v 2 R r 2 P 0 B 2 r 3 v 3 B 3 Esercitazioni di Meccanica Razionale a.a. 2002/2003 p.4

5 Preso un punto C PSfrag 0 π, replacements si disegni la retta s 0 r 0. La retta di azione del v.a. (A 1, v 1 ) incontra s 0 nel punto C 1. Da C 1 si conduca la retta s 1 r 1. La retta di azione del v.a. (A 2, v 2 ) A 4 incontra s 1 nel punto C 2. Da C 2 si conduca la retta s 2 r 2... e così si prosegue per tutti i restanti v.a.. La poligonale con i lati individuati su s 0, s 1,..., s n è detta poligono funicolare di π, relativo ai tre punti arbitrari B 0, P 0, C 0. L intersezione tra le rette s 0 ed s n (nel nostro esempio n = 3) è un punto O asse centrale (retta passante per O e parallela ad R = (B n B 0 )). Quindi π (O, R). Poiché l a.c. è unico, scelti altri tre punti B 0, P 0, C 0, il vertice O = s 0 s n a.c.. C 0 A 1 a.c. v A 3 1 A 2 v 2 C 2 C 1 O v 3 C 3 s 0 s 3 s 2 s 1 Esercitazioni di Meccanica Razionale a.a. 2002/2003 p.5

6 2 o caso : R = 0. Allora la poligonale B 0 B n è chiusa. π = {(A i, v i ), i = 1,..., n} coppia di momento M O 0. C 2 Ad esempio, scegliamo n = 4. Applichiamo la procedura considerata nel 1 o caso. Si ottiene: s 0 s n e quindi s 0 s n =, n = 4. Pertanto π coppia (C 0, v), (C 4, v), con v = (P 0 B 0 ) e v = (B 4 P 0 ) = (B 0 P 0 ). s 0 C 1 v 1 C 3 s 3 A 1 A 3 A 2 v 2 v s 2 s 1 C 4 A 4 B 1 v 3 B 2 v B 3 3 C 0 v 4 v v 2 v 1 v 4 B 0 B 4 r 0 r 4 r 1 r 2 r 3 P 0 Esercitazioni di Meccanica Razionale a.a. 2002/2003 p.6

7 C 2 3 o caso : R = 0. Allora la poligonale B 0 B n è chiusa. π = {(A i, v i ), i = 1,..., n} zero (ad es. coppia di braccio nullo). Ad esempio, scegliamo n = 4. Applichiamo la procedura considerata nel 1 o caso. Si ottiene: s 0 s n, n = 4. Quindi M0 = 0. Pertanto π zero (ad es. coppia di braccio nullo : (C 0, v), (C 4, v), con v = (P 0 B 0 )). A 2 B 0 B 4 v v 4 A 1 v 2 s 2 B 1 v 1 r 1 r 0 r 4 v 1 C 0 C 1 v C 4 A 3 s 1 v 2 v 4 r 2 r 3 P 0 C 3 v 3 B 2 B 3 v 3 A 4 s 3 s 0 s 4 Esercitazioni di Meccanica Razionale a.a. 2002/2003 p.7

8 Esercizi Esercizio 1. Nel riferimento ortogonale Oxyz, si consideri il sistema π = {(A i, v i ), i = 1,..., 3} di v.a.: A 1 (1, 1, 0), A 2 (4, 2, 0), A 3 (3, 4, 0), v 1 = (1, 1, 0), v 2 = (2, 0, 0), v 3 = (0, 1, 0), e se ne determini l equazione dell asse centrale. [3y = 7, z = 0] Esercizio 2. Nel piano Oxy, si consideri il sistema π = {(A i, v i ), i = 1,..., 4} di v.a.: A 1 ( 2, 3), A 2 (1, 4), A 3 (8, 3), A 4 (9, 5), v 1 = ( 2, 3), v 2 = (3, 3), v 3 = ( 9, 0), v 4 = (8, 6), e se ne stabilisca la riducibilità. [coppia di momento M O 0] Esercitazioni di Meccanica Razionale a.a. 2002/2003 p.8

9 Esercizio 3. Nel piano Oxy, si consideri il sistema π = {(A i, v i ), i = 1,..., 3} di v.a.: A 1 (1, 2), A 2 (1, 3), A 3 (4, 5), v 1 = (1, 0), v 2 = (1, 3), v 3 = ( 2, 3), e se ne stabilisca la riducibilità. [zero] Esercitazioni di Meccanica Razionale a.a. 2002/2003 p.9

10 Risoluzione Esercizio 1. Algebricamente: R =(3, 0, 0) 0, R 2 = 9 M O =(0, 0, 7) 0 R M O =(0, 21, 0). Sia O (x, y, z) a.c. : (x, y, z) = 1 (0, 21, 0) + λ (3, 0, 0), λ R. Pertanto l asse 9 centrale è individuato da x = 3 λ y = 7 3 z = 0. Quindi l asse centrale è una retta appartenente al piano Oxy ed avente equazione: 3y = 7, z = 0. Esercitazioni di Meccanica Razionale a.a. 2002/2003 p.10

11 Graficamente: Scelto come punto B 0 l origine O del riferimento Oxyz (quindi B 0 (0, 0, 0)), si costruisca la poligonale non chiusa (B 0 B 3 e R 0): C 0 y y C 1 C 2 C 3 C 4 v 3 A 3 v 4 A 1 A 2 r 2 r 1 v 1 v 2 B 1 v 2 B 2 r 3 v v O x r 0 v 1 B 0 O R v 3 B 3 x P 0 Esercitazioni di Meccanica Razionale a.a. 2002/2003 p.11

12 acements Scelto P 0 (2, 1, 0) piano Oxy, tracciamo le rette r i, i = 0, 1, 2, 3, che congiungono P 0 con i rispettivi B i. Scelto C 0 (0, 2, 0) piano Oxy, tracciamo le rette s i ed individuiamo i punti C i. La retta passante per O = s 0 s 3 e parallela ad R è l asse centrale del sistema π. Inoltre π (O, R). B 1 B 2 y C 3 B 3 P 0 s 3 A 3 v 3 O s 2 C 0 v 1 v2 C 4 C 1 C 2 A 2 A 1 s 1 O v 4 s 0 x Esercitazioni di Meccanica Razionale a.a. 2002/2003 p.12

13 Nel piano Oxy: B 0 (0, 0), P 0 (2, 1) r 0 : y = 1 2 x B 1 (1, 1), P 0 (2, 1) r 1 : y = 2x + 3 B 2 (3, 1), P 0 (2, 1) r 2 : y = 2x 5 B 3 (3, 0), P 0 (2, 1) r 3 : y = x 3 Calcoliamo ora nel piano Oxy le equazioni delle rette s i, i = 0, 1, 2, 3: s0 r 0 e passante per C 0 (0, 2) y = 1 2 x + 2. C 1 : t A1 v 1 : s 0 : y = 1 2 x + 2 y = x ( 4 C 1 3, 4 ). 3 Esercitazioni di Meccanica Razionale a.a. 2002/2003 p.13

14 s1 r 1 e passante per C 1 ( 4 3, 4 3 ) y = 2 x + 4. C 2 : s 1 : y = 2 x + 4 t A2 v 2 : y = 2 C 2 (1, 2). s2 r 2 e passante per C 2 (1, 2) y = 2 x. C 3 : s 2 : y = 2 x t A3 v 3 : x = 3 C 3 (3, 6). s3 r 3 e passante per C 3 (3, 6) y = x + 3. O : s 3 : y = x + 3 ( O 2 s 0 : y = 1 2 x + 2 3, 7 ). 3 L asse centrale è la retta passante per O e R = (3, 0, 0). Nel piano Oxy ha equazione 3y = 7. Inoltre π (O, R) e R può essere applicato in un qualsiasi punto dell asse centrale. Esercitazioni di Meccanica Razionale a.a. 2002/2003 p.14

15 Esercizio 2. Algebricamente: R = 0 I = 0 M O =(0, 0, 76) 0. Quindi π coppia di momento M O. Esercitazioni di Meccanica Razionale a.a. 2002/2003 p.15

16 acements Graficamente: Poiché R = 0, la poligonale è chiusa. Nel piano Oxy siano B 0 (0, 0), P 0 ( 8, 3), C 0 ( 3, 1). s 0 s 4 s 0 s 4 =. Pertanto π coppia (C 0, v), (C 4, v), con v = (P 0 B 0 ) e v = (B 4 P 0 ) = (B 0 P 0 ). r 3 B 3 y B 2 v 3 r 2 B 0 O v 2 P 0 v 4 B 1 R v v v 1 r 1 O B 0 B 4 x r 0 Esercitazioni di Meccanica Razionale a.a. 2002/2003 p.16

17 B 2 B 3 P 0 O y s 4 s 3 C 4 v 2 A 4 v v 1 C 3 s 2 A 2 A 1 v 3 A 3 v 4 v O C 0 C 1 x C 2 s 1 s 0 Esercitazioni di Meccanica Razionale a.a. 2002/2003 p.17

18 Nel piano Oxy: B 0 (0, 0), P 0 ( 8, 3) r 0 : y = 3 8 x B 1 ( 2, 3), P 0 ( 8, 3) r 1 : y = 3 B 2 (1, 6), P 0 ( 8, 3) r 2 : y = 1 3 x B 3 ( 8, 0), P 0 ( 8, 3) r 3 : x = 8 Risulta r 4 r 0. Calcoliamo ora nel piano Oxy le equazioni delle rette s i, i = 0, 1, 2, 3: s0 r 0 e passante per C 0 ( 3, 1) y = 3 8 x C 1 : s 0 : y = 3 8 x 17 ( 8 17 C 1 t A1 v 1 : y = 3 2 x 9, 17 ). 6 Esercitazioni di Meccanica Razionale a.a. 2002/2003 p.18

19 ( s1 r 1 e passante per C , 17 ) 6 y = C 2 : s 1 : y = 17 6 t A2 v 2 : y = x + 3 C 2 ( 35 6, 17 6 ). ( s2 r 2 e passante per C , 17 ) 6 y = 1 3 x 8 9. C 3 : s 2 : y = 1 3 x 8 9 t A3 v 3 : y = 3 ( ) 35 C 3 3, 3. s3 r 3 e passante per C 3 ( 35 3, 3) x = C 4 : s 3 : x = 35 3 s 0 : y = 3 4 x ( ) 35 C 4 3, 3. s4 r 4 e passante per C 4 ( 35 3, 3) y = 3 8 x Esercitazioni di Meccanica Razionale a.a. 2002/2003 p.19

20 Risulta s 0 s 4 e s 0 s 4 =. Si ha s 0 : y = 3 8 x 17 8, C 0( 3, 1), v = (P 0 B 0 ) s 4 : y = 3 8 x , C 4 ( 35 3, 3), v = (B 4 P 0 ) = (B 0 P 0 ). Esercizio 3. Algebricamente: R = 0 I = 0 M O = 0. Quindi π zero. Esercitazioni di Meccanica Razionale a.a. 2002/2003 p.20

21 A 4 Graficamente: Poiché R = 0, la poligonale è chiusa. Nel piano Oxy siano B 0 (0, 0), P 0 (2, 2), C 0 ( 2, 3). y C 2 v s 0 s 3 y C 3 C 4 v C 1 C 0 A 1 v 1 P 0 v 4 s 1 O B 3 B 0 O x r 0 r 3 v 1 B 1 v 2 x v 3 A 2 v 3 r 1 B 2 s 2 v 2 A 3 r 2 Esercitazioni di Meccanica Razionale a.a. 2002/2003 p.21

22 Nel piano Oxy: B 0 (0, 0), P 0 (2, 2) r 0 : y = x B 1 (1, 0), P 0 (2, 2) r 1 : y = 2x 2 B 2 (2, 3), P 0 (2, 2) r 2 : x = 2 Risulta r 3 r 0. Calcoliamo ora nel piano Oxy le equazioni delle rette s i, i = 0, 1, 2, 3: s0 r 0 e passante per C 0 ( 2, 3) y = x + 5. C 1 : s 0 : y = x + 5 t A1 v 1 : y = 2 C 1 ( 3, 2). Esercitazioni di Meccanica Razionale a.a. 2002/2003 p.22

23 s1 r 1 e passante per C 1 ( 3, 2) y = 2x + 8. C 2 : t A2 v 2 : s 1 : y = 2x + 8 y = 3x C 2 ( 8 5, 24 5 ). ( s2 r 2 e passante per C 2 8 5, 24 ) 5 x = 8 5. C 3 : s 2 : x = 8 ( 5 C 3 8 t A3 v 3 : y = 3 2 x + 1 5, 17 ). 5 ( s3 r 3 e passante per C 3 8 5, 17 ) 5 y = x + 5. Esercitazioni di Meccanica Razionale a.a. 2002/2003 p.23

24 Esercitazioni di Meccanica Razionale a.a. 2002/2003 p.24

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