Prova Scritta di di Meccanica Analitica

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1 Prova Scritta di di Meccanica Analitica 7 gennaio 015 Problema 1 Un punto di massa unitaria si muove sull asse x soggetto al potenziale V (x) = x e x a) Determinare le posizioni di equilibrio e la loro stabilitá b) Tracciare il grafico del potenziale ed il ritratto di fase c) Determinare il periodo delle piccole oscillazioni nel punto critico stabile e l equazione della retta tangente alla varietá instabile nel punto critico instabile. d) Si consideri il sistema di equazioni differenziali lineari non omogeneo ( ) ( ẋ γ ω = ẏ ω γ ) ( ) x + a y ( ) cos Ωt sin Ωt determinare il flusso di fase del sistema omogeneo associato e calcolare la soluzione particolare con condizione iniziale x(0) = y(0) = 0. Svolgimento I punti critici sono x = 0 (stabile) e x = ±1 (instabili). Lo sviluppo del potenziale attorno a punto stabile porta E v + 1 (x ) per cui T = π/. Sviluppando il potenziale attorno ai punti instabili otteniamo le rette tangenti alle separatrici 4 v = ± (x 1) e Se introduciamo la variabile complessa z = x + iy il sistema si scrive nella forma ż = (γ + iω)z Il flusso di fase si scrive z(t) = z 0 exp( γt) exp( iωt) 1

2 e le soluzioni sono date dalla parte reale e immaginaria. soluzione particolare si scrive Nella variabile complessa la t z (t) = a exp( (γ + iω)(t s)) exp(iωs)ds = eiωt e (γ+iω)t 0 γ + i(ω + Ω) Possiamo ottenere le soluzioni reali dalla parte reale e immaginaria di z (t) = a (γ i(ω + Ω))eiΩt e (γ+iωt) γ + (ω + Ω) Problema Un punto di massa m e carica q si muove su una sfera di raggio R sotto l azione di un campo magnetico costante B 0 ẑ, sapendo che il potenziale generalizzato della forza di Lorentz si scrive V = q c (B 0ẑ r) v a) scrivere la Lagrangiana del sistema in coordinate sferiche; b) determinare gli integrali primi del moto; c) calcolare la funzione di Hamilton; d) trascurando i termini di ordine c dimostrare che le traiettorie del moto sono equivalenti alle traiettorie di una punto materiale libero (geodetiche) viste da un sistema di riferimento rotante e calcolare la velocitá angolare di rotazione di tale ipotetico sistema. Introducendo le coordinate sferiche Svolgimento x = R sin θ cos ϕ y = R sin θ sin ϕ z = R cos θ il potenziale generalizzato per il campo magnetico si scrive da cui la Lagrangiana del sistema si scrive V ( ϕ, θ) = qb 0 c R ϕ sin θ L = m ( θ + ϕ R sin θ) + qb 0 c R ϕ sin θ

3 Gli integrali primi si scrivono L Hamiltoniana del sistema é H = p θ mr + E = m ( θ + ϕ R sin θ) p ϕ = m ϕr sin θ + qb 0 c R sin θ mr sin θ qb 0 mc p ϕ + ( ) qb0 mr sin θ c Tenendo conto che p ϕ é un integrale primo del moto possiamo semplificare l Hamiltoniana in H = p θ mr + mr sin θ + q B0R 8mc sin θ p θ mr + mr sin θ dove si sono trascurati i termini di ordine c. Si riconosce l Hamiltoniana di una particella libera su una sfera le cui soluzioni sono le geodetiche sulla sfera, ovvero i cerchi massimi sulla sfera. Per trovare le soluzioni nelle coordinate iniziali si deve utilizzare la definzione di p ϕ. Se ora consideriamo il moto di un punto materiale vincolato su una sfera visto da un sistema rotante attorno all asse ẑ con velocitá angolare ω, abbiamo la Lagrangiana L = m ( θ + ( ϕ + ω) R sin θ) = m ( θ + ϕ R sin θ) + mω ϕ sin θ + mω R sin θ Dopo analoghi calcoli a quanto fatto prima, la funzione di Hamilton si scrive (dopo aver trascurato dei termini costanti durante l evoluzione) H = p θ mr + mr sin θ dove p ϕ é definito da p ϕ = ( ϕ + ω)mr sin θ Se quindi poniamo ω = qb 0 mc i due sistemi dinamici avranno le stesse soluzioni. Problema 3 Si consideri un disco omogeneo di massa m e raggio R con un punto A del bordo vincolato a muoversi lungo l asse orizzontale x ed una molla é di constante k genera una forza elastica tra il punto A e l origine 3

4 a) Scrivere la Lagrangiana del sistema utilizzando l ascissa del punto A e l angolo di inclinazione del disco; b) Scrivere la Lagrangiana delle piccole oscillazioni per la posizione di equilibrio stabile; c) Calcolare le frequenze delle piccole oscillazioni nel caso k/m = g/r. Soluzione Calcoliamo l energia cinetica del disco utilizzando il teorema di König. Il momento di inerzia rispetto ad un asse ortogonale al piano passante per il centro é I = mr / e l energia del baricentro si calcola dalle relazioni x CM = (ξ + R sin θ, R cos θ) v CM = ( ξ + R θ cos θ, R θ sin θ) dove ξ é l ascissa del punto A e θ l angolo di inclinazione del disco rispetto ad un asse verticale diretto verso il basso. Avremo l energia cinetica totale mentre l energia potenziale si scirive T = m [ ξ + R θ ξ cos θ + R θ ] + m 4 R θ V = k ξ mgr cos θ Il punto di equilibrio stabile é ξ = 0 e θ = 0 da cui segue la Lagrangiana delle piccole oscillazioni L = m [ ξ + R θ ξ + 3 ] R θ k ξ mgr θ L equazione che definisce le frequenze delle piccole oscillazioni é ( ω k ) ( ) 3 m R ω gr R ω 4 = 1 ( ) 3k R ω 4 m R + gr ω + krg m = 0 ovvero ponendo k/m = g/r = a ω 4 5aω + a = 0 e seguono le frequenze delle piccole oscillazioni ω = 5 ± 17 a 4

5 Problema 4 Si consideri la funzione di Hamilton per una particella libera nello spazio H = p m supponiamo di effettuare un riscalamento del tempo t in funzione della posizione x cosí che il nuovo tempo τ é dato dalla relazione differenziale dτ = c (x)dt a) trovare la funzione di Hamilton che mantiene la struttura canonica delle equazioni del moto nel nuovo tempo. b) Determinare le soluzioni del moto per la nuova Hamiltoniana supponendo che c(x) = 1 + ϵx nel limite ϵ 1 (si consideri il caso unidimensionale). c) Applicando il Principio di Maupertuis alla nuova Hamiltoniana, dimostrare che le soluzioni del moto minimizzano il tempo τ di percorrenza tra due punti dati A e B dello spazio (Principio di Fermat). Svolgimento La struttura canonica delle equazioni del moto é in relazione con la 1-forma differenziale p dx Hdt. In analogia con quanto viene fatto per le trasformazioni canoniche, scriviamo la forma differenziale nel tempo riscalato p dx Hdt = P dx H dτ Ne segue che se definiamo H = H/c (x) la struttura canonica delle equazioni del moto é conservata dx dτ = H p = p mc (x) dp dτ = H x = p dc mc 3 (x) dx Nota: la prima equazione definisce la relazione tra velocitá nel tempo scalato e momento, mentre la seconda relazione corrisponde all equazione all equazione di Lagrange scritta per i momenti. Nel nuovo tempo p non é piú un integrale primo del moto in quanto é cambiata la defizione di velocità dx/dτ. Per calcolare le soluzioni del moto utilizziamo la conservazione dell energia meccanica E = m ( ) dx (1 + ϵx) dx dτ dτ = E/m (1 + ϵx) 5

6 ed integriamo per separazione di variabili Ne segue (1 + ϵx)dx = x x 0 + ϵ x = E m dτ E m τ Per ϵ 1 cerchiamo la soluzione nella forma E x(τ) = x 0 + m τ + ϵx 1(τ) che sostituta nell equazione precedente implica x 1 (t ) + 1 ( x 0 + (si tratta di una parabola). Il principio di Maupertuis utilizza l Azione ridotta S[γ] = B A ) E m t = 0 dove γ é una qualunque curva che connette i punti A e B nello spazio delle configurazioni e giace su una superficie ad energia costante E = p /(c (x)). Abbiamo la relazione Quindi l Azione ridotta si scrive p dx p dx = p dx p dτ p dx = dτ mc (x) dτ S[γ] = B A B (E) dτ = (E) dτ A e le traiettorie del moto rendono estremale il tempo di percorrenza tra due punti fissati A e B nello spazio delle configurazioni. Tali curve corrispondono alle geodetiche rispetto alla metrica dσ = c (x)ds, dove ds é l usuale metrica euclidea. Infatti dσ = c(x) dx dτ dt = p mc () dτ = Edτ e su una superficie di energia costante, τ risulta proporzionale al parametro lunghezza d arco per la metrica dσ. Il principio variazianale é una condizione geomentrica sulle curve γ che definiscono le traiettorie del moto (Principio di Fermat). 6