NOTE SU VARIABILI AZIONE ANGOLO E TEORIA PERTURBATIVA. Armando Bazzani Dipartimento di Fisica e Astranomia - Meccanica Analitica

Transcript

1 NOTE SU VARIABILI AZIONE ANGOLO E TEORIA PERTURBATIVA Armando Bazzani Dipartimento di Fisica e Astranomia - Meccanica Analitica 9 Ottobre 13

2 Consideriamo un sistema dinamico unidimensionale con Hamiltoniana H(q, p) tale che le curve di livello E = H(q, p) (1) sono curve chiuse. Sappiamo che le soluzioni del moto delle equazioni canoniche q ṗ = H = H q () stanno sulle curve di livello in quanto H(p, q) è un integrale primo del moto. Nel caso H concida con l energia meccanica e (q, p) sia una coppia coordinatamomento avremo H(q, p) = p m + V (q) e le equazioni del moto diventano q ṗ = p m = dv dq (3) É possibile dare una forma esplicita alla soluzioni introducendo le variabili Azione-Angolo. Definiamo la variabile Azione I(E) come I(E) = 1 p dq (4) π E=H(p,q) ovvero l area rinchiusa dalla curva H (p, q) = E divisa per π. L integrale si esplicita se conosciamo la relazione p = p(q, E) ottenuta invertendo la relazione (4). Possiamo allora calcolare esplicitamente di de = 1 π E=H(p,q) E dq = 1 q π E=H(p,q) dq q = 1 dt = T (E) π E=H(p,q) π dove T (E) è il periodo dell orbita. Abbiamo quindi la relazione ( ) 1 di = ω(e) (5) de e se la frequenza é non nulla possiamo invertire la relazione tra I ed E ottenendo dh (I) = ω(i) (6) di I valori di E per cui ω(e) = sono singolari: ovvero le curve di livello H(p, q) = E sono singolari in quanto la velocità di percorrenza di un orbita (,q, ṗ) deve tendere a zero affinchè il periodo diverga e quindi l orbita stessa deve contenere un punto critico per cui H q = H q =

3 3 Per definizione l Azione è un integrale primo del moto. Associata alla variabile Azione I si definisce una variabile angolare tale che p dq + θ di = df (q, I) dove F è una funzione definita nello spazio delle fasi detta funzione generatrice della trasformazione in variabili Azione-Angolo. Dimostriamo che la funzione F (q, E) = soddisfa alle nostre richieste. Calcoliamo Pertanto vale che Poniamo quindi da cui Infatti abbiamo F E = q H=E q E dq = df = p dq + t de θ = ω(i)t p dq (7) q dq q = t df (q, I) = p dq + θ de = p dq + θ di ω(i) θ = de di per cui integrando lungo un intera orbita θ = I E dq = q p dq I H=E H=E p dq = π ovvero θ è una variabile a multi valori con periodo π su ciascuna orbita chiusa dello spazio delle fasi e quindi un angolo. Le dimensioni fisiche di I sono di un momento per la coordinata associata, e tali dimensioni definiscono tutte le Azioni che si introducono in Fisica. La funzione F (q, I) risulta ben definita purchè ω(e). Nelle nuove variabili le equazioni del moto si scrivono θ = ω(i) I = (8) (9) Da quanto detto in precedenza segue anche la seguente relazione per il differenziale di area nello spazio delle fasi dq dp = dt de Presa quindi una sezione l 1, dello spazio tra le orbite di energia [E 1, E ] e detto Φ t (q, p) il flusso di fase (che conserva le aree per ipotesi) abbiamo che il flusso

4 4 attraverso la sezione per unità di tempo è dato dalla derivata temporale dell area della superficie spazzata da l 1, : Σ 1, (t) = Φ t (l 1, ) 1 1 lim t t t Σ 1, ( t)dq dp = lim t Σ 1, ( t)dt de = lim t 1 t (E E 1 ) t = E E 1 Il flusso che attraversa una sezione dipende dalla variazione dell Energia sulla sezione. Le variabili Azione-Angolo hanno un importanza fondamentale nello studio dei sistemi dinamici in particolare in relazione alla Teoria delle Perturbazioni. Consideriamo un calcolo perturbativo applicato ad una sistema 1-dimensionale definito dall energia E = mv + V (x) + ϵv 1 (x) nell ipotesi che vi siano delle orbite periodiche per ϵ =. Siamo interessati a calcolare la correzione al primo ordine in ϵ del periodo delle orbite. Utilizziamo la relazione da de = 1 m T (E) dove A(E) è l area sottesa dalla curva di energia E nello spazio delle fasi A(E) = (E V (x))dx m Espandendo l integrale in serie di Taylor in ϵ al primo ordine otteniamo x+ A(E) = x m (E V (x) ϵv 1 (x))dx = x + x m (E V (x))dx x m ϵ + x V 1 (x)dx E V (x) dx (1) dove x ± sono i punti di inversione dell orbita, e nell espansione di Taylor la loro dipendenza da ϵ non conta (l integrando si annulla). Nota: nella precedente definizione occorre prima valutare A(E) e quindi calcolare la derivata in quanto non possiamo devivare il secondo integrale rispetto agli estremi x ± dal momento che l integrando é singolare agli estremi stessi. Specifichiamo il calcolo precedente per il caso V = k/x e V 1 = x 4 /4, così che x + x A(E) = (E k x m )dx x m ϵ + x 4 x (E k x 4 m )dx Il primo integrale è l area di un ellisse con semiassi noti, il secondo si calcola con la sostituzione x = E/k cos θ θ [π, ] ϵ m ( ) E k π cos 4 θ sin θ E m (1 cos θ) E k dθ

5 5 dopo alcuni passaggi otteniamo con il valor medio <> definito da Abbiamo infine da cui il periodo πϵ mk ( E k ) < cos 4 θ > < cos 4 θ >= 1 π A(E) = Eπ mk π cos 4 θdθ = 3 4 3πϵ mk ( ) E k m T (E) = π k 3πϵE m k k Si osserva che il periodo diminuisce con l aumentare dell energia. Un approccio alternativo consiste nell introdurre le variabili Azione-Angolo per il sistema imperturbato (ϵ = ) ovvero l oscillatore armonico: sia p = mv da un calcolo esplicito abbiamo I x = sin θ (km) p 1/4 a partire dall oscillatore armonico = I(km) 1/4 cos θ E = p m + kx Nelle nuove variabili l energia si legge ω = k m E = ωi e le equazioni del moto per le nuove variabili sono θ = ω I = (11) Nel nuovo spazio delle fasi (θ, I) le traiettorie traslano a velocità costante lungo la variabilie angolare. Se aggiungiamo il potenziale perturbativo ϵx 4 /4 le equazioni del moto diventano θ = ω + ϵ I km sin4 θ I = ϵ 4I km sin3 θ cos θ (1) che conservano l energia E = ωi + ϵ I km sin3 θ

6 6 Per valutare il periodo T integriamo la dinamica nell Angolo per una variazione di π al primo ordine in ϵ, tenendo conto che a tale approssimazione possiamo considerare I costante. Per separazione di variabili otteniamo T = π dθ ω + ϵ I km sin4 θ + O(ϵ ) = Si ottiene quindi il risultato precedente π ( 1 ϵ I ) dθ kmω sin4 θ ω dove abbiamo usatro E = Iω. T (E) = π ω ϵ3eπ k ω 1