GRAFICA E COMPUTER. 19 giugno () PLS-Grafica 19 giugno / 32

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1 GRAFICA E COMPUTER 19 giugno () PLS-Grafica 19 giugno / 32

2 Equazioni differenziali modellizzano fenomeni (fisici e non) che variano nel tempo partendo da dati noti, vogliamo prevedere l evoluzione futura del fenomeno Matematicamente, cosa ci serve per scrivere un modello? derivate vettori curve (nel piano) () PLS-Grafica 19 giugno / 32

3 Esempi tratti dalla fisica 1. Moto rettilineo uniforme s(t) = vt + s 0 dove t indica il tempo s(t) indica lo spazio percorso al tempo t s 0 posizione all istante t = 0 v indica la velocità (costante) () PLS-Grafica 19 giugno / 32

4 Esempi tratti dalla fisica Cos è v? Geometricamente è la pendenza della retta Dal punto di vista fisico è s t = s(t) s(0) t 0 = s(t) s 0 t vt + s 0 s 0 t = v () PLS-Grafica 19 giugno / 32

5 Esempi tratti dalla fisica 1. Moto uniformemente accelerato s(t) = 1 2 at2 + v 0 t + s 0 dove a indica l accelerazione (costante), cioè la variazione della velocità s 0 posizione all istante t = 0 v 0 velocità all istante t = 0 () PLS-Grafica 19 giugno / 32

6 Esempi tratti dalla fisica 1. Moto uniformemente accelerato 5 2,5 4-3,2-2,4-1,6-0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4-2,5 La velocità media in un intervallo [0,T] è uguale a: v m = s t = s(t) s(0) T 0 = 1 2 at 2 + v 0 T + s 0 s 0 T = () PLS-Grafica 19 giugno / 32

7 Esempi tratti dalla fisica 1. Moto uniformemente accelerato 5 2,5 4-3,2-2,4-1,6-0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4-2,5 La velocità media in un intervallo [0,T] è uguale a: v m = s t = s(t) s(0) T 0 = 1 2 at 2 + v 0 T + s 0 s 0 T = 1 2 at + v 0 () PLS-Grafica 19 giugno / 32

8 Esempi tratti dalla fisica Cosa possiamo dire sulla velocità istante per istante? Calcoliamo la velocità in un intervallo di estremi t e t + h: s(t + h) s(t) t + h t = [1 2 a(t + h)2 + v 0 (t + h) + s 0 ] [ 1 2 at2 + v 0 t + s 0 ] h () PLS-Grafica 19 giugno / 32

9 Esempi tratti dalla fisica Cosa possiamo dire sulla velocità istante per istante? Calcoliamo la velocità in un intervallo di estremi t e t + h: s(t + h) s(t) t + h t = [1 2 a(t + h)2 + v 0 (t + h) + s 0 ] [ 1 2 at2 + v 0 t + s 0 ] h = 1 2 at ah2 + ath + v 0 t + v 0 h + s at2 v 0 t s 0 h () PLS-Grafica 19 giugno / 32

10 Esempi tratti dalla fisica Cosa possiamo dire sulla velocità istante per istante? Calcoliamo la velocità in un intervallo di estremi t e t + h: s(t + h) s(t) t + h t = [1 2 a(t + h)2 + v 0 (t + h) + s 0 ] [ 1 2 at2 + v 0 t + s 0 ] h 1 2 = at ah2 + ath + v 0 t + v 0 h + s at2 v 0 t s 0 h = 1 2 ah + at + v 0 Passiamo al limite per h 0: s(t + h) s(t) lim = at + v 0 = v(t) h 0 h () PLS-Grafica 19 giugno / 32

11 Esempi tratti dalla fisica Cos è v(t)? Geometricamente è il coefficiente angolare della retta tangente alla parabola nel punto (t, s(t)) Dal punto di vista fisico è la velocità istantanea Analiticamente è la derivata della funzione s(t) nel punto t () PLS-Grafica 19 giugno / 32

12 La derivata Data una funzione f(x) definita su R, si definisce derivata di f in x 0 il limite, se esiste finito: f(x 0 + h) f(x 0 ) lim = f (x 0 ) = df h 0 h dx (x 0). Punto per punto la derivata rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di f nel punto (x 0,f(x 0 )). () PLS-Grafica 19 giugno / 32

13 La derivata Data una funzione f(x) definita su R, si definisce derivata di f in x 0 il limite, se esiste finito: f(x 0 + h) f(x 0 ) lim = f (x 0 ) = df h 0 h dx (x 0). Punto per punto la derivata rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di f nel punto (x 0,f(x 0 )). () PLS-Grafica 19 giugno / 32

14 Le equazioni differenziali Nei modelli fisici - e non solo- spesso si riesce a misurare la variazione nel tempo di un fenomeno. Note le condizioni ad oggi e la variazione nel tempo di un fenomeno si vorrebbe prevedere l evoluzione futura del fenomeno () PLS-Grafica 19 giugno / 32

15 5 2,5 4-3,2-2,4-1,6-0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4-2,5 Le equazioni differenziali Per esempio, nel moto accelerato uniforme nota la velocità ds dt (t) = at + v 0 vorremmo ricavare la legge di moto s(t), cioè una soluzione dell equazione differenziale Esiste? È unica? Le soluzioni sono funzioni s(t) = 1 2 at2 + v 0 t + s 0. A seconda della posizione iniziale s 0, troviamo soluzioni diverse. () PLS-Grafica 19 giugno / 32

16 Le equazioni differenziali Nel nostro esempio di soluzioni ce ne sono molte, ma una sola soddisfa la condizione iniziale s(0) = s 0 In generale, un equazione differenziale è una equazione la cui incognita è una funzione di cui è stata assegnata la derivata, cioè la variazione nel tempo dello stato. A noi interessa ricavare - se possibile - una legge di moto che ci permetta di ricavare la soluzione esatta, una volta noto lo stato iniziale del sistema. () PLS-Grafica 19 giugno / 32

17 Le equazioni differenziali Cosa succede quando il moto non è rettilineo? 2 y(t) (x(t),y(t)) x(t) () PLS-Grafica 19 giugno / 32

18 Le equazioni differenziali La velocità istantanea si ottiene calcolando la derivata delle due componenti: ( ) x(t + h) x(t) y(t + h) y(t) lim, lim = ( x (t),y (t) ) t 0 h t 0 h La velocità istantanea è un vettore, che punto per punto è tangente al moto 2 y(t) (x(t),y(t)) x(t) () PLS-Grafica 19 giugno / 32

19 Le equazioni differenziali Nota la velocità del punto materiale, vogliamo ricavarne la legge di moto. Conoscere la velocità significa avere un sistema di equazioni differenziali { x (t) = F 1 (t,x,y) y (t) = F 2 (t,x,y) (x(t), y(t)) : posizione di un punto materiale all istante t (x (t),y (t)): vettore velocità del punto materiale nell istante t Può accadere che la velocità dipenda solo dalla posizione, ma non dal tempo (per esempio nel moto dei pianeti). In questo caso la rappresentazione grafica diventa più semplice () PLS-Grafica 19 giugno / 32

20 Campi vettoriali Assegnare la velocità punto per punto significa assegnare un vettore in ogni punto del piano F : R 2 R 2 { F 1 (x,y) = x + xy F(P) = F 2 (x,y) = y + x 2 3,2 2,4 1,6 0,8-4,8-4 -3,2-2,4-1,6-0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8-0,8-1,6-2,4-3,2 () PLS-Grafica 19 giugno / 32

21 Campi vettoriali Cercare le soluzioni del sistema di equazioni differenziali significa cercare delle curve tangenti al campo vettoriale 5 2,5 10-7,5-5 -2,5 0 2,5 5 7,5 10-2,5-5 () PLS-Grafica 19 giugno / 32

22 Significa cioè cercare delle curve (φ 1 (t),φ 2 (t)) tali che ( ) ( ) ( φ 1 (t) φ( t) + φ φ 2 (t) = 1 (t)φ 2 (t) x + xy φ 2 (t) + [φ 1 (t)] 2 = y + x 2 ) () PLS-Grafica 19 giugno / 32

23 Significa cioè cercare delle curve (φ 1 (t),φ 2 (t)) tali che ( ) ( ) ( φ 1 (t) φ( t) + φ φ 2 (t) = 1 (t)φ 2 (t) x + xy φ 2 (t) + [φ 1 (t)] 2 = y + x 2 ) Il vettore tangente alla curva in un punto P coincide con il campo vettoriale F(P) () PLS-Grafica 19 giugno / 32

24 Soluzioni e orbite Possiamo rileggere l esempio precedente come un sistema di equazioni differenziali { x = x + xy y = y + x 2 Le curve disegnate in precedenza sono le traiettorie del sistema, dette anche orbite, vale a dire sono le curve nel piano (detto delle fasi) che il punto materiale percorre, partendo da un punto iniziale assegnato Disegnando la curva vedo qual è il percorso del punto, ma non con quale legge oraria la curva viene percorsa L insieme delle orbite è detto ritratto di fase del sistema Scopo del corso: imparare a disegnare ritratti di fase () PLS-Grafica 19 giugno / 32

25 Sistemi di equazioni differenziali 5 2,5 10-7,5-5 -2,5 0 2,5 5 7,5 10-2,5-5 () PLS-Grafica 19 giugno / 32

26 Sistemi di equazioni differenziali 5 2,5 10-7,5-5 -2,5 0 2,5 5 7,5 10-2,5-5 con condizioni iniziali () PLS-Grafica 19 giugno / 32

27 Sistemi di equazioni differenziali 5 2,5 10-7,5-5 -2,5 0 2,5 5 7,5 10-2,5-5 con condizioni iniziali (0.01, 0.1) ( 3.2, 1.6) () PLS-Grafica 19 giugno / 32

28 Sistemi di equazioni differenziali 5 2,5 10-7,5-5 -2,5 0 2,5 5 7,5 10-2,5-5 con condizioni iniziali (0.01, 0.1) ( 3.2, 1.6) (2.6, 2.4) () PLS-Grafica 19 giugno / 32

29 Sistemi di equazioni differenziali 5 2,5 10-7,5-5 -2,5 0 2,5 5 7,5 10-2,5-5 con condizioni iniziali (0.01, 0.1) ( 3.2, 1.6) (2.6, 2.4) ( 5.8, 6) () PLS-Grafica 19 giugno / 32

30 Sistemi di equazioni differenziali 5 2,5 10-7,5-5 -2,5 0 2,5 5 7,5 10-2,5-5 con condizioni iniziali (0.01, 0.1) ( 3.2, 1.6) (2.6, 2.4) ( 5.8, 6) La soluzione che passa per l origine è l origine stessa! () PLS-Grafica 19 giugno / 32

31 Sistemi di equazioni differenziali { x = F 1 (x,y) y = F 2 (x,y) Se P(a,b) è tale che (F 1 (a,b),f 2 (a,b) = (0,0), allora la velocità della soluzione passante per P(a,b) è nulla. () PLS-Grafica 19 giugno / 32

32 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 1-0,9-0,8-0,7-0,6-0,5-0,4-0,3-0,2-0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1-0,1-0,2-0,3-0,4-0,5 Sistemi di equazioni differenziali { x = F 1 (x,y) y = F 2 (x,y) Se P(a,b) è tale che (F 1 (a,b),f 2 (a,b) = (0,0), allora la velocità della soluzione passante per P(a,b) è nulla. L orbita si riduce ad un punto () PLS-Grafica 19 giugno / 32

33 Sistemi lineari Parliamo di sistema di equazioni differenziali lineari se { x = ax + by y = cx + dy Al sistema si associa la matrice ( a b c d a cui si può associare un equazione algebrica, l equazione caratteristica a λ b c d λ = λ2 (a + d)λ + (ad bc) = 0 ) () PLS-Grafica 19 giugno / 32

34 Un po di algebra I punti critici sono le soluzioni di { ax + by = 0 cx + dy = 0 Le soluzioni dell equazione caratteristica sono dette autovalori della matrice Un autovalore λ ha la proprietà che il sistema { (a λ)x + by = 0 cx + (d λ)y = 0 ha soluzioni, che sono dette autovettori associati all autovalore () PLS-Grafica 19 giugno / 32

35 Sella { x = 3x + 2y y = 10x + 2y () PLS-Grafica 19 giugno / 32

36 Sella Il ritratto di fase è: Autovalori 2,7 autovettori associati ( 2, 5), (1, 2) () PLS-Grafica 19 giugno / 32

37 Nodo { x (t) = x(t) y (t) = 2y(t) () PLS-Grafica 19 giugno / 32

38 Nodo { x (t) = x(t) y (t) = 2y(t) Autovalori 1, 2 autovettori associati (1, 0), (0, 1) () PLS-Grafica 19 giugno / 32

39 Fuoco { x (t) = 1/2x(t) 2y(t) y (t) = 1/2x(t) 1/2y(t) () PLS-Grafica 19 giugno / 32

40 Fuoco Il sistema non ha autovalori reali ha autovalori complessi 1/2 ± i () PLS-Grafica 19 giugno / 32

41 Centro { x (t) = 2y(t) y (t) = 2x(t) () PLS-Grafica 19 giugno / 32

42 1,5 1,25 1 0,75 0,5 0,25-2,5-2, ,75-1,5-1, ,75-0,5-0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5-0,25-0,5-0, ,25-1,5 Centro Le soluzioni sono tutte del tipo φ(t) = (α cos 2t,αsin 2t) Il sistema non ha autovalori reali ha autovalori complessi ±i () PLS-Grafica 19 giugno / 32