SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI- ESERCIZI SVOLTI

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1 SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI- ESERCIZI SVOLTI Generalità sui sistemi Sia xt, yt la soluzione del problema di Cauchy Posto vt = e xtyt, calcolare v x = 3x x = y = x y = 0 Sia x = 3x y y = x + y Scrivere il sistema soddisfatto da ξ e η e ξt = xt, ηt = yt 3 Risolvere il sistema x = y y = 3x 4y dopo essersi ricondotti ad una equazione del secondo ordine 4 Data una soluzione γt = xt, yt del sistema x = x y = x y t [0, ], e il campo vettoriale Fx, y = y x, x, calcolare γ F dp

2 SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI- ESERCIZI SVOLTI 5 Dire in quali punti t 0, y 0 non può applicarsi il teorema di Cauchy di esistenza e unicità di soluzione per le seguenti equazioni scalari a y = con condizione iniziale yt 0 = y 0 t, b y = y, c y = t t, d y = y y, e y = y t 6 Dire in quali punti t 0, x 0, y 0 non può applicarsi il teorema di Cauchy di esistenza e unicità per i seguenti sistemi a x = t x y = y y b x = y t y = x con condizione iniziale x t 0 = x 0, yt 0 = y 0

3 SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI- ESERCIZI SVOLTI 3 Sistemi lineari a coefficienti costanti, omogenei 7 Risolvere il seguente sistema ẋ = 3x y ẏ = x y e determinare le soluzioni limitate su [0, + 8 Risolvere il seguente sistema ẋ = x + y ẏ = x + y e determinare le soluzioni limitate su, 0] 9 Risolvere il seguente sistema ẋ = 3x + y ẏ = x + y e determinare le soluzioni limitate su, 0] 0 Risolvere il seguente sistema x = x + x x = x 4x Risolvere il seguente sistema x = x + x x = x x Risolvere il problema di Cauchy ẋ = 3x y, x0 = ẏ = x y, y0 =

4 4 SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI- ESERCIZI SVOLTI Sistemi lineari a coefficienti costanti, non omogenei 3 Risolvere il sistema x = x + 4y + e 3t y = x + 3y 4 Risolvere il sistema x = x + 4y + + e 3t y = x + 3y 5 Trovare la soluzione del problema di Cauchy x = x + 4y + cos t, x0 = 0 y = x + 3y, y0 = 0 6 Trovare la soluzione del problema di Cauchy x = x + y + e t, x0 = 0 y = x + y, y0 = 0 7 Trovare la soluzione del problema di Cauchy x = x + y + e t, x0 = 0 y = x + y +, y0 = 0

5 SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI- ESERCIZI SVOLTI 5 Stabilità lineare 8 Studiare la stabilità della soluzione nulla del sistema x = x 3y y = x + y 9 Studiare, al variare di α R, la stabilità della soluzione nulla del sistema x = 3x + α y y = x 3y 0 Studiare, al variare di α R, la stabilità della soluzione nulla del sistema x = y y = x + αy Studiare, al variare di α R, la stabilità della soluzione nulla del sistema x = αx y y = x + y Dato il sistema x = x + α y y = α x + αy, determinare i valori di α R per cui: a tutte le soluzioni sono limitate su [0, + ; b esistono soluzioni diverse dalla soluzione nulla limitate in [0, + 3 Dato il sistema x = x + α y y = x + αy, a determinare i valori di α R per cui tutte le soluzioni sono limitate su [0, + ; b dire se esistono soluzioni diverse dalla soluzione nulla limitate su R

6 6 SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI- ESERCIZI SVOLTI Stabilità non lineare 4 Trovare i punti critici dei seguenti sistemi, studiandone la stabilità e scriverne i corrispondenti sistemi linearizzati; a x = y y = x y x + y b x = x + y y = x y 5 Verificare che 0, 0 è un punto critico del sistema: x = x + e αy y = e x y Discutere inoltre, al variare del parametro α, la stabilità del punto 0, 0

7 SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI- ESERCIZI SVOLTI 7 Esercizi di riepilogo sui sistemi 6 Dato il sistema ẋ = x ẏ = y x a Determinare l integrale generale; b studiare la stabilità del punto critico 0, 0 e la limitatezza in passato cioè in, 0] e in futuro cioè in [0, + delle soluzioni; c determinare gli α R tali che tutte le soluzioni xt, yt verifichino lim e αt t 0 xt 0 = ; yt 0 d determinare la soluzione che soddisfa x0 =, y0 = ; e mostrare che il sistema è Hamiltoniano e tracciarne le orbite 7 Dato il sistema ẋ = α + x + y ẏ = x + αy a discutere al variare di α R la stabilità della soluzione nulla e la limitatezza delle soluzioni; b posto α =, risolvere il sistema 8 Dato il sistema ẋ = e y e x ẏ = sin αx + αy a verificare che 0, 0 è un punto critico per α R; b discutere, al variare di α R, α 0, la stabilità del punto critico 0, 0

8 8 SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI- ESERCIZI SVOLTI Approfondimenti 9 Dato il sistema x = αx y y = x + αy, α R, risolverlo dopo averlo trasformato in coordinate polari e tracciarne qualitativamente le soluzioni 30 Dato il sistema x = + y log + cosπx y = x + y a si determini la soluzione del problema di Cauchy con x0 =, y0 = ; b mostrare che se xt, yt è una soluzione, definita per t su un intervallo I, allora xt xt <, t, t I 3 Verificare che il seguente sistema è Hamiltoniano e studiare la stabilità del punto critico 0, 0 x = y y = x 3 3 Verificare che il seguente sistema è Hamiltoniano e studiare la stabilità del punto critico 0, 0 x = 4y 3 y = sin x

9 SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI- ESERCIZI SVOLTI 9 SOLUZIONI Generalità sui sistemi Derivando vt = e xtyt ed utilizzando le equazioni del sistema si trova Sostituendo t = si ottiene v t = e xtyt [x tyt + xty t] = e xtyt [3xtyt xt 3 ] v = e 0 [3 0 3 ] = 8 Derivando rispetto a t la funzione ξt = xt ed utilizzando le equazioni del sistema abbiamo Analogamente da cui il sistema ξ t = x t = [3xt yt] = 6ξt ηt η t = y t = xt + yt = ξ t + ηt, ξ t = 6ξt ηt η t = ξ t + ηt Osserviamo che questo non è un sistema di equazioni differenziali ordinarie 3 Derivando x = y otteniamo x = y e sostituendo nella seconda equazione Le radici del polinomio caratteristico x = y = 3x 4x x + 4x + 3x = 0 λ + 4λ + 3 sono λ =, λ = 3, per cui l integrale generale dell equazione del secondo ordine è xt = c e t + c e 3t, c, c R Derivando yt = x t = c e t 3c e 3t per cui l integrale generale del sistema è xt = c e t + c e 3t yt = c e t 3c e 3t, c, c R

10 0 SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI- ESERCIZI SVOLTI 4 Osserviamo che γt = xt, x t yt ed Fxt, yt = yt x t, xt Quindi γt Fxt, yt = 0, ovvero γt Fγt e perciò γ F dp = Fxt, yt γtdt = Il teorema di esistenza ed unicità di Cauchy per y = ft, y richiede la continuità di fx, y e della derivata parziale f y x, y Quindi nel nostro caso il teorema non si può applicare: a in nessun punto; b nei punti t 0, 0, t 0 R; c nessun punto; d osserviamo che in questo caso f y nessun punto; e nessun punto = y + y sign y = y è continua quindi la risposta è: 6 Il teorema di esistenza e unicità per un sistema della forma x, y = f t, x, y, f t, x, y richiede la continuità di f i e delle derivate parziali rispetto ad x ed y Quindi: a f ed f sono continue ovunque Inoltre f x = t, f y = f x = 0, f y = y sono anch esse continue ovunque, per cui non c è nessun punto in cui non siano verificate le ipotesi del teorema di Cauchy b Anche in questo caso f ed f sono continue x, y R, così come f f x = Invece f y nei punti t 0, x 0, t 0, t 0, x 0 R x = f y = 0 e sign y t =, non è continua se t 0 = y 0 e dunque il teorema non si applica y t

11 SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI- ESERCIZI SVOLTI Sistemi lineari a coefficienti costanti, omogenei 7 La matrice dei coefficienti del sistema lineare è A = 3 che ha il polinomio caratteristico 3 λ det λ = 3 λ λ + 4 = λ λ = λ λ + Le radici sono λ =, λ = dunque l integrale generale è xt = c yt e t u + c e t v, dove u e v sono due autovettori relativi agli autovalori e rispettivamente λ = Risolvo il sistema lineare omogeneo associato alla matrice A I, x 0 =, 4 y 0 corrispondente all unica equazione x y = 0 Quindi un autovettore corrispondente all autovalore λ = è u = λ = Risolvo il sistema lineare associato ad A + I, 4 x 0 =, y 0 corrispondente all equazione 4x y = 0 e trovo l autovettore v = L integrale generale del sistema differenziale è dunque o, più esplicitamente xt = c yt e t + c e t, xt = c e t + c e t yt = c e t + c e t c, c R

12 SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI- ESERCIZI SVOLTI Per quanto riguarda la limitatezza osserviamo che la funzione e t non è limitata su [0, + mentre la funzione e t lo è Quindi, affinchè una soluzione sia limitata su tale intervallo, non deve comparire la parte in e t, cioè deve essere c = 0 Quindi le soluzioni limitate su [0, + sono tutte e sole della forma xt = c e t yt = c e t c R 8 L equazione caratteristica di è A = λ det = λ + = 0 λ da cui otteniamo λ = λ = ±i e quindi gli autovalori sono λ = ± i L integrale generale sarà della forma xt = c yt e t [cos t u sin t v] + c e t [sin t u + cos t v], dove u + iv è un autovettore relativo all autovalore λ = + i Per trovare tale autovettore devo risolvere il sistema omogeneo associato ad A + ii, ovvero i x 0 = i y 0 Questo corrisponde all equazione ix + y = 0, da cui, ponendo per esempio x =, ricavo l autovettore 0 = + = i 0 i 0 + i 0, e dunque u = 0, v = 0 Otteniamo l integrale generale [ ] [ ] xt = c yt e t 0 cos t sin t + c 0 e t 0 sin t + cos t 0 ovvero xt = e t c cos t + c sin t yt = e t c sin t + c cos t, c, c R Osserviamo che la funzione e t è limitata per t, 0] e le funzioni sin t e cos t sono limitate su tutto R Quindi tutte le soluzioni del sistema sono limitate su, 0]

13 SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI- ESERCIZI SVOLTI 3 9 Il polinomio caratteristico di è A = 3 λ det λ 3 = 3 λ λ + = λ 4λ + 4 = λ L unico autovalore è λ =, contato con molteplicità algebrica due Troviamo l autospazio V relativo all autovalore λ =, risolvendo il sistema A Iu = 0, ovvero x 0 =, y 0 corrispondente all equazione x + y = 0 Quindi, ponendo per esempio x =, otteniamo u = Dunque l autospazio V ha dimensione essendo generato dall unico vettore u, ovvero l autovalore λ = ha molteplicità geometrica Quindi l integrale generale sarà della forma xt = c yt e t u + c e t [tu + v], dove v è un autovettore generalizzato, ovvero una soluzione del sistema A Iv = u Questo corrisponde al sistema non omogeneo x =, y ovvero all equazione x + y = Scelgo per esempio x = 0, da cui y =, e quindi 0 v = Le soluzioni del sistema differenziale sono dunque [ xt = c yt e t + c e t t ] 0 +, c, c R, ovvero xt = c e t + c te t yt = c e t c te t + c e t c,, c R Per quanto riguarda la limitatezza abbiamo che e t è limitata su, 0] mentre la funzione t non è limitata, quindi le soluzioni limitate sono tutte e sole quelle corrispondenti a c = 0, ovvero xt = c e t yt = c e t, c R

14 4 SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI- ESERCIZI SVOLTI 0 La matrice dei coefficienti è il polinomio caratteristico A = 4 deta λi = λ 4 λ + 4 = λ + 3λ = = λλ + 3 e dunque gli autovalori sono λ = 0, λ = 3 L integrale generale sarà della forma x t = c x t e 0t v + c e 3t u, = c v + c e 3t u, dove u e v sono due autovettori relativi agli autovalori 0 e 3 rispettivamente Calcoliamo gli autovettori α = 0 Risolvo il sistema omogeneo associato ad A 0I = A, ovvero x = 4 x 0 0, corrispondente all unica equazione x + x = 0 Quindi un autovettore corrispondente all autovalore λ = 0 è u = α = 3 Risolvo il sistema omogeneo associato ad A + 3I, ovvero 4 x = x 0 0, corrispondente all unica equazione x x = 0 Quindi un autovettore corrispondente all autovalore λ = 3 è v = Concludendo, l integrale generale del sistema è x t x t = c + c e 3t, c, c R A = deta λi = λ λ + 4 = λ + 3, e gli autovalori sono λ, = ± 3i Quindi l integrale generale sarà della forma x t [ = c x t cos 3t u sin ] [ 3t v + c sin 3t u + cos ] 3t v,

15 SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI- ESERCIZI SVOLTI 5 dove u + iv è un autovettore relativo all autovalore λ = 3i Risolviamo dunque il sistema associato alla matrice A 3iI, ovvero 3i x = 3i x 0 0, corrispondente all equazione 3ix + x = 0 Quindi otteniamo l autovettore + = 3i L integrale generale del sistema è i u = 0 3, v = [ x t = c x t cos 3t sin [ 0 3 3t ]+c sin 3t + cos ] 0 3t 3, ovvero x t = c cos 3t + c sin 3t x t = cos 3t c + 3c + sin 3t c 3 c, c, c R Il sistema è lo stesso dell esercizio 7, il cui integrale generale è xt = c e t + c e t yt = c e t + c e t Sostituendo la condizione iniziale x0 =, y0 =, otteniamo c + c = c + c = c = 0 c = Quindi la soluzione del problema di Cauchy è xt = e t yt = e t

16 6 SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI- ESERCIZI SVOLTI Sistemi lineari a coefficienti costanti, non omogenei 3 Per prima cosa risolvo il sistema omogeneo associato x t = x + 4y y t = x + 3y Dal polinomio caratteristico A λi = λ 4 3 λ = λ λ + = λ, ottengo l autovalore doppio λ = Per trovare un autovettore u risolvo x 4 x 0 A I = =, y y 0 da cui x + y = 0 e quindi u = Cerco ora un autovettore generalizzato v, risolvendo 4 x =, y da cui x + y = Scelgo y = 0 ed ottengo v = L integrale generale del sistema omogeneo è [ xt = e t c yt + c t 0 + ]}, c 0, c R, ovvero xt = e t c + c t c yt = e t c + c t, c, c R Cerchiamo ora una soluzione particolare del sistema non omogeneo vettore dei termini noti è della forma e 3t 0 Dal momento che il ovvero e 3t pt, con pt polinomio vettoriale di grado 0, e 3 non è radice del polinomio caratteristico, posso cercare una soluzione particolare della stessa forma, cioè e 3t qt, con qt polinomio vettoriale di grado 0, ovvero costante Quindi cerco una soluzione del tipo xt = Ae 3t yt = Be 3t,

17 SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI- ESERCIZI SVOLTI 7 con A, B R Derivando e sostituendo nel sistema completo 3Ae 3t = Ae 3t + 4Be 3t + e 3t 3Be 3t = Ae 3t + 3Be 3t, da cui 3A = A + 4B + 3B = A + 3B corrispondente alla soluzione particolare xt = 0 yt = 4 e 3t A = 0 B = 4, L integrale generale del sistema completo è la somma dell integrale generale del sistema omogeneo associato e della soluzione particolare del sistema completo, e quindi si può scrivere come xt yt = e t c + c [ t + 0 ]} e 3t, c, c R o, per esteso, xt = c e t + c te t c e t yt = c e t + c te t 4 e 3t, c, c R 4 Il sistema omogeneo associato è lo stesso dell esercizio precedente e dunque l integrale generale è xt = e t c + c t c yt = e t c + c t, c, c R Cerchiamo ora una soluzione particolare del sistema completo Il vettore dei termini noti si può scrivere come e 3t + 0 Nell esercizio precedente abbiamo trovato una soluzione particolare del sistema con termine noto e 3t 0 e quindi per il principio di sovrapposizione è sufficiente sommarla ad una soluzione particolare del sistema con temine noto Questo è un vettore di costanti e quindi, dal momento che 0 non è radice del polinomio caratteristico, posso cercare una soluzione particolare dello stesso tipo, ovvero xt = A yt = B

18 8 SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI- ESERCIZI SVOLTI Sostituendo nel sistema completo otteniamo 0 = A + 4B + 0 = A + 3B A = 0 B = 3 corrispondente alla soluzione particolare 0 3 Applichiamo il principio di sovrapposizione e troviamo la soluzione particolare 0 4 e 3t del sistema completo di partenza = e 3t Concludendo, l integrale generale del sistema completo sarà somma dell integrale generale dell omogeneo associato e della soluzione particolare del sistema completo, quindi xt = e t c + c t c 0 yt = e t c + c t 3 4 e 3t, c, c R 5 Integrale generale del sistema omogeneo associato lo stesso dell esercizio precedente è xt yt = e t c + c [ t + 0 Poiché non ha autovalori complessi, cerchiamo una soluzione del sistema completo nella forma Derivando e sostituendo nel sistema completo xt = A cos t + B sin t yt = C cos t + D sin t ]} A sin t + B cos t = A cos t + B sin t + 4C cos t + D sin t + cos t C sin t + D cos t = A cos t + B sin t + 3C cos t + D sin t, da cui A = B + 4D B = A + 4C + C = B + 3D D = A + 3C Integrale generale del sistema completo xt yt = e t c + c [ t + 0 A = B = 3 C = 0 D = ]} + cos t + 3 sin t sin t

19 SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI- ESERCIZI SVOLTI 9 Imponiamo le condizioni iniziali x0 = y0 = 0, c c = 0 c = 0 c = 0 c = ed otteniamo la soluzione del problema di Cauchy xt = e t te t cos t + 3 sin t yt = te t + sin t 6 Risolvo il sistema omogeneo associato Dal polinomio caratteristico λ λ = λ 4 = λ λ 3 = λ 3λ + ottengo gli autovalori semplici λ = 3, λ = x 0 x + y = 0 λ = 3 = v y 0 = x 0 x + y = 0 λ = = v y 0 = Integrale generale del sistema omogeneo xt = c yt e 3t + c e t Poiché il termine noto è della forma e t pt, con pt vettore polinomiale di grado 0, ed il coefficiente di t nell esponente è radice semplice del polinomio caratteristico, devo cercare una soluzione del sistema completo nella forma e t qt, con qt vettore polinomiale ; di grado, ovvero xt = At + Be t yt = Ct + De t Derivendo e sostituendo Ae t At + Be t = At + Be t + Ct + De t + e t Ce t Ct + De t = At + Be t + Ct + De t A = A + C A B = B + D + C = A + C C D = B + D A = C C = B + D = A = C C B = B + D + C = B + D A = C C = B + D = A = C C = B + D + C = B + D A = B = 4 C = D = 0 ad esempio

20 0 SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI- ESERCIZI SVOLTI Integrale generale del sistema completo xt = c yt e 3t + c e t + t 4 t e t x0 = y0 = 0 c + c 4 = 0 c c = 0 Soluzione del problema di Cauchy xt = 8 e t + 8 e 3t + xt = 8 e t + 8 e 3t te t te t c = 8 c = 8 7 Integrale generale del sistema omogeneo lo stesso dell esercizio precedente xt yt = c e 3t Cerco una soluzione del sistema completo come xt = A + Be t B = B + D + 0 = A + C D = B + D 0 = A + C + + c e t yt = C + De t : Be t = A + Be t + C + De t + e t De t = A + Be t + C + De t + D = B = 0 A = C C = 3 Integrale generale del sistema completo xt = c yt e 3t + c e t + A = 3 B = 0 C = 3 D = 3 3 e t x0 = y0 = 0 c + c 3 = 0 c c + 3 = 0 Soluzione del problema di Cauchy xt = 5 e 3t + 4 e t 3 c + c = 3 c c = 6 yt = 5 e 3t 4 e t e t + 3 c = 5 c = 4

21 SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI- ESERCIZI SVOLTI Stabilità lineare 8 Il polinomio caratteristico di A è λ 3 det = λ + λ +, λ e quindi gli autovalori Si ha Re λ = Re λ = λ, = ± 3 = ± 3 i < 0 e quindi 0, 0 è asintoticamente stabile è un fuoco 9 Si ha 3 λ α det = 3 λ α = 0 3 λ per 3 λ = ± α, quindi λ = 3 α, λ = 3 + α Osserviamo che λ < 0 α, λ < 0 per α < 3 Perciò: se α < 3 0, 0 asintoticamente stabile se α = 3 0, 0 stabile perché λ = 6, λ = 0 semplice se α > 3 0, 0 instabile 0 λ deta λi = det = λ αλ + 4 α λ Per = α 6 < 0, ossia α < 4, gli autovalori sono complessi coniugati e Re λ = Re λ = α > 0 per 0 < α < 4 = 0 per α = 0 < 0 per 4 < α < 0 Per = α 6 = 0, ossia α = ±4, λ = λ = se α = 4 λ = λ = se α = 4 Per = α 6 > 0, ossia α > 4, le radici λ e λ sono reali distinte Inoltre, λ λ = det A = 4 > 0, per cui le radici sono di segno concorde Siccome λ + λ = tr A = α, sarà λ > 0, λ > 0 per α > 4 e λ < 0, λ < 0 per α < 4 Riassumendo

22 SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI- ESERCIZI SVOLTI α < 4 λ, λ R λ, λ < 0 α = 4 λ, λ R λ = λ < 0 4 < α < 0 λ, λ C Re λ = Re λ < 0 α = 0 λ, λ C Re λ = Re λ = 0 0 < α < 4 λ, λ C Re λ = Re λ > 0 α = 4 λ, λ R λ = λ > 0 α > 4 λ, λ R λ > 0, λ < 0 asintoticamente stabile, nodo stabile asintoticamente stabile, nodo stabile asintoticamente stabile, fuoco stabile stabile, non asintoticamente, centro completamente instabile fuoco instabile completamente instabile nodo instabile nstabile, non repulsivo sella α λ deta λi = det = λ α + λ + α + λ = α + 4α + = α + α 3 > 0 per α < α > 3 Per α =, λ = λ = 0, ma la molteplicità geometrica è instabile, non repulsivo Per α = 3, λ = λ = instabile Per < α < 3, Re λ = Re λ = α+ > 0 instabile, repulsivo Per α <, λ, λ R, λ λ = α + < 0 instabile sella Per α > 3, λ, λ R, λ λ = α + > 0 λ + λ = α + > 0 λ > 0, λ > 0 instabile, non repulsivo Quindi la soluzione nulla è sempre instabile e riassumendo si ha α < λ, λ R λ λ < 0 α = λ = λ R λ = λ = 0 molt alg < α < 3 λ, λ C Re λ = Re λ > 0 α = 3 λ, λ R λ = λ = > 0 α > 3 λ, λ R λ λ < 0 instabile, non repulsivo sella instabile, non repulsivo instabile, repulsivo fuoco instabile instabile, repulsivo nodo instabile instabile, non repulsivo sella α A = α α

23 SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI- ESERCIZI SVOLTI 3 ed il polinomio caratteristico deta λi = λ + αλ + α α = λ + αλ, le cui radici sono λ = 0, λ = + α Se λ = + α 0, detti v e v gli autovettori associati a λ e λ, le soluzioni sono c e λ t v + c e λ t v = c v + c e λ t v, c, c R Dunque tutte le soluzioni sono limitate in [0, + se λ = + α < 0, cioè se α < Se α =, λ = 0 è autovalore doppio Poiché la matrice A λi = ha rango, λ = 0 ha molteplicità geometrica e le soluzioni sono del tipo c v + c w + tv, c, c R, con w autovettore generalizzato Sono limitate in [0, + solo le soluzioni con c = 0 Concludendo: a tutte le soluzioni sono limitate su [0, + se α < ; b esiste almeno una soluzione non banale limitata su [0, + se α 3 Il polinomio caratteristico deta λi = λ α + λ + α α ha discriminante = 5α α + < 0, α R, quindi gli autovalori sono sempre complessi coniugati λ, = + α ± 5α α + Le soluzioni sono limitate su [0, + se la parte reale degli autovalori è non positiva, dunque se Re λ = Re λ = + α 0 α Infatti in questo caso, detto v + iv un autovettore associato a λ, le soluzioni sono c e Reλ t v cos t v sin t + c e Reλ t v sin t + v cos t, c, c R Quando Re λ = 0, le soluzioni sono limitate t R Concludendo:

24 4 SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI- ESERCIZI SVOLTI α α = tutte le soluzioni sono limitate per t [0, + tutte le soluzioni sono limitate per t R

25 SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI- ESERCIZI SVOLTI 5 Stabilità non lineare 4 a I punti critici del sistema x = f x, y = y y = f x, y = x y x + y sono i punti in cui si annulla il sistema y = 0 x y x + y = 0 y = 0 x + x = 0 P 0, 0 P, 0 Per studiare la stabilità del sistema, si può usare il teorema di stabilità in prima approssimazione, studiando la stabilità del sistema linearizzato associato Calcoliamo quindi la matrice jacobiana di F x, y = f x, y, f x, y: JF x, y = In particolare 0 x y P 0, 0 0 JF 0, 0 = e il sistema linearizzato è ẋ = y ẏ = x y Il polinomio caratteristico è λ + λ +, le cui radici sono λ, = ± 3 i Poiché Re λ = Re λ = < 0, P 0, 0 risulta essere asintoticamente stabile P, 0 JF, 0 = 0 Ponendo X = x, Y = y, otteniamo il sistema lineare omogeneo Ẋ = Y Ẏ = X Y la cui equazione caratteristica è λ + λ = 0 In questo caso gli autovalori sono λ, = ± 5 Poiché λ < 0 e λ > 0, P è instabile, ma non repulsivo è una sella b Risolvo il sistema x + y = 0 x y = 0 xx + = 0 x = y

26 6 SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI- ESERCIZI SVOLTI e trovo P 0 0, 0, P, La matrice Jacobiana di F x, y = x + y, x y è x JF x, y = Linearizzato in P 0 JF P 0 = 0, per cui otteniamo il sistema lineare omogeneo ẋ = y ẏ = x y il cui polinomio caratteristico λ + λ ha le radici λ, = ± +8 = ±3, λ =, λ = P 0 è una sella instabile Linearizzato in P JF P = 4 Ponendo X = x +, Y = y + si ottiene Ẋ = 4X + Y Ẏ = X Y λ + 5λ + = 0 λ, = 5± 5 8 = 5± 7 λ < 0, λ < 0 P è un punto critico asintoticamente stabile nodo 5 Posto F x, y = x + e αy, e x y, αe αy JF x, y = e x y e x y JF 0, 0 = α Il sistema linearizzato risulta essere x = x + αy y = x y, con equazione caratteristica λ α = 0 e dunque λ, = ± α Se α < 0, λ, λ C e Re λ = Re λ = < 0; se 0 α <, λ λ < 0; se α >, λ > 0; se α =, c è un autovalore nullo e il teorema di stabilità in prima approssimazione non fornisce informazioni Perciò se α <, 0, 0 è asintoticamente stabile, mentre se α >, 0, 0 è instabile sella

27 SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI- ESERCIZI SVOLTI 7 Esercizi di riepilogo sui sistemi 6 a La matrice 0 A = è triangolare, per cui gli autovalori sono gli elementi sulla diagonale principale, ovvero λ = ± Se λ =, per trovare un autovettore risolviamo il sistema associato ad 0 0 A I =, che corrisponde all unica equazione x y = 0 Dunque un generatore dell autospazio V è v = Se λ =, abbiamo il sistema associato ad A + I = 0, 0 corrispondente a x = 0 Dunque un generatore per l autospazio V è Quindi l integrale generale del sistema è v = 0 xt = c yt e t + c e t 0, c, c R b Uno dei due autovalori è positivo e dunque 0, 0 è instabile sella Le soluzioni limitate in futuro sono tutte quelle corrispondenti a c = 0 e c arbitrario Le soluzioni limitate in passato sono tutte quelle corrispondenti a c = 0 e c arbitrario L unica soluzione limitata è la soluzione costante xt = 0, yt = 0 t c La richiesta è che [ ] e αt xt = c yt e α+t + c e α t 0 0, per t +, 0 per ogni c, c Quindi si devono verificare le disuguaglianze ovvero deve essere α < α < 0 α + < 0,

28 8 SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI- ESERCIZI SVOLTI d x0 =, y0 = corrispondente al sistema Quindi la soluzione cercata è e ẋ = H y ẏ = H x x0 0 = c y0 + c = c = c + c = H y H x xt = e t yt = x = y x c = c = 0 Hx, y = xy + ϕx y ϕ x = y x da cui Hx, y = xy + x Le orbite sono quindi le curve di livello xy + x = c, ovvero y = x + c x 7 a Dal polinomio caratteristico α + λ det α λ = α + λα λ + = λ α + λ + α + = λ α = [λ α + ] deduciamo che esiste l unico autovalore λ = α +, contato con molteplicità Si presentano quindi i seguenti casi Se α < la soluzione nulla è asintoticamente stabile nodo, tutte le soluzioni sono limitate in futuro e nessuna tranne quella banale è limitata in passato Se α > la soluzione nulla è completamente instabile nodo instabile, tutte le soluzioni sono limitate in passato e, tranne quella banale, nessuna è limitata in futuro Se α = ho λ = 0 doppio e ha dimensione ker A = ker Dunque λ = 0 ha molteplicità geometrica e la soluzione nulla è instabile Inoltre le soluzioni sono del tipo c v + c v + tv, dove v è autovettore e v autovettore generalizzato Tutti i punti della retta passante per l origine e parallela a v sono punti critici, ciascuno dei quali rappresenta una soluzione limitata su R

29 SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI- ESERCIZI SVOLTI 9 b Se α = abbiamo l autovalore doppio λ = Calcoliamo l autospazio V risolvendo il sistema associato ad A I x 0 =, y 0 corrispondente all equazione x + y = 0 Dunque possiamo prendere come generatore di V il vettore v = Cerchiamo ora un autovettore generalizzato v, risolvendo il sistema x = y, corrispondente a x + y = Scegliamo x = 0 ed otteniamo v = 0 L integrale generale del sistema differenziale si può scrivere come [ ] xt = c yt e t + c e t 0 t +, c, c R 8 Posto F x, y = e y e x, sin αx+αy, abbiamo che F 0, 0 = 0, 0, α R, e dunque 0, 0 è un punto critico per α R Inoltre e x e JF x, y = y α cos αx α y JF 0, 0 = α 0 Osserviamo che det JF 0, 0 0, perciò, per il teorema di inversione locale, non esistono punti P 0 0, 0 in un intorno di 0, 0 tali che fp 0 = 0 Il polinomio caratteristico della matrica Jacobiana λ λ α = λ + λ α ha discriminante = + 8α Se + 8α 0, ossia α 8, Re λ = Re λ = < 0 Se + 8α > 0, ossia α > 8 distinguiamo due casi: se α > 0, λ < 0, λ > 0; se 8 < α < 0, λ < 0, λ < 0 Perciò per α < 0 0, 0 è asintoticamente stabile mentre per α > 0 0, 0 è instabile e per α = 0 il teorema di stabilità in prima approssimazione non fornisce risposte Riassumendo:

30 30 SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI- ESERCIZI SVOLTI α < 8 λ, λ C Re λ = Re λ = 8 < 0 fuoco stabile α = 8 λ = λ R λ = λ = 8 < 0 nodo stabile 8 < α < 0 λ, λ R λ, λ < 0 nodo stabile α > 0 λ, λ R λ < 0, λ > 0 sella

31 SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI- ESERCIZI SVOLTI 3 Approfondimenti 9 Derivando le relazioni x = r cos θ, y = r sin θ e sostituendo nel sistema otteniamo x = r cos θ r sin θθ = αr cos θ r sin θ y = r sin θ + r cos θθ = r cos θ + αr sin θ Moltiplicando la prima riga per cos θ, la seconda per sin θ e sommando, si ottiene r = αr Viceversa, moltiplicando la prima per sin θ, la seconda per cos θ e sommando si ottiene θ = Quindi il sistema equivale a r = αr rθ = r r = αr θ = rt = c e αt θt = t + c 30 a La soluzione costante xt t soddisfa la prima equazione Sostituendo nella seconda y = + y dy + y = dt Integrando arctan y = t + c y = tant + c ed imponendo y0 = si ottiene = tanc c = π 4 e quindi la soluzione xt = yt = tant + π 4, con t 3π 4, π 4, che è l intervallo massimale b Siccome xt = k +, k Z yt = tant + h, h R sono soluzioni ed hanno per orbite le rette verticali x = k +, sappiamo per il teorema di Cauchy che ogni altra orbita non può intersecare tali rette Dunque ogni orbita è confinata in una striscia verticale k < x < k +, di larghezza 3 H y = y H x = x 3 Hx, y = y + ϕx

32 3 SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI- ESERCIZI SVOLTI Derivando rispetto ad x otteniamo ϕ x = x 3 e quindi ϕx = 4 x4 + c Sostituendo, Hx, y = y + 4 x4 Verifichiamo che 0, 0 è stabile, ossia che ε > 0, δ > 0 tale che per ogni soluzione xt, yt che verifica x0 + y0 < δ, si ha xt + yt < ε, t [0, + Risulta e yt + 4 xt4 = y0 + 4 x04 < δ + 4 δ4 = ϕδ Perciò yt ϕδ, xt ϕδ, ossia yt + 4 xt4 yt yt + 4 xt4 4 xt4 xt + yt ϕδ + ϕδ Inoltre ϕδ 0 per δ 0 e quindi, se δ è sufficientemente piccolo, ϕδ + ϕδ < ε, il che implica la tesi 3 Risulta Hx, y = y 4 + sin x e si può osservare che tale funzione ha un minimo stretto in 0, 0 Pertanto, se ɛ è sufficientemente piccolo, risulta H 0 = minhx, y x +y = ε } > 0 Sia ora 0 < δ < ε, tale che Hx, y < H 0 se x + y < δ Se x0 + y0 < δ allora Hxt, yt = Hx0, y0 < H 0 e quindi xt + yt non può prendere il valore ε Allora, per continuità, dovrà essere xt + yt < ε, t