Università degli Studi di Bergamo Facoltà di Ingegneria. Matematica II Ingegneria Edile. Appello del 10 settembre 2007 AC = (2, 2, 2),

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1 Università degli Studi di Bergamo Facoltà di Ingegneria Matematica II Ingegneria Edile Appello del 1 settembre 7 Cognome e Nome Matr Si considerino nello spaio tridimensionale R 3 i tre punti A (3, 1, 1, B (1, 1, 1 e C (5, 1, Verificare che i vettori AB, AC e BC sono linearmente dipendenti.. Determinare le equaioni cartesiana e parametrica vettoriale del piano π passante per A, B e C. 3. Determinare l equaione parametrica vettoriale della retta r perpendicolare a π e passante per A. 1. Si ha per cui e quindi i tre vettori sono dipendenti. AB (,,, AC (,,, det 4 BC (4,,.. Il piano π ha equaione parametrica vettoriale π : x y λ + µ, λ, µ R 1 ed equaione cartesiana 3. L equaione parametrica vettoriale della retta r è π : x y. r : x y λ 1 1, λ R Sia data la matrice 1. Determinare il rango di A.. Risolvere il seguente sistema lineare: A A x 1 y Si ha rka 3. D altra parte esiste un minore di ordine 3 non nullo, poiché det dunque il rango di A è 3.

2 . Si tratta di un sistema di 4 equaioni in 3 incognite, in cui la matrice dei coefficienti ha rango 3. Inoltre la matrice completa ha anch essa rango 3, come si può verificare facilmente (la colonna dei termini noti è uguale alla seconda colonna. Dunque il sistema è risolubile ed è equivalente ad un sistema di 3 equaioni in 3 incognite con matrice dei coefficienti invertibile, dunque ammette una sola soluione. Inoltre si osserva che il sistema si può riscrivere x 1 + y la cui unica soluione è (, 1, Sia data la matrice A Determinare gli autovalori;. determinare gli autovettori; 3. stabilire se la matrice è diagonaliabile e, in caso affermativo, determinare la matrice diagonale Λ ad essa simile e la matrice di passaggio S tale che A SΛS Ricerchiamo gli autovalori: det(a λi (λ + (λ 1 dunque gli autovalori sono λ 1 autovalore semplice (e quindi regolare e λ che ha molteplicità algebrica. Non possiamo ancora sapere se la matrice è diagonaliabile, dipenderà dalla molteplicità geometrica di λ.. Ricerchiamo gli autovettori: per λ 1 si ha che v è autovettore se v e (A Iv cioè x y Per λ si ha che v è autovettore se v e x + y + x y + 3 (A + Iv x y α 1 1, α R. cioè x y x + y + x y α 1 + β 1, α, β R Poiché i due autovalori sono regolari (la molteplicità algebrica è uguale alla molteplicità geometrica, la matrice è diagonaliabile e A SΛS 1 con Λ 1 1, S

3 1.4. Sia data la curva γ di equaioni parametriche: x(t ln(1 + t y(t arctant t [, 1]. 1. Stabilire se la curva è regolare.. Stabilire se la curva è semplice. 3. Calcolare il seguente integrale di linea: γ e x ds ( 1. Si ha x(t C ([, 1] e y(t C ([, 1]; inoltre il vettore tangente (x (t, y (t mai in [, 1], dunque la curva è regolare. t 1+t, 1+t non si annulla. Poiché le funioni x(t ed y(t sono crescenti su [, 1] non esistono t 1, t [, 1] tali che (x(t 1, y(t 1 (x(t, y(t, dunque la curva è semplice. 3. Si ha γ e x ds e ln(1+t 4t (1 + t + 4 (1 + t dt 1.5. Calcolare l area dell insieme D rappresentato in figura. e ln 1+t 1 + t 1 + t dt ( 1 + t 1 + t dt dt Si ha Ora Area D D dxdy xa x ( 4x cioè A ( 1,, B (, 1. Dunque ( 1 4x Area D dy x y x 4 dy y 4x y x A : y 1 4, B : x y 1 x y x 4 ( 4x x 4 [x 18 x ] 1 dx + ( xb x dx + dy dx. xx A y x 4 ( x dx + dy dx x 1 y x 4 1 ( 1 x x 4 dx [ + log x 1 ] 8 x log log y 4x A D B 111 x A x B y x 4 y 1 x 1.6. Determinare gli eventuali punti di massimo e minimo relativi della funione f(x, y 8x 3 + y 3 3xy + 3. Poiché f C 1 (R, per il teorema di Fermat tutti i punti estremanti sono punti staionari. Ricerchiamo quindi i punti staionari: x y f(x, y 4x 3y 3y 3x y(8y 3 1

4 dunque i punti critici sono O (, ed A ( 1 4, 1. Per verificare se si tratta di punti estremanti, utiliiamo la matrice Hessiana: [ ] f x (x, y f [ ] Hf(x, y y x (x, y 48x 3 f x y (x, y f y (x, y 3 6y dunque Hf(, [ ] 3 3 e poiché det Hf(, 9 < il punto O è un punto di sella. Invece ( 1 Hf 4, 1 [ ] e dethf ( 1 4, ( 1 7 >, dunque il punto A è un punto estremante e poiché f 1 x 4, 1 1 > si tratta di un punto di minimo relativo..1. Discutere e risolvere il seguente sistema lineare in funione del parametro reale m: x + m x + y + (m 1 m + 1 x + y + (3m 5 m + 4. Utiliiamo il metodo di Gauss e trasformiamo la matrice completa in una matrice a gradini: 1 1 m 1 1 m 1 m m 1 m m 1 m m 5 m + 4 3m 6 m + 4 m m + Ora, se m la matrice è equivalente a 1 1 m 1 m 1 m+ 1 m da cui il sistema ammette una sola soluione e diventa x + m y + (m 1 m + m Se m la matrice diventa e quindi il sistema è impossibile x m 3m m y 1 m. m+ m

5 .. Sia data l applicaione lineare L : R 3 R 4 seguente: L(x, y, (x + 3y, y 4, x + y +, x. 1. Determinare la matrice B4 [L] B3 che rappresenta l applicaione L tra le basi canoniche di R 3 e R 4.. Determinare KerL e una sua base. 3. Determinare Im L e una sua base. 1. Si ha per cui L(1,, (,, 1, 1, L(, 1, (3, 1, 1,, L(,, 1 (, 4 1, 1 3 B 4 [L] B Il nucleo di L è l insieme KerL (x, y, R 3 : L(x, y, (,,, } cioè è l insieme delle soluioni del sistema omogeneo x + 3y y 4 x y 4 (x, y, (,,. x + y + 6 x Il nucleo ha quindi dimensione. 3. L immagine è generata dalle immagini dei vettori della base canonica di R 3, cioè dalle colonne della matrice B 4 [L] B3. Poiché tale matrice ha rango 3, come è facile verificare, esse costituiscono anche una base dell immagine che quindi ha dimensione Sia data la funione f(x, y x y x 4 +y (x, y (, (x, y (, 1. Stabilire se la funione f è continua in (, sulle rette y mx al variare di m R.. Stabilire se la funione f è continua in (, sulle parabole y mx al variare di m R, m. 3. Stabilire se la funione è continua in (, come funione di due variabili. 1. La funione f è continua in (, sulle rette y mx se la funione di una variabile f(x, mx è continua in x. Ora, per m si ha f(x, per ogni x R, dunque è chiaramente continua in x. Per m si ha mx 3 f(x, mx x 4 +m x x x dunque dobbiamo verificare se lim x f(x, mx f(. Si ha lim f(x, mx lim x x mx 3 x (x + m lim x mx x + m, dunque effettivamente la funione è continua in (, su tutte le rette y mx.. La funione f è continua in (, sulle parabole y mx se la funione di una variabile f(x, mx è continua in x. Per m si ha mx 4 f(x, mx x 4 +m x x 4 x dunque dobbiamo verificare se lim x f(x, mx f(. Si ha lim f(x, mx 4 x mx lim x x 4 (1 + m m 1 + m m

6 dunque il limite è diverso su ogni parabola, al variare del parametro m e comunque non è mai uguale a f(. Dunque la funione non è continua in (, sulle parabole y mx. 3. Poiché la funione non è continua sulle parabole, non è a maggior ragione continua in (, come funione di due variabili.