Funzioni di più variabili

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1 Funzioni di più variabili Dr. Daniele Toffoli Dipartimento di Scienze Chimiche e Farmaceutiche, UniTS Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 1 / 48

2 Outline 1 Generalità e rappresentazioni grafiche 2 Derivate parziali 3 Il differenziale totale 4 Alcune proprietà differenziali 5 Differenziali esatti e integrali di linea Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 2 / 48

3 Generalità e rappresentazioni grafiche 1 Generalità e rappresentazioni grafiche 2 Derivate parziali 3 Il differenziale totale 4 Alcune proprietà differenziali 5 Differenziali esatti e integrali di linea Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 3 / 48

4 Generalità e rappresentazioni grafiche Generalità e rappresentazione grafica Concetti Definizioni legge che associa a una ennupla di scalari uno scalare f : R n R o f : R n C caso particolare di funzioni vettoriali: f : R n R m (f : V W ) equazioni di stato termodinamiche: e.g. V = nrt p V = V (n, p, T ) facilmente visualizzabile per n = 2 informazioni parziali per n > 2 Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 4 / 48

5 Generalità e rappresentazioni grafiche Generalità e rappresentazione grafica Rappresentazione grafica Curve di livello f (x, y): superficie in 3D curve di livello: f (x, y) = c, con c assegnato Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 5 / 48

6 Derivate parziali 1 Generalità e rappresentazioni grafiche 2 Derivate parziali 3 Il differenziale totale 4 Alcune proprietà differenziali 5 Differenziali esatti e integrali di linea Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 6 / 48

7 Derivate parziali Differenziazione parziale Definizioni e notazione limite di funzioni a più variabili lim (x,y) (x0,y 0 ) f (x, y) = c se ε > 0 δ > 0 tale che (x, y) D (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ 2 = f (x, y) c < ε se f (x 0, y 0 ) = c = f (x, y) continua in (x 0, y 0 ) non sempre esiste. E.g. f = x2 y 2 x 2 +y 2 lim x 0 f (x, 0) = 1, lim y 0 f (0, y) = 1 Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 7 / 48

8 Derivate parziali Differenziazione parziale Definizioni e notazione Definizione Sia f (x, y) definita nel dominio D R 2, e (x 1, y 1 ) D derivata parziale di f rispetto a x nel punto (x 1, y 1 ): Analogamente: f (x, y 1 ) f (x 1, y 1 ) lim = f x x 1 x x 1 x (x 1, y 1 ) f (x 1, y) f (x 1, y 1 ) lim = f y y 1 y y 1 y (x 1, y 1 ) altre n 1 variabili costanti Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 8 / 48

9 Derivate parziali Differenziazione parziale Definizioni e notazione Interpretazione geometrica f x (x 1, y 1 ) e f y (x 1, y 1 ) tangenti a (x 1, y 1 ) nelle direzioni x e y definiscono il piano tangente a (x 1, y 1 ) Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 9 / 48

10 Derivate parziali Differenziazione parziale Definizioni e notazione Derivate di ordine superiore f f x (x, y) e y (x, y) sono funzioni di due variabili possiamo prendere le derivate parziali (derivate seconde) x ( f x ) = 2 f, x 2 y ( f y ) = 2 f y 2 derivate miste: solitamente x ( f y ) = 2 f x y, y ( f x ) = 2 f y x 2 f x y = 2 f y x per una funzione di 2 variabili: 2 derivate prime 2 2 derivate seconde 2 n derivate di ordine n (derivate prime continue) Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 10 / 48

11 Derivate parziali Differenziazione parziale Definizioni e notazione Notazioni alternative notazione compatta: f x f x ; f y f y conveniente per derivate di ordine superiore e.g. f xx 2 f x 2, f xyz = 3 f x y z... notazione usata in termodinamica: ( ) f x yz pedici per le variabili tenute costanti (f funzione di 3 variabili) Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 11 / 48

12 Derivate parziali Differenziazione parziale Esempi V = nrt p ( V p ( V T ( V n ) ) = nrt T,n p 2 p,n = nr p ) p,t = RT p f = sin x cos y + x y f x = cos x cos y + 1 y, f y = sin x sin y x y 2 f xx = sin x cos y; f yy = sin x cos y + 2 x y 3 f xy = cos x sin y 1 y 2 = f yx Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 12 / 48

13 Derivate parziali Differenziazione parziale Esempi (p + n2 a V 2 )(V nb) nrt = 0 ( V ) T p,n = nr 2nb 2 (1 ( V p ( p T ) n 2 a V = T,n ) V,n = V ) p V nb 2nb 2 (1 V ) p n 2 a V nr V nb Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 13 / 48

14 Il differenziale totale 1 Generalità e rappresentazioni grafiche 2 Derivate parziali 3 Il differenziale totale 4 Alcune proprietà differenziali 5 Differenziali esatti e integrali di linea Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 14 / 48

15 Il differenziale totale Differenziale totale Generalità Definizioni dominio: set di punti aperto tale che dati due punti P, Q D è possibile connetterli con una curva che giace interamente in D set aperto: per ogni punto del set è possibile trovare un intorno del punto che giace interamente in D set chiuso: il set complementare è aperto punto di contorno: ogni intorno del punto contiene sia punti che non appartengono a D che punti che appartengono a D punto interno: punto per il quale esiste un intorno che giace interamente in D D e dominio se ogni suo punto è interno. Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 15 / 48

16 Il differenziale totale Differenziale totale Generalità Definizione f (x, y) definita in D R 2, e (x, y) D (x + x, y + y) D f = f (x + x, y + y) f (x, y) f = f ( x, y) lim ( x, y) (0,0) f = 0 Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 16 / 48

17 Il differenziale totale Differenziale totale Generalità Definizione: f (x, y) è differenziabile in (x, y) se f = A x + B y + ε 1 x + ε 2 y A e B indipendenti da x, y lim ( x, y) (0,0) ε 1 = lim ( x, y) (0,0) ε 2 = 0 A x + B y: differenziale totale di f in (x, y) df = A x + B y f = df (piccoli x, y) Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 17 / 48

18 Il differenziale totale Differenziale totale Esempio f (x, y) = ax 2 + bxy + cy 2 f (x, y) = (2ax + by) x + (bx + 2cy) y + (a x + b y) x + (c y) y }{{}}{{}}{{}}{{} A B ε 1 ε 2 df = (2ax + by) x + (bx + 2cy) y Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 18 / 48

19 Il differenziale totale Differenziale totale Teorema Lemma Se f (x, y) ha un differenziale totale in (x, y) allora: f è continua in (x, y) A = ( ) ( ) f x e B = f y df è unico Il converso non è necessariamente vero Data f (x, y) con derivate parziali prime continue in D: f è differenziabile ovunque in D df = ( ) ( ) f x x + f y y per n variabili: df = n i=1 ( f x i ) dx i Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 19 / 48

20 Il differenziale totale Differenziale totale Esempi z = x y dz = 1 y dx x y 2 dy u = x 2 + y 2 + z 2 du = 1 u (xdx + ydy + zdz) x = r sin θ cos φ dx = sin θ cos φdr + r cos θ cos φdθ r sin θ sin φdφ Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 20 / 48

21 Il differenziale totale Differenziale totale Esempi Volume di un fluido: V = V (n, p, T ) dv = ( ) ( ) ( ) V V V dp + dt + dn p n,t T n,p n p,t = κvdp + αvdt + V m dn α = 1 V κ = 1 V V m = ( V n ( V ) T n,p ( ) V p n,t ) p,t (espansività termica) (compressibilità isoterma) (volume molare) Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 21 / 48

22 Il differenziale totale Differenziale totale Derivate direzionali derivata lungo la direzione ˆv f differenziabile in r = (x, y) e ˆv una direzione derivata direzionale f ˆv : f ˆv = lim f (r + hˆv) f (r) h 0 h in 2 dimensioni: f ˆv = ( ) ( f x cos θ + f y ) sin θ Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 22 / 48

23 Il differenziale totale Differenziale totale Punti stazionari Teorema punti stazionari (critici): punti per i quali df = 0 f (x, y) continua con derivate prime e seconde continue e sia (x 0, y 0 ) D punto critico di f : B 2 AC < 0 A + C < 0 massimo relativo B 2 AC < 0 A + C > 0 minimo relativo B 2 AC > 0 B 2 AC = 0 punto di sella indeterminato A = 2 f x 2 (x 0, y 0 ), B = 2 f x y (x 0, y 0 ), C = 2 f y 2 (x 0, y 0 ) Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 23 / 48

24 Alcune proprietà differenziali 1 Generalità e rappresentazioni grafiche 2 Derivate parziali 3 Il differenziale totale 4 Alcune proprietà differenziali 5 Differenziali esatti e integrali di linea Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 24 / 48

25 Alcune proprietà differenziali Proprietà differenziali Derivata totale f (x, y) definita in D e differenziabile se x e y sono funzioni della variabile t: x = x(t); y = y(t) esiste df dt, derivata totale di f : df dt = ( f x ) ( ) dx f dy dt + y dt data y = f (x 1, x 2,..., x n ): ( ) ( ) ( ) df f dx1 f = dt x 1 dt + dx2 f x 2 dt dxn x n dt n ( ) f dxi = x i dt i=1 Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 25 / 48

26 Alcune proprietà differenziali Proprietà differenziali Derivata totale Esercizi 1 z = x 2 + y 3 ; x = e t ; y = e t. Trova dz dt per sostituzione usando la chain rule 2 walking on a circle x 2 + y 2 = a 2 x = a cos ( θ; ) y = a sin θ df dθ = x f y y ( ) f x x 3 caso particolare: z = f (x, y), y = y(x) df dx = ( ( ) f x )y + f dy y dx x y Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 26 / 48

27 Alcune proprietà differenziali Proprietà differenziali Cambio di variabili indipendenti z = f (x, y) in D e differenziabile se x = x(u, v); y = y(u, v) ( ) ( ) f f = u v x ( ) ( ) f f = v x u y y ( ) x u ( ) x v v u ( ) f + y ( ) f + y x x ( ) y u ( ) y v v u Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 27 / 48

28 Alcune proprietà differenziali Proprietà differenziali da coordinate cartesiane a polari x = r cos θ; y = r sin θ ( ) f r ( ) f θ θ r ( ) ( ) f x f = x y r + y y x r ( ) ( ) f f = y + x x y y x Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 28 / 48

29 Alcune proprietà differenziali Proprietà differenziali da coordinate cartesiane a polari r = x 2 + y 2 ; θ = arctan y x ( ) f x ( ) f y y x = = ( ) f r ( ) f r θ θ ( ) f cos θ θ ( ) f sin θ + θ r r sin θ r cos θ r Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 29 / 48

30 Alcune proprietà differenziali Proprietà differenziali Cambio di variabili indipendenti equazione di Laplace ( 2 f = 0) in due dimensioni importante nelle scienze fisiche forze conservative in coordinate cartesiane: [ 2 in coordinate polari: [ 2 r r x y 2 ] f = 0 r ] r 2 θ 2 f = 0 Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 30 / 48

31 Alcune proprietà differenziali Proprietà differenziali Variazioni di x e y che lasciano f (x, y) costante F (x, y) = 0 definisce implicitamente y = y(x) gradiente della curva di livello: ( ) y = F x = ( x F y -1 rule: ( ) y x z z ( ) x z y ) ( z x y z y ) x ( ) z = 1 y x Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 31 / 48

32 Alcune proprietà differenziali Proprietà differenziali Variazioni di x e y che lasciano f (x, y) costante esempi z = x 2 y 3 : ( ) y = 2 x z 3 r = x 2 + y 2 : ( ) y = x x r y dv = ( ) ( ) V T p dt + V p dp: T ( ) p T V = ( V T ( V p ) ) y x p T = α κ Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 32 / 48

33 Alcune proprietà differenziali Proprietà differenziali Cambio di variabile costante z = f (x, y) e u = g(x, y) in D e differenziabili variazioni in x e y tali che u(x, y) = c ( ) ( ) ( ) z z z = + x x y u y x ( ) y x u u = x 2 + y 2 ( ) ( ) f f = x ( ) f x u x y y y x Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 33 / 48

34 Differenziali esatti e integrali di linea 1 Generalità e rappresentazioni grafiche 2 Derivate parziali 3 Il differenziale totale 4 Alcune proprietà differenziali 5 Differenziali esatti e integrali di linea Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 34 / 48

35 Differenziali esatti e integrali di linea Forme differenziali e differenziali esatti Definizioni e proprietà differenziale esatto forma differenziale: F (x, y)dx + G(x, y)dy F (x, y), G(x, y) arbitrarie differenziale esatto: z(x, y) tale che: ( ) z F (x, y) = x ( ) z G(x, y) = y y x dz = F (x, y)dx + G(x, y)dy Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 35 / 48

36 Differenziali esatti e integrali di linea Forme differenziali e differenziali esatti Definizioni e proprietà Equazione di reciprocità di Eulero F (x, y)dx + G(x, y)dy è esatto se: [ ] [ ] F (x, y) G(x, y) = y x y x equivalentemente: [ 2 ] z(x, y) y x y [ 2 ] z(x, y) = x y x Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 36 / 48

37 Differenziali esatti e integrali di linea Forme differenziali e differenziali esatti Definizioni e proprietà y cos xdx + sin xdy è un differenziale esatto: { F (x, y) = y cos x F (x,y) z(x, y) = y sin x G(x, y) = sin x y G(x,y) x = cos x = cos x Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 37 / 48

38 Differenziali esatti e integrali di linea Forme differenziali e differenziali esatti Relazioni di Maxwell du = TdS pdv T = ( ) U S V p = ( ) U V S ( ) ( ) T p = V S S V dh = TdS + Vdp T = ( H S V = ( H p ) p ) S ( ) ( ) T V = p S S p Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 38 / 48

39 Differenziali esatti e integrali di linea Forme differenziali e differenziali esatti Relazioni di Maxwell da = SdT pdv S = ( ) A T p = ( ) A V V T ( ) S V T = ( ) p T V dg = Vdp SdT S = ( ) G T ( ) V = G p T p ( ) S p T = ( ) V T p Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 39 / 48

40 Differenziali esatti e integrali di linea Integrali di linea o curvilinei Generalità Definizione C: cammino di integrazione (y = f (x)) F (x, y): proprietà associata ad ogni punto di C e.g. densità di massa; forza... Integrale curvilineo (o di linea): I = C F (x, y)ds Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 40 / 48

41 Differenziali esatti e integrali di linea Integrali di linea o curvilinei Metodi di calcolo C: y = f (x),x [a, b] I = C F (x, y)ds = b a F (x, y(x)) 1 + ( ) dy 2 dx dx Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 41 / 48

42 Differenziali esatti e integrali di linea Integrali di linea o curvilinei Esempi F (x, y) = xy, C: y = x2, x [0, 1] 2 I = F (x, y)ds = C ( ) x 2 x ( ) dy 2 dx dx = x x 2 dx = ( 2 + 1) 1 15 hint: cambio di variabile u = 1 + x 2 Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 42 / 48

43 Differenziali esatti e integrali di linea Integrali di linea o curvilinei Metodi di calcolo Forma alternativa I = C [F (x, y)dx + G(x, y)dy] C: y = y(x), x [a, b] I = = b a b a [ F (x, y(x))dx + G(x, y(x)) dy [ F (x, y(x)) + G(x, y(x)) dy dx ] dx dx ] dx Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 43 / 48

44 Differenziali esatti e integrali di linea Integrali di linea o curvilinei Metodi di calcolo Forma alternativa I = [F (x, y)dx + G(x, y)dy] C C: x = x(t); y = y(t); t [t A, t b ] (forma parametrica) tb [ I = F (x(t), y(t)) dx dt + G(x(t), y(t))dy t A dt tb [ = F (x(t), y(t)) dx + G(x(t), y(t))dy dt dt t A ] dt dt ] dt Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 44 / 48

45 Differenziali esatti e integrali di linea Integrali di linea o curvilinei dipendenza dal cammino di integrazione I = C [ ydx + xydy] C : y = 1 x dy = d dx (1 x)dx = dx I = = C 1 0 [ ydx + xydy] = (1 x 2 )dx = 2 3 x=1 x=0 [ (1 x)dx + x(1 x)( dx)] Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 45 / 48

46 Differenziali esatti e integrali di linea Integrali di linea o curvilinei dipendenza dal cammino di integrazione I = C [ ydx + xydy] C: x = cos θ; y = sin θ; θ [0, π 2 ] I = = θ= π 2 θ=0 π 2 0 [ sin θ( sin θdθ) + cos(θ) sin(θ) cos θdθ] [sin 2 θ + sin θ sin 3 θ]dθ = π Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 46 / 48

47 Differenziali esatti e integrali di linea Integrali di linea o curvilinei indipendenza dal cammino di integrazione I = C [F (x, y)dx + G(x, y)dy] F (x, y)dx + G(x, y)dy differenziale esatto df = F (x, y)dx + G(x, y)dy I = I è indipendente da C = C B A [F (x, y)dx + G(x, y)dy] df = f (B) f (A) Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 47 / 48

48 Differenziali esatti e integrali di linea Integrali di linea o curvilinei Esempio I = C [(9x2 + 4y 2 + 4xy)dx + (8xy + 2x 2 + 3y 2 )dy] da A = (0, 0) a B = (1, 2) F (x,y) differenziale esatto: ( y = G(x,y) x ) f (x, y) = 3x 3 + 4y 2 x + 2x 2 y + y 3 + c C : y = 2x, x [0, 1]: I = f (1, 2) f (0, 0) = 31 I è indipendente da C I = x 2 dx = 31 Dr. Daniele Toffoli (DSCF, UniTS) Concetti di calcolo 48 / 48