Esercizio: pendoli accoppiati. Soluzione

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1 Esercizio: pendoli accoppiati Si consideri un sistema di due pendoli identici, con punti di sospensione posti alla stessa quota in un piano verticale. I due pendoli sono collegati da una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo uguale alla distanza fra i punti di sospensione. Si ponga per semplicita l = l = m = m = g =. Si verifichi che la configurazione corrispondente ai due pendoli fermi nel loro punto piu basso e di equilibrio stabile per il sistema e si studino le piccole oscillazione intorno a tale configurazione. Si supponga poi che per t = 0 i pendoli siano nel loro punto piu basso, uno dei due abbia velocita v e l altro velocita nulla. Si dimostri che, se k, dopo un certo tempo il pendolo con velocita iniziale v e quasi fermo e quasi tutta l energia cinetica e trasferita all altro (fenomeno dei battimenti). Soluzione Siano A e B i punti di sospensione dei due pendoli posti nel piano verticale ad una stessa quota e sia d = AB. Fissiamo un sistema di assi cartesiani con origine in A, asse delle x lungo AB e asse delle y diretto come la gravita (cfr. fig. ). La molla che unisce i due pendoli ha lunghezza di riposo d. Il sistema ha due gradi di liberta ed e naturale scegliere come coordinate lagrangiane gli angoli (q, q ), q [ π, π), q [ π, π). Se (x, y ), (x, y ) sono le coordinate cartesiane di P e P si ha Quindi l energia cinetica e L energia potenziale associata al peso su P e P e x = sin q x = d + sin q y = cos q y = cos q () T = (ẋ + ẏ ) + (ẋ + ẏ ) = q + q () U (q ) + U (q ) = ( cos q ) + ( cos q ) (3)

2 dove lo zero dell energia potenziale e stato fissato nel punto piu basso. L energia potenziale associata alla molla e U (q, q ) = k [ (d sin q + sin q ) + (cos q cos q ) d] (4) L energia potenziale del sistema e allora U(q, q ) = U (q ) + U (q ) + U (q, q ) (5) Verifichiamo che la configurazione (0, 0) e un punto di minimo stretto per U e quindi e una configurazione di equilibrio stabile per il sistema. Lo sviluppo di Taylor al secondo ordine di U nell intorno di (0, 0) e U(q, q ) (q + q ) + k(q q ) (6) che e una forma quadratica definita positiva cosicche (0, 0) e un minimo stretto. Risulta inoltre U U U = + k, = + k, = k (7) q q q q La lagrangiana dei piccoli moti attorno a (0, 0) e allora dove L 0 (q, q, q, q ) = T ij q i q j Ũ ij q i q j (8) T ij = ( 0 0 Calcoliamo frequenze proprie e modi normali. L equazione ) ij ij + k k Ũ ij = k + k det(ũij λ T ij ) = λ ( + k)λ + k + = 0 (0) ha soluzioni λ =, λ = + k, cosicche le frequenze proprie sono ω =, ω = + k. Gli autovettori corrispondenti c i = (c i, c i ), i =,, soddisfano il sistema omogeneo (9) ( + k λ i )c i kc i = 0 kc i + ( + k λ i )c i = 0 ()

3 I vettori c i saranno allora univocamente determinati imponendo che abbiano norma uno nella metrica definita dalla energia cinetica. Si ha cosi c = (, ) c = (, ) () La matrice C che ha per colonne gli autovettori c i C = ( ) (3) definisce una trasformazione di coordinate q i = j C ijq j tale che nelle nuove coordinate Q i il moto e semplicemente Q (t) = a cos(t + φ ) Q (t) = a cos( + kt + φ ) (4) Si tratta quindi di due moti armonici unidimensionali indipendenti con frequenze date dalle frequenze proprie. Il moto nelle variabili q, q risulta allora una sovrapposizione dei due precedenti moti armonici pesata dalla matrice C q (t) = b cos(t + φ ) + b cos( + kt + φ ) q (t) = b cos(t + φ ) b cos( + kt + φ ) (5) dove b i = a i. Il moto risultante e la sovrapposizione di due oscillazioni di cui una e in concordanza di fase (quando b = 0) e una in opposizione di fase (quando b = 0). Imponendo ora le condizioni iniziali richieste q (0) = q (0) = q (0) = 0 e q (0) = v, si ottiene la soluzione particolare q (t) = v ( sin t + sin ) + kt + k q (t) = v ( sin t sin ) + kt + k (6) Si osservi che + k sin + kt = sin + kt + O(k, t) (7)

4 dove Quindi nell approssimazione k si puo scrivere dove sup O(k, t) < ck (8) t q (t) v ( sin t + sin ) + kt = v cos ɛt sin ωt q (t) v ( sin t sin ) + kt = v sin ɛt cos ωt (9) ɛ = + + k k, ω = + + k + k (0) Nell approssimazione scelta risulta cosi che q (t), q (t) sono il prodotto di una funzione lentamente variabile di periodo T = π e una rapidamente variabile di periodo T = π π ɛ ω (cfr. fig. ). La prima rappresenta l inviluppo del grafico di q i (t) e modula l ampiezza della oscillazione facendola variare lentamente. Per tempi vicini a t = 0 il primo pendolo oscilla con ampiezza massima v e il secondo con ampiezza prossima a zero. Per tempi vicini a t = T la situazione si inverte, cioe il primo 4 pendolo e quasi fermo e il secondo oscilla con ampiezza massima. Dopo un tempo dell ordine di T l energia cinetica e di nuovo trasferita al primo pendolo e cosi via. In definitiva dopo ogni intervallo di tempo dell ordine di T si verifica un trasferimento di energia 4 cinetica da un pendolo all altro.

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