FM210 - Fisica Matematica I

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1 Corso di laurea in Matematica - Anno Accademico 2/4 FM2 - Fisica Matematica I Prima Prova di Esonero [--2]. (2 punti). Si consideri il sistema lineare ẋ = αx + x 2 + α, ẋ 2 = x + 2α, ẋ = α 2 x 2 con α R. Al variare di α in R, a. si scriva la soluzione generale del sistema; b. si trovino, se esistono, i punti di equilibrio del sistema, e se ne studi la stabilità. Soluzione: Definiamo A := α α 2 e b := α 2α e x := (x, x 2, x ) cosicchè ẋ = Ax + b. Gli autovalori di A sono e, λ := α, ( + i)α ( i)α 2 λ ± := ±iα, ( i)α ( + i)α 2 sono gli autovettori di A associati a λ, λ +, λ, rispettivamente. Consideriamo separatemente il caso α (in cui A è invertibile e i tre autovalori sono distinti) da quello α =. a. - Supponiamo che α. Sia a.. - Risolviamo l equazione omogenea: P := ẋ h = Ax h. ( + i)α ( i)α ( i)α 2 ( + i)α 2 la matrice di cambiamento di base associata ai tre autovettori del sistema, e facciamo il cambiamento di base y h := P x h (P è invertibile poichè α ) cosicchè ẏ h = α iα iα y h y h (t) = e αt a e iαt a 2 e iαt a

2 con a R, a 2 C e a = a 2 (questo segue dalla condizione che x h (t) R). La soluzione generale del problema omogeneo ha la forma x h (t) = P y h = e αt a + (e iαt a 2 + e iαt a ) α(( + i)e iαt a 2 + ( i)e iαt a ) α 2 (( i)e iαt a 2 + ( + i)e iαt a ), con a 2 = a, a R. a..2 - Troviamo una soluzione particolare: αx + x 2 = α + x = 2α α 2 x 2 = poichè α x 2 =, x = 2α, x = α α a.. - Quindi, se α, la soluzione generale dell equazione è e αt a + (e iαt a 2 + e iαt a 2) + α α x(t) = α(( + i)e iαt a 2 + ( i)e iαt a 2). α 2 (( i)e iαt a 2 + ( + i)e iαt a 2) 2α dove a R e a 2 C. a.2 - Se α =, allora con (a, a 2, a ) R. ẋ = x 2 ẋ 2 = x ẋ = x = a, x 2 = a t + a 2, x = 2 a t 2 + (a 2 )t + a, b - I punti di equilibrio del sistema sono le soluzioni di α x + x 2 + α = x + 2α = α 2 x 2 =. b. - Se α, allora x = α α 2α Inoltre A è diagonalizzabile e la parte reale dei suoi autovalori è α, e, rispettivamente. Quindi x è stabile se e solo se α, ma poichè α, questa condizione è equivalente a α <.. b.2 - Se α =, allora { x2 = x = 2

3 x = è un punto di equilibrio per ogni x R. Usando la soluzione esplicita 2 x(t) = a t 2 + (a 2 )t + a a t + a 2 a vediamo che se x () = a o x 2 () = a 2, allora x(t) diverge per t. Inoltre, x R, δ >, (x (), x 2 (), x ()) R tali che x () x, x 2 (), x () δ e x (). Quindi x è instabile. x 2. (2 punti). Si consideri il sistema meccanico unidimensionale su R ẍ = x 2 ( + log x ), dove x 2 log x x= va interpretato come uguale a. a. Si determini una costante del moto. b. Si disegni il grafico dell energia potenziale. c. Si determinino i punti di equilibrio del sistema e se ne studi la stabilità. d. Si disegni il grafico delle traiettorie nel piano delle fasi. e. Si identifichino i dati iniziali corrispondenti a moti periodici, e se ne scriva il periodo nella forma di un integrale definito. f. Si identifichino i dati iniziali corrispondenti a moti aperti, e si discuta se esistono o no globalmente. g. [Facoltativo.] Si scelga tra i punti di equilibrio un punto stabile, e si considerino le piccole oscillazioni attorno ad esso: si calcoli il valore limite del periodo nel limite di piccole oscillazioni. Soluzione: cosicchè a - Definiamo Un modo di trovare U(x) è di calcolare U(x) = Definiamo l energia x U(x) := x log x U (x) = (x 2 + x 2 log x ) = ẍ. dr r 2 ( + log r ) = x E := 2ẋ2 + U(x) dr r 2 + x ( + log x ) = x log x. cosicchè Ė = ẋẍ + ẋu (x) =. inoltre b - I punti critici di U sono x :=, x ± := ±e / U(x ) =, U(x ± ) = e, lim U(x) =, lim x U(x) = x

4 e U (x ) =, U (x ± ) = ±e / x è un massimo e x + è un minimo. Inoltre U(x ) > U(x ) > U(x + ), U (x) per ogni x [x, x + ] e x è un punto di flesso. Il grafico di U(x) è c - I punti di equilibrio del sistema sono i punti critici di U x :=, x ± := ±e /. x + è un minimo isolato, è stabile, x è un massimo isolato è instabile. stabilità di x. Prendiamo un dato iniziale Studiamo la con δ > piccolo, cosicchè Il tempo per arrivare ad x(t) = ɛ > δ/2 è τ(δ/2, ɛ) = e poichè x δ/2 e U (x), ɛ δ/2 dx τ(δ/2, ɛ) <, x è instabile. x() = δ 2, ẋ() = δ 2 E = δ2 8 + δ 8 log δ 8. 2(δ2 /8 + δ /8 log(δ/2) x log x ) δ /8 log(δ/2) x log x ) d - Usando il grafico di U(x), troviamo le traiettorie nel piano delle fasi:

5 e - I moti periodici sono quelli dove E [U(x + ), U(x )) \ {U(x )} = [ e /, e /) \ {}, e il dato iniziale nelle è t.c. x() > x. Il periodo di questi moti è dato da T = xb 2 dx x a dove x a e x b sono le due soluzioni dell equazione con la proprietà x a,b > x. E x log x U(x a,b ) = E f - I moti aperti sono quelli dove E > U(x ) = e, o { E < U(x ) = e x() < x = e / o { E = U(x ) = e x() < x = e /. Il tempo per arrivare a è τ = x dx 2(E x log x ) inoltre 2(E x log x ) x x log x dove /( x log x ) è integrabile a τ < e di conseguenza il moto non è definito globalmente. g - Studiamo le piccole oscilazioni intorno ad x + : abbiamo U(x + + η) = U(x + ) + η2 2 U (x + ) + O(η ) = U(x + ) + 2 e / η 2 + O(η ) il moto è vicino a quello di un oscillatore armonico con pulsazione U (x + ) il periodo delle piccole oscilazioni è 2π T = U (x + ) = 2π e /6. Per una discussione piu dettagliata di questo argomento, vedere la nota piccole oscillazioni.pdf disponibile online sul sito del corso: html. (6 punti). Sia dato il sistema meccanico su R 2 : ẍ = x U(x) associato alla forza conservativa di energia potenziale U(x) = cosh x + cos x 2 (qui x = (x, x 2 ) è un punto di R 2 ). a. Si determinino i punti di equilibrio del sistema b. Si enunci la definizione di punto di equilibrio stabile e di punto di equilibrio instabile. c. Si dimostri la stabilità o instabilità dei punti di equilibrio identificati al punto, usando la definizione di stabilità. 5

6 Soluzione: a - I punti di equilibrio del sistema sono i punti critici di U { sinh x = sin x 2 = x =, x 2 = kπ per k Z. b - Un punto di equilibrio x è stabile se ɛ >, δ > tale che: (x(), ẋ()) B δ ( x, ) (qui B δ ( x, ) è la palla di raggio δ centrata in ( x, )), il moto x(t) con dato iniziale (x(), ẋ()) soddisfa t. (x(t) x, ẋ(t)) ɛ x è instabile se non è stabile, se ɛ > tale che: δ >, (x(), ẋ()) B δ ( x, ) e t > tali che dove x(t) è il moto con dato iniziale (x(), ẋ()). (x( t) x, ẋ( t)) > ɛ, c - L equazione del moto è { ẍ = sinh x ẍ 2 = sin x 2 che è un sistema di due equazioni disaccoppiate. Se definiamo V (x ) := cosh(x ), allora la prima equazione si scrive ẍ = V (x ) inoltre x = è un massimo isolato di V, ( x, x 2 ) è instabile. Piú esplicitamente, dato δ >, consideriamo il dato iniziale x () = δ 2, ẋ () = δ 2, x 2() =, ẋ 2 () = x 2 (t) = e il tempo perchè x arrivi in x (t) = ɛ per ɛ > è τ(δ/2, ɛ) = ɛ δ/2 dx 2(δ2 /8 cosh(δ/2) + cosh(x )) inoltre per x δ/2, cosh(x ) cosh(δ/2) τ(δ/2, ɛ) <. Se prendiamo ad es ɛ = /2, allora δ >, scegliamo (x (), ẋ (), x 2 (), ẋ 2 ()) come sopra, e sappiamo che x (τ(δ/2, )) =, se t = τ(δ/2, ) allora Quindi ( x, x 2 ) è instabile. (x ( t), ẋ ( t), x 2 ( t), ẋ 2 ( t)) (,, kπ, ) x ( t) =. 6