Dinamica del punto. Lavoro, Energia, Momenti. Dott.ssa Elisabetta Bissaldi

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1 Dinamica del punto Lavoro, Energia, Momenti Dott.ssa Elisabetta Bissaldi

2 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Energia e Lavoro Fino ad ora si è studiato il moto dei corpi (puntiformi) attraverso le leggi di Newton e quindi delle forze Equazioni del moto: spostamento e velocità in funzione del TEMPO. MA: Approccio che può diventare complicato, poiché in molti casi si verifica che la forza agente è anch essa variabile nel tempo Approccio alternativo: metodo più semplice e più potente introducendo i concetti di ENERGIA e LAVORO In pratica si determina la dipendenza dallo SPAZIO invece che dal tempo ENERGIA: Quantità di massima importanza in fisica Energia cinetica velocità Energia potenziale posizione Energia termica temperatura Energia = Capacità di compiere un lavoro

3 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Concetti introduttivi Energia e Lavoro L energia di un corpo può variare solo se avviene un TRASFERIMENTO DI ENERGIA dall ambiente circostante al corpo stesso o Un trasferimento può avvenire per esempio tramite Forze (scambio di LAVORO MECCANICO) Calore (scambio di ENERGIA TERMICA) In un SISTEMA ISOLATO, in cui NON AVVENGONO scambi con l ambiente esterno, l energia SI CONSERVA, ovvero RIMANE INVARIATA

4 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Lavoro di una forza LAVORO DI UNA FORZA COSTANTE Il lavoro W svolto da una forza F costante su di un corpo che compie uno spostamento Δs con la stessa direzione e verso della forza è definito dal prodotto scalare: W = F Δs = F Δs UNITÀ DI MISURA J = Joule F F Δs Il lavoro è una QUANTITÀ SCALARE

5 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Lavoro di una forza LAVORO DI UNA FORZA COSTANTE Il lavoro W svolto da una forza F costante su di un corpo che compie uno spostamento Δs con una direzione che forma un angolo θ rispetto alla forza è definito dal prodotto scalare: W = F Δs = F Δs cos θ = F cos θ Δs = F s Δs F s = F cos θ: Componente della forza nella direzione dello spostamento Solo la componente della forza nella direzione dello spostamento compie lavoro! F F s Δs F θ Si osserva che se una forza è PERPENDICOLARE allo spostamento il LAVORO RISULTA NULLO (cos 90 = 0).

6 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Lavoro di una forza Nell esempio in figura, solo la forza F compie lavoro La forza peso mg e la reazione vincolare n NON COMPIONO LAVORO

7 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Lavoro di una forza LAVORO DI UNA FORZA VARIABILE Nel caso in cui una forza F vari in funzione dello spazio e che quindi la traiettoria sia curvilinea, avremo che in ciascun intervallo infinitesimo di traiettoria ds, il lavoro infinitesimo risulterà pari a: dw = F ds = F ds cosθ La forza F è assunta costante nell intervallo infinitesimo di traiettoria ds F θ ds ds θ ds F θ B A F

8 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Il LAVORO COMPLESSIVO di una forza dal punto A al punto B è dato dall integrale di linea della forza lungo la traiettoria W = න dw = න F ds = න F cos θ ds = න F S ds A B Lavoro di una forza «INTEGRALE DI LINEA» della forza A B In generale, il lavoro dipende non solo dalla posizione iniziale e finale, ma da tutta la traiettoria! A B A B Nel caso in cui su un corpo agiscano N forze F i di risultante R = σ i N F i Lavoro complessivo = SOMMA DEI LAVORI delle singole forze B N W = න A R ds = i B N න A F i ds = i B N න A dw i = W i i

9 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Lavoro di una forza Dalla definizione di lavoro si deduce che il lavoro ha un segno Se 0 < θ < π/2 lavoro positivo, detto «LAVORO MOTORE» (favorevole al moto) Se π/2 < θ < π lavoro negativo, detto «LAVORO RESISTENTE» (opposto al moto) Se θ = π/2 lavoro nullo (forza e spostamento sono perpendicolari) W > 0 F θ s F θ W < 0 s W massimo quando forza e spostamento hanno stessa direzione e verso

10 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A In coordinate cartesiane, possiamo scomporre lungo gli assi: F = F x u x + F y u y + F z u z ds = dx u x + dy u y + dz u z Il lavoro infinitesimo sarà quindi: dw = F x dx + F y dy + F z dz o Da cui B x B y B z B W = න dw = න F x dx + න F y dy + න F z dz A Lavoro di una forza x A y A z A Il lavoro è ADDITIVO, ovvero il lavoro è pari alla somma dei lavori delle singole forze agenti.

11 Lavoro di una forza In generale: il lavoro DIPENDE DALLA TRAIETTORIA seguita dal punto Matematicamente è dato dall integrale di linea, ovvero dal limite della somma di tanti contributi dw = F ds infinitesimi, calcolati lungo la traiettoria. Caso unidimensionale: x B W = න F x dx F x Area = ΔW = F x Δx x A F x Lavoro x A Δx x x B x A x B x Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A

12 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Potenza Corrisponde al LAVORO DI UNA FORZA PER UNITÀ DI TEMPO POTENZA ISTANTANEA P = dw dt o Nel caso in cui la forza F sia costante: P = dw dt = F ds dt = F v = F S v Caratterizza la rapidità di erogazione del lavoro UNITÀ DI MISURA W = Watt 1 W = 1J/1s POTENZA MEDIA P m = ഥP = W Δt Lavoro totale diviso tempo durante cui il lavoro è svolto A parità di lavoro, la potenza è maggiore se è svolto in un tempo inferiore

13 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Energia Cinetica Utilizzando la definizione di lavoro e la seconda legge di Newton si ottiene: dw = Fcosθds = F T ds = ma T ds = m dv dt ds = m ds dt Relazione esplicita tra lavoro e variazione della velocità In forma integrale per un PERCORSO FINITO: B v Bmvdv 1 W = න dw = න = A v A 2 m v B 2 v 2 A dv = mvdv = E K,B E K,A = ΔE K DEFINIZIONE DI ENERGIA CINETICA di un corpo di massa m e velocità v: E K = 1 2 mv2 Forma di energia connessa allo stato di moto di un corpo UNITÀ DI MISURA J

14 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Teorema dell Energia Cinetica Se su un corpo di massa m agisce una forza F, il lavoro W compiuto da tale forza tra il punto A e il punto B, definito come W AB = A B F ds, è responsabile della variazione di energia cinetica: E K,B E K,A = W AB Il lavoro compiuto da una forza comporta una variazione di energia cinetica. o Definizione generale di energia come capacità di un corpo a compiere lavoro Energia cinetica vista come Lavoro necessario per portare alla velocità v un corpo inizialmente fermo Lavoro cambiato di segno per fermare un corpo di massa m in moto con velocità v

15 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Teorema dell Energia Cinetica Un lavoro motore W > 0 causa un aumento dell energia cinetica del corpo Un lavoro resistente W < 0 causa una diminuzione dell energia cinetica del corpo Il teorema si può applicare in qualunque situazione (anche quando la forza F è variabile) Ricordando la definizione di quantità di moto p = mv è possibile riscrivere l energia cinetica come: Analogamente E K = p2 2m p = 2mE K

16 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A RIEPILOGO Energia e lavoro Lavoro: manifestazione dell azione di una forza, dunque dell INTERAZIONE con l ambiente circostante Si parla sempre di LAVORO SCAMBIATO in un sistema o NON SI DICE che un sistema «possiede» lavoro Si parla sempre di ENERGIA POSSEDUTA da un sistema o L energia viene modificata dall interazione con l ambiente esterno o VARIAZIONE DI ENERGIA = Effetto misurabile dell interazione

17 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Lavoro della Forza Peso Si consideri un corpo soggetto alla forza peso P che ha una traiettoria qualunque da A a B. Il lavoro svolto dalla forza peso è dato da: B B y B dy y Ԧr A A P A Ԧr AB W = න P ds = න A A = mg y B y A = E P,B E P,A mg u y ds = mg න y A Ԧr B B P B E P y = mgy è L ENERGIA POTENZIALE della forza peso Il lavoro della forza peso dipende solo dal dislivello (NON dalla traiettoria da A a B)

18 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Lavoro della Forza Peso Dalla relazione precedente abbiamo: W = ΔE P Il lavoro è pari all opposto della variazione di energia potenziale. L energia potenziale E P dipende unicamente dalla posizione lungo l asse verticale, quindi dalla coordinata y del punto (con asse verticale e positivo verso l alto) Si assume E P = 0 per y = 0! Se il corpo scende di quota (spostamento «naturale»), P compie lavoro motore: W > 0 E P diminuisce ΔE P < 0 Se il corpo sale di quota, P compie lavoro resistente: W < 0 E P aumenta ΔE P > 0

19 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Si consideri un corpo di massa m posto alla base di un piano inclinato di un angolo θ, che abbia una velocità iniziale v Che altezza raggiunge il corpo? Esercizio 4.1 v

20 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Lavoro della Forza Elastica Si consideri una forza elastica espressa nella forma F k = k x u x parallela all asse x e con x 0 = 0. Spostamento lungo x: ds = dx u x Lavoro della forza elastica B W = න F k ds = k න A A B x u x u x dx = k න A B xdx = 1 2 k x B 2 x A 2 = ΔE P E P (x) = 1 2 kx2 : ENERGIA POTENZIALE ELASTICA Se il corpo si avvicina al centro (posizione «naturale») W > 0 (lavoro motore) E P diminuisce ΔE P < 0 Se il corpo si allontana dal centro W < 0 (lavoro resistente) E P aumenta ΔE P > 0 Questo avendo assunto che per una deformazione nulla l energia potenziale è nulla.

21 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 4.2 Si consideri un corpo collegato a una molla ferma nell origine di un sistema di riferimento. Ad esso viene applicata una forza costante F C = F C u x. Il corpo si porta quindi alla posizione x > 0. Si calcolino: 1. L andamento della velocità in funzione della posizione; 2. L estensione massima della molla, ovvero la posizione in cui il punto si ferma.

22 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Lavoro di una forza di attrito Si ricava il lavoro compiuto dalla forza di attrito dinamico, ricordando che il versore u v è parallelo e concorde allo spostamento ds: B W = න F att ds = න A A B μ d N u v ds = μ d N න A L integrale indica la lunghezza del percorso, ovvero la traiettoria effettiva del punto materiale Il lavoro DIPENDE DAL PERCORSO o Non è possibile esprimere il lavoro come differenza dei valori di una funzione delle coordinate nei punti A e B Il lavoro della forza di attrito è SEMPRE NEGATIVO (LAVORO RESISTENTE) La forza di attrito è detta FORZA DISSIPATIVA B ds

23 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Si consideri un punto materiale di massa m che passa nell origine di un asse x orizzontale con velocità v 0, concorde con l asse. Lungo lo spostamento agisce una forza di attrito dinamico (con μ d ). Si calcoli: 1. Dopo quanto tempo il punto si ferma; 2. In quale posizione si ferma. Esercizio 4.3

24 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Quesiti di riepilogo (1) Quale affermazione delle seguenti è l unica corretta? a) Il lavoro è dato dal prodotto vettoriale di F e ds; b) Il lavoro è dato da Fs, con F forza e s spostamento; c) Un lavoro positivo fa aumentare l energia cinetica; d) Il lavoro non è mai negativo.

25 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Quesiti di riepilogo (1) Quale affermazione delle seguenti è l unica corretta? a) Il lavoro è dato dal prodotto vettoriale di F e ds; b) Il lavoro è dato da Fs, con F forza e s spostamento; c) Un lavoro positivo fa aumentare l energia cinetica; d) Il lavoro non è mai negativo.

26 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 4.4 Una slitta viene trascinata da una corda per 10 m. La trazione sulla corda è di 60 N e l angolo tra la corda ed il terreno è di Calcolare il lavoro della forza di trazione.

27 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 4.5 Si considerino 3 forze F 1 = 5 N, F 2 = 9 N, ed F 3 = 7. 8 N, applicate ad una cassa di massa m = 3 kg come mostrato in figura. La cassa viene spostata di 3 m verso sinistra. Si calcolino: 1. Il lavoro totale fatto dalle 3 forze sulla cassa; 2. La variazione di energia cinetica della cassa; 3. La velocità finale, assumendo che la cassa parta da ferma.

28 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 4.6 Si consideri una cassa posta ad una quota h su un piano inclinato con θ = 30. La cassa parte da ferma e scivola per 1 m fino alla base del piano inclinato. Si calcolino: 1. La velocità finale della cassa, in assenza di attrito; 2. La velocità finale della cassa, in presenza di attrito dinamico con coefficiente μ d = h θ

29 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 4.7 Una cassa di massa m = 15 kg è trascinata in salita su di un piano inclinato per d = 5. 7 m a velocità costante, fino ad una quota h = 2. 5 m. Si calcolino: 1. Il lavoro fatto dalla forza peso e dalla tensione del filo in assenza di attrito; 2. Il lavoro fatto dalla forza peso e dalla tensione del filo, in presenza di attrito dinamico con coefficiente μ d = 0. 1.

30 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 4.8 Un blocco di massa m = 400 g scivola, con velocità costante v = 0. 5 m/s su un piano orizzontale privo di attrito. Il blocco si arresta comprimendo una molla di costante elastica k = 750 N/m. 1. Di quanto viene compressa la molla?

31 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Un elicottero recupera un uomo di massa m = 72 kg, sollevandolo di 15 m, con una accelerazione pari a 0. 1 g. Si calcolino: 1. Il lavoro fatto sull uomo: a) dall elicottero; b) dalla forza peso; Esercizio La velocità e l energia cinetica dell uomo un attimo prima di entrare nell elicottero.

32 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Si consideri un blocco di massa M = 6 kg che viene tirato sul pavimento, partendo da fermo, da una forza F = 12 N orientata lungo lo stesso asse dello spostamento. Si calcoli: 1. La velocità del blocco dopo che ha percorso un tratto di s = 3 m a) Nel caso il pavimento sia liscio; Esercizio 4.10 b) Nel caso il pavimento sia scabro, con μ d =

33 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Un blocco di massa M = 250 kg è lasciato cadere su una molla verticale avente costante elastica k = 2. 5 kn/cm. Il blocco rimane poggiato sulla molla che si comprime di 12 cm prima di fermarsi. Si calcolino: 1. Il lavoro che viene svolto durante la compressione: a) Dalla molla b) Dalla forza di gravità Esercizio 4.11

34 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 4.12 La cabina di un montacarichi a pieno carico ha una massa complessiva di 1200 kg e deve salire di 54 m in 3 min. Il contrappeso ha una massa di 950 kg. Si supponga che il movimento avviene a velocità costante. Si calcoli: 1. La potenza richiesta al motore quando il cavo solleva la cabina.

35 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A In generale il lavoro dipende dal percorso effettuato (come nel caso del lavoro compiuto da una forza di attrito radente) Si considerino una forza F e due traiettorie l 1 e l 2 che vanno dal punto A al punto B Se il lavoro della forza non dipende dalla traiettoria, ma solo dai punti iniziale e finale: B W AB = න A Forze conservative B F ds = න l1 A La forza F si definisce CONSERVATIVA B F ds = න F ds l2 A o Per calcolare il lavoro di una forza conservativa si può usare un percorso l qualunque o Il lavoro è esprimibile come differenza dei valori che la funzione delle coordinate assume in A e in B A l 1 B l2

36 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Forze conservative Il lavoro di una forza conservativa dipende unicamente dal punto iniziale e finale della traiettoria Invertendo il senso di percorrenza della traiettoria, il lavoro CAMBIA DI SEGNO B W AB = න F ds = න A B A F ds = W BA Quindi per un CIRCUITO CHIUSO il lavoro è nullo: B ර F ds = න F ds + න A B A F ds = 0 DA UNA FORZA CONSERVATIVA SU UN PERCORSO CHIUSO NON SI PUÒ RICAVARE LAVORO

37 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Forze conservative Poiché il lavoro dipende unicamente dalla posizione iniziale e finale si può definire per ciascuna forza conservativa una funzione scalare dipendente dalla posizione, L ENERGIA POTENZIALE, tale che: B W AB = න F ds = E P B E P A A = ΔE P Non esiste una unica formula per E P Dipende dalla forza conservativa a cui si riferisce.

38 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Forze conservative Energie potenziali relative al lavoro di alcune forze analizzate: Energia potenziale della Forza peso: E p y = m g y Energia potenziale della Forza Elastica E p (x) = 1/2 k x 2 o Sono definite a meno di una costante additiva che dipende dal sistema di riferimento o Utilizzando normalmente solo ΔE p la componente aggiuntiva si semplifica Portando un corpo da A a B, la forza applicata svolge un lavoro che viene immagazzinato nel sistema come ΔE p Energia che può essere ritrasformata in lavoro della forza conservativa riportando il corpo da B ad A

39 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Se il lavoro della forza dipende dalla traiettoria, si parla di FORZE NON CONSERVATIVE Per queste forze: o NON VALE la proprietà di INVARIANZA del lavoro rispetto al percorso o NON È POSSIBILE esprimere il lavoro tramite le differenze dei valori di una funzione delle coordinate NON SI PUÒ introdurre l energia potenziale Resta comunque valido il Teorema dell Energia Cinetica! Forze di attrito Forze non conservative o Classe particolare delle forze non conservative o Dette anche FORZE DISSIPATIVE

40 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Conservazione Energia Meccanica Si consideri un sistema nel quale agiscono solo FORZE CONSERVATIVE 1. Dal teorema dell energia cinetica W = ΔE K = E K B E k A 2. Dalla definizione di energia potenziale W = ΔE P = E P A E P B Uguagliando le precedenti equazioni, si ricava la DEFINIZIONE DI ENERGIA MECCANICA E M di un sistema: E M = E p + E k La somma di energia CINETICA e POTENZIALE di un corpo su cui agiscono solo forze conservative è COSTANTE durante il moto E M = costante PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELL ENERGIA MECCANICA o Potranno cambiare separatamente E P e E K, ma somma rimane costante Durante il moto avviene una TRASFORMAZIONE da una forma di energia all altra

41 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Lavoro delle Forze Dissipative Bilancio energetico in presenza di forze non conservative F nc Si applica il teorema dell energia cinetica, in generale sempre valido W c + W nc = E k B E k A = ΔE k Per le forze conservative, il lavoro vale: W c = ΔE P = E P A E P B Da cui: W nc = E k B + E P B E k A + E P A = E M B E M A = ΔE M o In presenza di forze non conservative, L ENERGIA MECCANICA NON SI CONSERVA o La VARIAZIONE DI ENERGIA MECCANICA risulta uguale al LAVORO DELLE FORZE NON CONSERVATIVE W nc = ΔE M

42 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 4.13 Si studi il moto del corpo mostrato in figura nelle 5 situazioni illustrate, utilizzando il concetto di energia meccanica. In particolare si ricavino le espressioni per le velocità nelle situazioni 4 e Il corpo si trova in quiete (v = 0) su un piano orizzontale; 2. Al corpo è applicata una forza F verso l alto, di modulo maggiore della forza peso; 3. La forza F smette di agire; il corpo cade da un altezza h; 4. Il corpo si trova ad una quota h/2; 5. Il corpo giunge nuovamente a terra. y h N ԦF P

43 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 4.14 Si valuti l energia meccanica per un punto materiale che si muova sotto l influsso di una forza elastica di moto armonico secondo la legge oraria x t = A sen ω t + φ 0.

44 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 4.15 Si consideri un punto materiale posizionato ad un altezza h = 25 cm che scivola lungo un piano inclinato di un angolo θ = 20, scabro (μ d = 0. 15), partendo da fermo. 1. Si calcoli la velocità con cui arriva alla base del piano inclinato, attraverso lo studio del bilancio energetico.

45 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Ricerca analitica di una forza Dal momento che per le forze conservative si ha Si può dunque scrivere F x = ΔE P Δx Passando agli infinitesimi: ΔE p x = W = F x Δx F x = de P dx La forza lungo la direzione x è data dalla derivata della funzione energia potenziale rispetto a x, cambiata di segno. In termini vettoriali: F = E P dx u x + E P dy u y + E P dz u z Operazione gradiente della funzione scalare E P x, y, z E P E P x tg α = de P dx

46 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 4.16 Si consideri un pendolo semplice formato da un filo di lunghezza L = 1 m e da un punto materiale di massa m. Il punto materiale viene lasciato libero di muoversi, partendo da fermo da una quota h 1, corrispondente ad un angolo θ 1 = 15 rispetto alla posizione verticale di equilibrio. 1. Esprimere la velocità in funzione della posizione angolare. a) Quanto vale e in quale punto è massima la velocità? b) Quanto vale la velocità del punto materiale nella posizione θ 2 = 10? 1 2

47 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 4.17 Si consideri un punto materiale di massa m che si muove su un piano orizzontale liscio privo di attrito con velocità v 0. Quando passa nella posizione A esso inizia a salire lungo una guida circolare liscia di raggio R, che giace in un piano verticale. Si calcolino: 1. La velocità del punto e la reazione della guida in B; 2. La velocità del punto e la reazione della guida in C; 3. Il valore minimo di v 0 affinché il punto materiale arrivi in C mantenendo il contatto con la guida.

48 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Momento di un vettore Si consideri un generico vettore v, applicato in un punto P DEFINIZIONE DI MOMENTO di v rispetto ad un altro punto O (detto polo) M O = OP v = r v Risulta ORTOGONALE al piano definito dai vettori r e v Modulo: M O = OP v sen θ = h v o h = OP sen θ = OH = BRACCIO DEL VETTORE v rispetto ad O o La retta contenente v è detta RETTA DI APPLICAZIONE di v M O O h H r P θ v

49 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Momento di un vettore Al variare della distanza della retta di applicazione del vettore F 1 dal polo, o al variare del modulo del vettore F 1 stesso, il vettore M 1 varia solo in modulo, ma rimane sempre centrato nel polo scelto. Comunque si muova il vettore v lungo HP il vettore M O non cambia, poiché OH rimane lo stesso

50 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Momento di un vettore M O cambia se si cambia il polo stesso Si introduce un nuovo polo O M O = O P v = O O + OP v = O O v + M O M O Ԧr O O M O r P Ԧv

51 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Momento angolare DEFINIZIONE DI MOMENTO ANGOLARE L = r mv = r p m: massa del punto materiale r: raggio tra il punto materiale e il polo O considerato v: velocità del punto materiale UNITÀ DI MISURA 1 Nms o Poiché risulta che r = r t e v = v t, anche L = L t o Detto anche «momento della quantità di moto» Se si cambia polo (da O a O ): L O = r p = r + O O p = L O + O O p L O r O O L O r v

52 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Momento di una forza DEFINIZIONE DI MOMENTO di una forza M = r F r: raggio tra il punto di applicazione della forza e il polo O considerato UNITÀ DI MISURA 1 Nm F: Forza applicata in un punto Nel caso vi siano più forze applicate nello stesso punto, il momento complessivo risulta pari al momento della risultante delle forze R Se si cambia polo (da O a O ): M O = r F = r + O O F = M O + O O F M = r F i = r F i = r R i i M O r O O M O r F

53 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Il momento di una forza dipende dall origine del sistema di riferimento e dal punto ove la forza è applicata Si vedrà in seguito che la scelta dell origine risulta molto importante negli studi di corpi rigidi o φ: Angolo tra la forza F e il vettore r, ovvero tra l origine e il punto di applicazione della forza o d = r sen φ Braccio del momento o della leva Solo la componente della forza ORTOGONALE a r produce momento Momento di una forza o La componente della forza lungo r non produce momento

54 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Si valuti la variazione del momento angolare rispetto al tempo dl dt = d(r mv) dt = dr dt mv + r m dv dt Se il polo è fermo nel sistema di riferimento in cui avviene il moto, allora dr dt Teorema del Momento Angolare = v e il primo prodotto vettoriale si annulla! TEOREMA DEL MOMENTO ANGOLARE dl dt = r m dv dt = r ma = r F = M O La derivata del momento angolare rispetto al tempo è pari al momento della forza o SOLO SE entrambi sono calcolati rispetto al medesimo polo fisso in un sistema di riferimento inerziale Se il momento delle forze è nullo, o se F r, il momento angolare risulta costante L = costante

55 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Teorema del Momento Angolare TEOREMA DEL MOMENTO DELL IMPULSO t ΔL = න Mdt = න 0 0 o ԦJ: Impulso della forza t dl = Mdt t r F dt = r න F dt = r ԦJ 0 La variazione del momento angolare è uguale al MOMENTO DELL IMPULSO applicato al punto Valido quando la forza è applicata per tempi brevi Tutti i teoremi visti in quest ultima parte risulteranno fondamentali per la dinamica dei SISTEMI DI PUNTI MATERIALI.

56 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 4.18 Una massa M = 2 kg scivola su una superficie orizzontale liscia con v 1 = 4 m/s e va a finire contro una molla, comprimendola fino a fermarsi completamente. Dal punto in cui comincia a comprimere la molla in poi vi è un attrito di modulo 15 N, e la costante elastica della molla è k = 10 4 N/m. 1. Di quanto si è compressa la molla?

57 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 4.19 Un blocco di massa M = 2 kg è poggiato contro una molla posta alla base di un piano inclinato con una pendenza di 30 e privo di attrito. La molla, avente costante elastica k = N/cm è dapprima compressa di 20 cm, quindi lasciata libera. 1. Quanto si allontana il blocco sul piano inclinato?

58 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Un blocco di massa 5 kg viene fatto salire lungo un piano inclinato con velocità iniziale 8 m/s. Il blocco si ferma dopo 3 m lungo il piano, che è inclinato di 30. Si calcolino: 1. La variazione di energia cinetica; 2. L energia potenziale; 3. Il lavoro della forza di attrito; 4. Il coefficiente μ d. Esercizio 4.20

59 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 4.21 Una molla posta alla base di un piano inclinato può essere compressa di 2 cm se viene applicata una forza di 270 N. Un blocco di massa 12 kg, inizialmente fermo in cima al piano inclinato, che risulta privo di attrito ed inclinato di 30 sull orizzonte, viene lasciato cadere. Il blocco si arresta dopo aver compresso la molla di 5. 5 cm. Si calcolino: 1. Lo spostamento totale del blocco lungo il piano inclinato; 2. La velocità finale del blocco quando tocca la molla.

60 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 4.22 Una pallottola da 30 g, con velocità iniziale di 500 m/s, penetra per 12 cm in una parete in muratura prima di fermarsi. Si calcolino: 1. La variazione in energia meccanica della pallottola; 2. Il valore della forza esercitata dalla parete, assumendola costante.

61 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 4.23 Un pacco di massa 4 kg sale lungo un piano inclinato di 30 con energia cinetica iniziale di 128 J. Il coefficiente di attrito dinamico tra pacco e piano inclinato vale μ d = Quanto vale lo spostamento complessivo del pacco lungo il piano inclinato?

62 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 4.24 Una bambina che pesa 267 N scende per uno scivolo lungo 6. 1 m che forma un angolo di 20 con il piano orizzontale. Il coefficiente di attrito dinamico vale Si calcolino: 1. L energia dissipata in energia termica dalla forza di attrito; 2. La velocità all arrivo, sapendo che la bambina parte dall alto con una velocità pari a m/s.

63 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 4.25 Un punto materiale di massa m = 2. 5 kg è attaccato all estremo di una molla di costante elastica k = 120 N/m e lunghezza a riposo l 0 = 30 cm. L altro estremo della molla è fissato al punto O. Il sistema si trova su un piano orizzontale e ruota con velocità angolare costante ω = 4 rad/s attorno ad O. Si calcoli: 1. Il raggio della circonferenza descritta dal punto materiale a) Si discuta il caso in cui l 0 0.

64 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Un punto materiale di massa m = 500 g è sospeso tramite un filo verticale ed è collegato al suolo da una molla di costante elastica k = 70 N/m, che si trova in condizioni di riposo. Si taglia il filo. Si calcolino: 1. La massima distanza percorsa dal punto; 2. La posizione in cui si raggiunge la massima velocità; 3. La massima velocità raggiunta; Esercizio Prima di tagliare il filo, il periodo di oscillazione nel caso in cui il punto venga spostato dalla posizione di equilibrio.

65 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Un oscillatore armonico semplice è formato da un blocco di massa m = 2 kg attaccato da una molla avente k = 100 N/m. Al tempo t 1 = 1 s, la posizione e la velocità del blocco sono rispettivamente x(t 1 ) = m e v(t 1 ) = ms. La legge oraria dell oscillatore si esprime come: Si calcolino: 1. L ampiezza delle oscillazioni; Esercizio 4.27 x t = A cos ωt + φ 0 2. Il valore di posizione e velocità al tempo t = 0.

66 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 4.28 Un blocco di peso 14 N, che può scivolare senza attrito su una rampa inclinata di 40, è sostenuto da una molla fissata alla cima della rampa, di lunghezza a riposo l 0 = m e costante elastica k = 120 N/m. Si calcolino: 1. La distanza dalla cima alla quale il blocco si assesta in equilibrio; 2. Il periodo di oscillazione nel momento in cui il blocco venga spostato dalla posizione di equilibrio.

67 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) A.A Esercizio 4.29 Un blocco è appoggiato sulla superficie orizzontale di una tavola vibrante che si muove orizzontalmente di moto armonico semplice con frequenza di 2 Hz. Il coefficiente di attrito statico tra blocco e piano d appoggio è Qual è la massima ampiezza del moto armonico semplice ammissibile per evitare lo slittamento del blocco?