3 4.4 Lavoro compiuto da forze variabili

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1 3 4.4 LVORO COMPIUTO D FORZE VRIBILI Parte I 1 Cap 4.1- Lavoro ed energia bbiamo visto come applicare le leggi della dinamica in varie situazioni. Spesso però l analisi del moto spesso risulta complicata o in altri casi si verifica che la forza agente è variabile nel tempo (e quindi anche l accelerazione). Esiste un approccio alternivo all analisi del moto che si realizza introducendo i concetti di lavoro ed energia Lavoro di una forza costante Lavoro di una forza costante Il lavoro svolto da una forza F è definito dal seguente prodotto scalare: L = (W) = F s = F scosθ = (Fcosθ) s = F s s ovvero il lavoro è pari al prodotto della componente della forza nella direzione dello spostamento, moltiplicato per lo spostamento stesso. F θ F s s Dalla definizione se una forza è perpendicolare allo spostamento il lavoro risulta nullo. Tale definizione comporta che il lavoro ha un segno: se l angolo θ tra la forza e lo spostamento è θ 90 il lavoro è positivo altrimenti sarà negativo; in quest ultimo caso la componente della forza nella direzione dello spostamento è di conseguenza opposto allo spostamento stesso. Unità di misura: per il lavoro si usa il Joule e 1 Joule = 1 Newton 1m ed è la stessa unità di misura dell energia. Parte II Lavoro compiuto da forze variabili Lavoro compiuto da forze variabili Lavoro compiuto da forze variabili (lungo il percorso) Lavoro ed energia 1

2 5 (4.3) LVORO SVOLTO D UN MOLL Estendiamo la definizione usando gli integrali Se lo spostamento è diretto lungo x si ha: L = x f F x dx è il lavoro compiuto in uno spostamento sull asse x. In generale per una forza ed uno spostamento con qualunque direzione si ottienecheselaforzaèun integrale di linea B F dspercuiscomponendo si ha F = F x î+f y ĵ+f zˆk per calcolare il lavoro dobbiamo prima considerare lo spostamento infinitesimo ds = dx î+dy ĵ+dz ˆk di conseguenza il lavoro infinitesimo è dl = F ds = F x dx+f y dy+f z dz. Possiamo ricondurreilcasogenericoadunasommadi3integrali: L = r f r i dl = x f F x dx+ y f y i F y dy+ z f z i F z dz ( r i = î+y i ĵ+z iˆk e rf = x f î+y f ĵ+z fˆk sono i vettori posizione iniziale e finale) Il lavoro è additivo, ovvero il lavoro è pari alla somma dei lavori delle singole forze agenti. Vediamo alcune applicazioni: 4 (4.2) Lavoro della forza peso Calcoliamo il lavoro per uno spostamento generico: L = B F ds = mg B yb ( mg)ĵ ds = y dy = mg(y y B ) Il lavoro della forza peso dipende solo dal dislivello (non dipende dal percorso) 5 (4.3) Lavoro svolto da una molla Le molle seguono la legge di Hooke F=-kx che descrive ad esempio il caso di una molla che si può muovere lungo l asse x. Il lavoro necessario a spostare una molla dalla sua posizione di riposo (che assumiamo essere x=0) è L = B (F el )û x ds = xf ( kx)dx = 1 2 kx2 x f = 1 2 k(x2 f x2 i ) Lavoro ed energia 2

3 7 POTENZ Parte III Teorema del lavoro e dell energia cinetica Definiamo come Energia Cinetica la forma di energia connessa allo stato di moto di un corpo e si definisce come K = (E k ) = 1 2 mv2 e si misura anch essa in Joule. Il teorema stabilisce che L= E k = E k,f E k,i ovvero che il lavoro compiuto da una forza comporta una variazione di energia cinetica. Questa espressione permette di definire anche l energia (in generale) come la capacità di un corpo a compiere un lavoro. La definizione generale del lavoro (per comodità considero solo uno spostamento lungo x) è : L = x f F x (x)dx e F x = ma x L = x f ma x dx esplicitiamo la funzione integranda: ma x dx = m dv x dt dx = mdv x dx dx dt dx = = mv x dv x dx dx = mv xdv x avendo usato le regole di derivazione delle funzioni composte. Quindi si ottiene L = x f F x (x)dx = v x,f v x,i mv x dv x = [ 1 2 mv2 x] v x,f v x,i Se teniamo conto anche delle altre componenti risulterà quindi L = 1 2 mv2 f 1 2 mv2 i = E k = K Di conseguenza il teorema si può applicare in qualunque situazione (ad esempio quando F ed a sono variabili). Pertanto abbiamo dimostrato il teorema, che stabilisce che l energia cinetica aumenta se il lavoro è positivo o diminuisce se il lavoro è negativo. In altre parole possiamo anche dire che l energia cinetica è pari al lavoro necessario a portare alla velocità v un corpo inizialmente fermo o il lavoro cambiato di segno per fermare un corpo di massa m in moto con velocità v. 7 Potenza Definiamo come Potenza la rapidità con la quale viene sviluppato un lavoro nel tempo ovvero in termini matematici: P =< P >= L t (Potenza media) P = dl dt (Potenza istantanea) La potenza si misura in Watt (W): 1W=1J/1s Dalla stessa definizione è possibile dare una unità di misura alternativa per l energia: L =< P > t Watt x secondi = Joule (energia) ad esempio: 1 wattora (1 watt 1 hr) = 1 W 3600 s= 3600 J e analogamente per i multipli. Legame Potenza-Forza Lavoro ed energia 3

4 8 ESERCIZIO P = dl dt = d dt ( F ds) = F d s dt = F v (per F costante) Verifiche Quale affermazione delle seguenti è l unica corretta? 1. Il lavoro è dato dal prodotto vettoriale di F e s 2. Il lavoro è Fs, con F forza e s spostamento 3. Un lavoro positivo fa aumentare l energia cinetica 4. Il lavoro non è mai negativo La 3) è quella giusta 8 Esercizio Esercizio Una cassa di M=15 Kg è trascinata in salita su una piano rampa liscia a velocità costante, per una distanza d= 5.7 m e fino ad una altezza h=2.5 m rispetto al punto di partenza, ed infine si arresta. Calcolare: 1. il lavoro svolto dalla forza peso; 2. il lavoro della tensione T della fune usata. Soluzione: 1) la forza peso è costante quindi il lavoro è dato da L = P d = mgcos(90 + θ)d = mgsinθd e θ è l inclinazione della rampa rispetto all orizzonte data anche da sinθ = h d quindi L = mgdh d = mgh = 15Kg9.8m/s 2 2.5m = 368J 2) La tensione della fune T non è nota quindi non possiamo sapere se è una forza costante a meno che non risolviamo la dinamica del sistema (quindi fare il bilancio delle forze ecc.) Tuttavia possiamo usare il teorema del lavoro e dell energia nella forma generica e applicata a tutte le forze agenti: L = E k = 0 perchè il corpo parte da fermo e si ferma alla fine. L = ( P + T + N) ds = L P +L N +L T Il primo termine è già noto, N è la reazione normale del piano che essendo normale è perpendicolare allo spostamento che è parallelo al piano. Quindi L N = 0 ed in definitiva L P +L T = 0 L T = L P = +368J Lavoro ed energia 4

5 11 ESERCIZIO 9 Problema 7.8 Problema 7.8 Un blocco di massa M=0.4 Kg scivola, con velocità costante v=0.5 m/s, su un piano orizzontale privo di attrito. Il blocco si arresta comprimendo una molla collocata sul suo percorso. Se la costante elastica è k=750 N/m di quanto viene compressa la molla? Il lavoro per comprimere una molla è L = x f F(x)dx = x f ( kx)dx = 1 2 k(x2 f x2 i ) e nel nostro caso = 0 è la posizione a riposo della molla e x f è la posizione finale ignota. pplichiamo il teorema L = K = 1 2 kx2 f e per l en. cinetica E k = 1 2 (Mv2 f Mv2 i ). La velocità finale è v f = 0 quindi 1 2 kx2 f = 1 2 Mv2 i da cui x 2 f = Mv2 i M k x f = k v i = 1.2cm. 10 Problema 7.17 Problema 7.17 Un elicottero recupera un uomo di massa M=72 Kg, sollevandolo di 15 m, con una accelerazione pari a 0.1g. Calcolare il lavoro fatto sull uomo: a) dall elicottero; b) dalla forza peso; c) la velocità e l energia cinetica dell uomo un attimo prima di entrare nell elicottero. Durante la salita si ha T Mg = Ma il lavoro fatto dall elicottero è il lavoro fatto dalla tensione della fune W = L = h 0 Tdxricavando T dall eq. della dinamica T = M(g + a) = 72( )g = 79.2 g N L el = T h = J = J L P = Mgh = J L tot = L el +L P = E k = 1 2 Mv2 f L tot = L J e v f = tot M = 5.4 m/s 11 Esercizio Un blocco di massa M è tirato da fermo da una forza F. Considerando che M=6Kg e F=12N, calcolare la velocità del blocco dopo aver percorso un tratto di s=3m, sia nel caso del piano liscio che il Lavoro ed energia 5

6 13 ESERCIZIO 7.31 (ED.VI) caso del piano scabro, con µ d = Nel caso il piano sia liscio e senza attrito possiamo utilizzare il teor. lavoro-en.cinetica dal momento che si vuole sapere solo la velocità finale (cambiava totalmente la risoluzione se si voleva conoscere il tempo impiegato): il lavoro complessivo è L = ( F+ N+ P) s ma N e P sono a s quindi risulterà L = Fs = E k e poichè v i = 0 allora si ha Fs = 1 2 Mv2 f da cui ricaviamo v2 f = 2Fs M = m 2 /s 2 per cui v f = 12m/s = 3.5m/s Nel secondo caso agisce anche la forza di attrito che risulta essere costante e pari a F a = µ d N = µ d Mg ed il lavoro totale è L = (F F a )s = Fs µ d Ns = Fs µ d Mgs con il segno meno che nasce dal fatto che la forza di attrito ha verso opposto allo spostamento. In realtà tutte le forze di attrito producono lavori negativi in quanto oppongono resistenza al moto e tendono a ridurre l energia cinetica. Facciamo i conti: F a = N = 8.82N quindil = (F F a )s = ( ) 3J = E k vf 2 = 2(F Fa)s M = 3.18m 2 /s 2 v f = 1.8m/s 12 Esercizio 22P-Halliday cap.7-34 Un blocco di 250 Kg è lasciato cadere su una molla verticale avente costante elastica k=2.5 kn/cm. Il blocco rimane poggiato sulla molla che si comprime di 12 cm prima di fermarsi. Durante la compressione quale lavoro viene svolto (a) dalla molla, (b) dalla forza di gravità (c) qual era la velocità del blocco al momento dell urto con la molla? (d) raddoppiando la velocità quanto diventa la compressione della molla? k = 2.5 kn/cm = N/m a) Lavoro molla: L m = 1 2 k(x2 f x2 i ) = 1 2 kx2 = (0.12) 2 J b) Lavoro gravita L = mgh > 0 non sapendo h possiamo usare il teorema lav-en. cinetica: L = L p +L m = 0 L p = L m 13 Esercizio 7.31 (ed.vi) La cabina di un montacarichi a pieno carico ha una massa complessiva di 1200 kg e deve salire di 54 m in 3 min. Il contrappeso ha una massa di 950 kg. Supponendo il movimento a velocità costante trovare la potenza richiesta al motore quando il cavo solleva la cabina. Complessivamente se la cabina sale (lavoro negativo), il contrappeso scende (lavoro positivo) e si ha che L M Mg 54 + mg 54 = 0 (non varia l en. cintetica) per cui il lavoro del motore è L M = ( ) 9,8 54 = kj la potenza è L t = = 735 W Esercizio 7.46 (ed VI) Lavoro ed energia 6

7 13 ESERCIZIO 7.31 (ED.VI) Una cassa di massa 230 kg è sospesa tramite una fune lunga 12,0 m. Spingendo orizzontalmente sulla cassa con una forza F variabile, la spostiamo di 4 m sul piano orizzontale. 1. a) Qual è l intensità della forza nella posizione finale? 2. b) Qual è il lavoro totale fatto sulla cassa? 3. c) Qual è il lavoro fatto dalla sola peso e dalla fune? Per i punti b) e c) tenere conto che all inizio e alla fine la cassa è ferma. Nella posizione finale abbiamo una situazione di equilibrio il diagramma delle forze ci suggerisce le seguenti equazioni: x: F Tsinθ = 0 e y: +Tcosθ Mg = 0 pertanto T = Mg cosθ e F = Tsinθ = Mgtanθ e tanθ = d L per cui F = 230 9, = 751,3 N b) Il teorema del lavoro-en.cinetica ci dice che L = L F + L P + L T = E k = 0 pertanto il lavoro totale è nullo quindi L P +L F = M g d+ F d = Mgh+Fd Lavoro ed energia 7