Lavoro ed Energia. Prof. Francesco Di Capua a.a. 2018/19

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1 Lavoro ed Energia Prof. Francesco Di Capua a.a. 2018/19

2 .qualche esercizio di dinamica

3 Blocco lanciato su un piano inclinato Si consideri un blocco lanciato su un piano inclinato liscio con una velocità di 5 m/s. Il piano è inclinato di un angolo α=20. Quanto spazio percorre il blocco prima di fermarsi? x mgsenα = ma x a x = gsenα v f = v in + at f = 0 Quando il blocco si ferma accelerazione negativa essendo il moto in salita v f = v in (gsenα)t f = 0 t f = v in gsenα = 5m /s 9.8m /s 2 sen(20 ) t f =1.49s x f = x i + v in t f at f 2 = 0 + 5(m /s)1.49s 1 2 gsenα(1.49s)2 = 3.73m

4 Blocco in caduta da un piano inclinato Un blocco di 3kg parte da fermo dalla sommità di un piano inclinato di α=30 e scorre per una distanza di 2.0 m verso il basso in un tempo t=1.5 s. Determinare: L accelerazione del blocco La Forza di attrito agente sul blocco Il coefficiente di attrito dinamico tra il blocco ed il piano La velocità del blocco dopo aver scivolato 2 m x Accelerazione del blocco Il blocco con il piano ha un attrito per cui la sua accelerazione non è data dal termine gsenα ma c è anche il contributo (negativo) della forza di attrito Dai dati del problema x f = 2m = x i + v in t f at f 2 = a(1.5s)2 a = x f x i 2 = 2m 2 =1.78m /s2 t f (1.5s)

5 Blocco in caduta da un piano inclinato(2) Determiniamo la forza di attrito agenti sul blocco Forze = ma F x = P x F k = mgsenα F k = ma F k = mgsenα ma F k = m(gsenα a) F k = (3kg)(9.8m /s 2 sen m /s 2 ) = 9.37N Coefficiente di attrito tra il blocco ed il piano F k = µf N F N = mgcosα = (3kg) 9.8m /s 2 cos30 = 25.46N µ = F k F N = 9.37N 25.5N = Velocità del blocco dopo aver percorso 2m v f = v in + at = 0 + (1.78m /s 2 )(1.5s) = 2.67m /s

6 Blocchi su un piano orizzontale T m 1 m 2 F f k1 f k 2 Due blocchi (m 1 =12kg ed m 2 =18kg) sono collegati da una fune e sono trascinati da una forza orizzontale F=68 N. Il coefficiente di attrito di entrambi I blocchi e la supeficie è µ=0.1 Determinare: - L accelerazione di tutto il sistema - La tensione T del filo Per m 1 F x = T f k1 = m 1 a f k1 = µf N = µm 1 g f k1 = (0.1)(12kg)(9.8m /s 2 ) =11.8N

7 Blocchi su un piano orizzontale(2) T m 1 m 2 F f k1 f k 2 Per m 2 F x = F T f k 2 = m 2 a f k 2 = µf N = µm 2 g f k 2 = (0.1)(18kg)(9.8m /s 2 ) =17.6N Sommando le due equazioni per m1 ed m2 F x = T f k1 = m 1 a F x = F T f k 2 a = F f k 2 f k1 m 2 + m 1 = = m 2 a 68N 17.6N 11.8N 18kg +12kg =1.29m /s 2 F T f k 2 + T f k1 = m 2 a + m 1 a F f k 2 f k1 = a(m 2 + m 1 ) Usando la prima equazione T = f k1 + m 1 a = ( (1.29))N = 27.2N

8 Concetti di Lavoro ed Energia Lavoro ed Energia sono due concetti strettamente connessi Il Lavoro è un trasferimento di energia che viene compiuto attraverso una forza: applicare una forza ad un corpo che ne fa variare la velocità significa compiere un lavoro che fa aumentare energia (cinetica) al corpo Il lavoro è strettamente collegato allo spostamento provocato: se si applica una forza ad una parete, pur facendo molta fatica, se la parete non si muove il lavoro compiuto è nullo

9 Concetto di Lavoro Si consideri un oggetto sottoposto ad uno spostamento Δr sotto l azione di una forza costante F W = FΔrcos(θ) Il lavoro W svolto da un agente che esercita una forza costante su un sistema è il prodotto del modulo della forza F, del modulo dello spostamento Δr e il coseno dell angolo compreso tra forza e spostamento Il lavoro è l energia scambiata tra due sistemi sotto l azione di una forza quando un oggetto subisce uno spostamento per azione della forza e la direzione della forza ha una componente non nulla rispetto allo spostamento Il Lavoro è una grandezza scalare ed ha le dimensioni del [N] [m] e si esprime in Joule (J).

10 Concetto di Lavoro Affinchè venga compiuto del lavoro da una forza su un corpo, questo deve muoversi sotto l azione della forza Se la forza è perpendicolare allo spostamento il lavoro è nullo Il segno del lavoro dipende dalla direzione di F rispetto alla spostamento, se la componente di F si trova nello stesso verso dello spostamento allora il lavoro è positivo. Viceversa se Fcosθ è nel verso opposto allora W è negativo Se Forza e Spostamento sono paralleli allora W = FΔr

11 Concetto di Lavoro (esempio) Sia F=50 N e θ=30 e lo spostamento pari a 3 m W = (50N)(3m)cos(30 ) =130Nm =130J Il lavoro W si definisce anche come il prodotto scalare tra la forza e lo spostamento W = F Δr

12 Lavoro (esempio) Se su un sistema sono presenti più forze, si può calcolare il lavoro complessivo compiuto separatamente Consideriamo una cassa di m=48 kg tirata da una corda con tensione costante F c =540N per una distanza di 8m. Sia µ k =0,40 il coefficiente di attrito dinamico. Si determini il lavoro di tutte le forze che agiscono sulla cassa F c = 540N F t = mg = (48kg)(9.81m /s 2 ) = 471N F N = mgcos(θ) = (48kg)(9.81m /s 2 )cos(30 ) = 408N F a = µ k F N = (0,4)(408N) =163N Applichiamo la definizione di Lavoro ad ogni singola forza L = FΔrcos(θ) = F Δr L c = (540N)(8.0m)cos(0 ) = 4320J L t = (471N)(8.0m)cos(120 ) = 1884J Lavoro applicato dalla corda nella stessa direz. dello spostamento Lavoro negativo della forza peso: angolo>90 L N = (408N)(8.0m)cos(90 ) = 0 Lavoro nullo: forza perpendicolare allo spostamento L a = (163N)(8.0m)cos(180 ) = 1304J Lavoro negativo: la forza di attrito si oppone allo spostamento

13 Prodotto scalare W = F Δr = FΔrcos(θ) Il prodotto scalare può essere interpretato geometricamente come la proiezione di un vettore sull altro moltiplicato l altro vettore stesso Si ricorda che in termini delle singole componenti x,y,z, il prodotto scalare si può scrivere: W = F Δr = F x Δr x + F y Δr y + F z Δr z

14 Lavoro svolto da una forza variabile (la molla) Blocco collegato ad una molla: se la molla è compressa o allungata rispetto alla sua posizione di equilibrio la molla esercita una forza sul blocco F = kx Legge di Hooke La forza di una molla su un blocco varia con lo spostamento del blocco dalla sua posizione di equilibrio

15 Lavoro svolto da una forza variabile Quando ci troviamo nel caso di una forza che dipende dalla posizione, il lavoro sull intero spostamento può essere approssimato, suddividendo lo spostamento totale in un gran numero di spostamenti molto piccoli W 1 = F x Δx W tot = F x W tot = lim Δx 0 x f (x)δx = x i F x x f Δx Immaginando di effettuare il calcolo su una sequenza sempre maggiore di intervalli aventi lunghezza sempre più piccola x i x f x i F x (x)dx Il lavoro è l integrale (area sotto la curva) della Forza rispetto allo Spostamento

16 Lavoro: integrale della forza rispetto allo spostamento W = x f x i F x (x)dx Si consideri una forza costante che agisce su un blocco nella stessa direzione del moto W = x f (x)dx = Fdx = F F x x f x i x i x f dx = F(x f x i ) x i Si ritrova la definizione di lavoro che abbiamo dato all inizio, il risultato è la forza per lo spostamento

17 Lavoro svolto da una molla F x (x) = kx Se comprimiamo una molla da x i =0 a x f =-x max W = x f F x dx = ( kx) dx = 1 2 kx max x i x max 0 2 Per uno spostamento arbitrario W = x f F x dx = ( kx) dx = 1 2 kxi2 1 2 kx f x i x f x i 2

18 Lavoro svolto da una molla W = x f F x dx = ( kx) dx = 1 2 kxi2 1 2 kx f x i W = 0 x f x i Se x i =x f oppure x i =-x f 2 Il lavoro per uno spostamento verso x f crescenti (da sinistra a destra) è negativo. Esso è l area delimitata sotto la curva Forza-spostamento: area del rettangolo + area del triangolo W = kx i (x f x i ) 1 2 k(x f x i )(x f x i ) = 1 2 kx 2 i 1 2 kx f 2

19 Esempio:Lavoro necessario per allungare una molla Un estremità di una molla orizzontale (k=80 N/m) è tenuta fissa mentre una forza esterna è applicata all estremità libera allungandola da x A =0 a X B =4 cm.. Trovare il lavoro svolto dalla forza esterna W = 1 2 kx 2 A 1 2 kx 2 B = (80N /m)(0.04m)2 = 0.064J Trovare il lavoro addizionale per passare da x B =4 a X C =8 cm. W = 1 2 kx 2 B 1 2 kx 2 C W = x C x B kxdx = 1 2 kx 2 B 1 2 kx 2 C W = 1 2 (80N /m)(0.04m)2 1 2 (80N 1 /m)(0.08m)2 2 kx 2 B = ( )J = 0.192J N.B: il sistema compie percorsi di uguale lunghezza (4cm) ma il lavoro compiuto è diverso

20 Espressione generale lavoro W = f F dr i Per una forza ed uno spostamento in tutte le direzioni dello spazio F dr = (F xˆ i + F y ˆ j + F z ˆ k ) (dxˆ i + dyˆ j + dz ˆ k ) F dr = F x dx + F y dy + F z dz W = f i F x dx + F y dy + F z dz

21 Lavoro della forza gravitazionale F y = mg F x = 0 F z = 0 W = f F dr = i y f mg = mg(y f y i ) Il Lavoro è negativo per un corpo che viene portato a quota più elevata (y f >y i ) Il Lavoro è positivo per un corpo che viene portato a quota più bassa (y f <y i ) yi Il lavoro compiuto dalla forza gravitazionale nello spostamento dalla posizione i alla posizione f è indipendente dal percorso seguito, ma dipende solo dalla differenza tra altezza finale ed iniziale

22 Energia L energia è una misura della capacità di un corpo o di un sistema fisico di compiere lavoro Si tratta di una grandezza fisica scalare associata allo stato di uno o più corpi Ogni processo fisico coinvolge l energia e trasferimenti (o trasformazioni) di energia Se una forza interviene a modificare lo stato di un sistema (ad esempio muovendolo) il numero associato all energia cambia L energia associata al moto di una particella si chiama energia cinetica Energia associata alla sua posizione -> energia potenziale Energia associata alla temperatura -> energia termica

23 Trasferimenti di energia L energia di un corpo può variare solo se avviene un trasferimento di energia dall ambiente circostante al corpo stesso Un trasferimento di energia avviene tramite forze che compiono un lavoro meccanico, scambi di calore,. In un sistema isolato (non avvengono scambi di energia con l esterno) l energia totale si conserva

24 Energia cinetica Energia associata allo stato di moto di un corpo Quanto più veloce è un corpo tanto maggiore è la sua energia cinetica K = 1 2 mv 2 L energia cinetica ha le dimensioni di [Kg m 2 /s 2 ]=[N m]=[joule] In caso di più corpi l energia cinetica è la somma delle energie cinetiche dei singoli corpi L energia cinetica è presente anche a livello microscopico: l energia termica di un gas è l energia cinetica di atomi e molecole

25 Lavoro ed energia cinetica Consideriamo una forza che agisce su un corpo di massa m determinando un movimento lungo l asse x F x = ma x Supponiamo che la forza agisce sul corpo per uno spostamento d e modifica la velocità iniziale da v 0 a v. Vale la relazione: v 2 = v a x d 1 2 mv mv 2 0 = F x d v 2 = v F x m d La variazione di energia cinetica è uguale al lavoro compiuto dalla forza

26 Teorema dell energia cinetica W tot = x f Fdx x i W tot = x f madx = m dv dx = m dv dt dx x i x f x i x f x i dx dt dx = x f x i mvdv W tot = 1 2 mv f mv i2 W tot = K f K i = ΔK Quando è compiuto un Lavoro su un sistema e la sola variazione nel sistema è il modulo della sua velocità, Il lavoro risultante è dato dalla variazione di energia cinetica del sistema

27 Esempio Un blocco di 6kg inizialmente fermo è tirato verso destra su una superficie orizzontale liscia da una forza costante F=12N. Trovare la velocità del blocco dopo che si è spostato di 3m W = FΔx = (12N)(3m) = 36J W = 1 2 mv f mv 2 i = 1 2 mv f 2 0 v f = 2W m = 2 36J 6kg = 3.46m /s

28 Esempio Consideriamo un vagoncino delle montagne russe che si muove sul suo binario Il vagoncino parte da fermo, vogliamo determinarne la velocità finale (si trascurino gli attriti) Usiamo l approccio di determinare il lavoro totale sul vagoncino: su di esso agiscono due forze, la forza gravitazionale e la forza normale La forza normale in ogni punto della traiettoria è perpendicolare allo spostamento, per cui il contributo al lavoro è nullo La forza gravitazionale da invece un contributo al lavoro pari a: L tot = mg(y f y i ) = mgh Per il teorema dell energia cinetica L tot = mgh = 1 2 mv f v f 2 = 2gh v f = 2gh mv 2 i = 1 2 mv f 2 N.B.: la velocità finale raggiunta è indipendente dalla forma del binario Il tempo per raggiungere lo stato finale dipende dalla forma del binario

29 Esempio Per il moto da i ad f L tot = mg(y f y i ) = mg( 2R) = 2mgR Uno slittino parte da fermo in cima ad un pendio ghiacchiato Arrivato alla quota 0, percorre un tratto circolare in salita Vogliamo trovare: - la velocità dello slittino nel punto più basso (f) - la forza normale nello stesso punto f - la velocità e forza nel punto q L tot = 2mgR = 1 2 mv f F N F p = ma c = m v 2 R 2 v f = 4gR F N = mg + m v 2 R

30 Esempio(2) F N = mg + m v 2 v f = 4gR R F N = mg + m 4gR R = mg + 4mg = 5mg Per il moto da i ad q L tot = mg(y f y i ) = mg(r 2R) = mgr L tot = mgr = 1 2 mv 2 q v q = 2gR F N = ma c = m v q R = m2gr R 2 = 2mg

31 Energia potenziale Per sollevare un corpo massivo con una forza esterna occorre compiere un lavoro Il corpo inizialmente fermo risulta essere fermo anche dopo lo spostamento non ha subito variazioni di energia cinetica Ma l oggetto ha in se una energia immagazzinata, se rilasciato infatti si mette in moto e cade L energia potenziale esprime il concetto di questa energia immagazzinata

32 Energia potenziale gravitazionale F est = mg Δr = Δyˆ j L = ( mg) Δr = mg(y f y i ) = mgy i mgy f Definendo U = mgy L = ΔU = (U f U i ) Il lavoro appare in questo caso appare come una variazione dell energia potenziale gravitazionale Se si fa un percorso di andata e ritorno (y f =y i ) il lavoro totale è nullo L = mg(y f y i ) = 0 Le forze che su un percorso di andata e ritorno hanno questa caratteristica si dicono conservative

33 Forza conservativa In meccanica una forza che non causa trasformazioni di energia meccanica in energia interna al sistema è detta conservativa Il Lavoro compiuto da una forza conservativa non dipende dalla traiettoria del moto, ma dipende solo dalle configurazioni iniziale e finale Il lavoro di una forza conservativa su un percorso chiuso è nullo

34 Conservazione dell energia Consideriamo un corpo in caduta libera (trascuriamo l attrito) Il lavoro della forza gravitazionale è dato da L tot = mg(y f y i ) Per il teorema dell energia cinetica 1 2 mv f L tot = K f K i mv 2 i = mg(y f y i ) 1 2 mv f La quantità 2 + mgy f = 1 2 mv 2 i + mgy i 1 2 mv 2 + mgy si conserva

35 Conservazione dell energia meccanica K = 1 2 mv 2 Energia Cinetica U = mgy Energia Potenziale gravitazionale E = K +U E f = E i La somma dell energia cinetica e dell energia potenziale si conservano queste due forme di energia si trasformano l una nell altra ma la loro somma resta costante nell evoluzione del sistema

36 Esempio Una pietra di massa m=2.0kg viene lanciata verticalmente verso l alto con una velocità iniziale di v i =8m/s. Calcoliamo: L energia meccanica totale del sistema Fino a che altezza sale la pietra e quanto vale l energia potenziale in questa posizione Modulo della velocità quando la pietra raggiunge un altezza pari alla metà di quella massima Nel punto iniziale l energia cinetica e potenziale valgono: K i = 1 2 mv 2 = 1 2 (2.0kg)(8m /s)2 = 64J U i = mgy i = 0 E i = K i +U i = 64J

37 Esempio(2) Indicando con y f l altezza massima raggiunta dalla pietra, sappiamo che nel punto massimo tale velocità è nulla K f = 1 2 mv f 2 = 0 U f = mgy f = 64J Per la conservazione dell energia E f E f = K f +U f = U f = 64J = E i = 64J y f = U f mg = 64J (2kg)(9.8m /s 2 ) = 3.3m Altezza massima

38 Esempio(3) Indicando con y q =(1/2)y f la coordinata a metà dell altezza massima E q = K q +U q = E i = 64J E q = 1 2 mv q 2 + mgy q = 64J 1 2 (2.0kg)v 2 q = 64J (2.0kg)(9.8m /s 2 )(1/2)y f v q 2 = 32m 2 /s 2 v q = ±5.7m /s Per la conservazione dell energia in q I due segni corrispondono al fatto che questa stessa velocità si può ottenere in salita ed in discesa K q = 1 2 mv q 2 = 1 2 (2.0kg)(5.7m /s)2 = 32J U q = mgy q = (2.0kg)(9.8m /s 2 )(1.65m) = 32J Alla metà dell altezza massima l energia si è suddivisa equamente tra energia cinetica ed energia potenziale

39 Un video divertente v=9m2pjbtn3b4