Esempio: Lavoro compiuto dalla forza gravitazionale. Energia cinetica iniziale

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1 Esempio: Lavoro compiuto dalla forza gravitazionale Ø Consideriamo una pallina di massa m che viene gettata in aria verticalmente con una velocità iniziale v 0 v = 0 T = 0 Ø La pallina è soggetta alla forza gravitazione Ø A causa della presenza di F g la velocità v della pallina diminuisce => l energia cinetica diminuisce Ø Il lavoro fatto da F g sulla pallina durante lo spostamento Δy è: mgδy L = F g Δycosθ = +mgδy T i = 1 2 mv 2 0! F g = m! g = mg ĵ Energia cinetica iniziale v v 0 F! g F! g F! g y T = 1 2 mv2 T i = 1 2 mv 2 0 Mentre la pallina sale ( θ=180 perche la forza e lo spostamento hanno versi opposti) Mentre la pallina scende ( θ=0 perche la forza e lo spostamento sono equiversi ) NB: Il segno positivo significa che la forza gravitazionale trasferisce energia mgδy alla particella sotto forma di energia cinetica

2 Esempio di applicazione del teorema dell energia cinetica(1) B Consideriamo due punti A e B posti uno sopra all altro a distanza h! ed un corpo di massa m che si muove da A a B con velocità iniziale. Determinare la distanza h se B è la posizione di massima altezza che il corpo può raggiungere Possiamo risolvere il problema da un punto di vista puramente energetico (invece che da un punto di vista dinamico)!!! L unica forza che agisce sul corpo è la forza peso! F g = m! g v A y h A! v B! F g = m! g! v A Il lavoro sarà sicuramente negativo in quanto lo spostamento da A a B ha verso opposto alla forza peso : L = F! ""! g Δs = mgδy L = mgh Per il teorema dell energia cinetica si ha: L = mgh = ΔT = T B T A mgh = 1 2 mv 2 A h = v 2 A 2g ( ) = 1 2 mv 2 B! 1 2 mv A Risultato già visto nello studio della caduta del grave 0 2

3 Esempio:Lavoro svolto da una forza applicata alla molla Supponiamo di spostare! un blocco collegato alla molla lungo l asse della molla applicando una forza F app.! F app Ø Durante lo spostamento : compie un lavoro L a, mentre la forza di richiamo della molla F! m compie il lavoro L m Ø La variazione di energia cinetica del blocco sarà data dalla somma dei due lavori: ΔT = T f T i = L a + L m Ø Se il blocco attaccato alla molla è fermo prima e dopo lo spostamento la variazione di energia cinetica è nulla e quindi è nullo anche il lavoro totale svolto sul blocco. L a + L m = 0 L a = L m Questo si può spiegare tenendo conto del fatto che la forza applicata e la forza di richiamo hanno segno opposti e quindi anche i lavori effettuati dalle due forze.

4 Lavoro della forza d attrito Ø Consideriamo il caso dell azione della forza di attrito dinamica su un corpo in moto lungo una certa traiettoria C che effettua uno spostamento d lungo tale traiettoria. Ø La forza d attrito è sempre opposta allo spostamento ed il lavoro svolto da tale forza sarà quindi sempre negativo (lavoro resistente) Traiettoria C Ø Il lavoro è dato da: f! d L att =! f d d r! = µ d N dr Ø Se la componente Normale alla superficie è costante ( non dipende dalla posizione) Si potrà scrivere: dr = d L att = µ d N dr L att = µ d Nd dove d è il percorso effettuato dalla posizione iniziale i alla posizione finale f lungo la traiettoria ATTENZIONE: d NON è la differenza tra la posizione iniziale e la posizione finale poiché questo integrale è un integrale di linea e dipende dal percorso effettuato NB: Il lavoro è sempre lavoro resistente e dipende dalla traiettoria effettiva del punto materiale. A parità di µ d ed N il lavoro dipende dal percorso e non è esprimibile come differenza dei valori di una funzione nei due punti di partenza ed arrivo.

5 Potenza Se vi chiedessero cosa differenzia il motore di una Ferrari da quello di una 500 cosa vi verrebbe spontaneo rispondere? Sicuramente ( SPERO ) una delle risposte (a parte il costo) sarebbe: i cavalli motore o la Potenza!...Ma che cos è la potenza? Ø La Potenza è una grandezza fisica che rappresenta la RAPIDITÀ con cui viene sviluppata una certa quantità di lavoro: P L Δ t = Potenza media P = dl dt Potenza Istantanea Ø La potenza si misura in watt (W) dove 1W=J/s ( spesso si trova espressa in termini di cavallo-vapore (CV) dove 1CV=735,5W NB: Nel caso particolare in cui una particella si sposta lungo una direzione rettilinea sotto l azione di una forza costante F (che forma un angolo θ con la direzione dello spostamento) si potrà riscrivere la potenza in termini della forza e della velocità v della particella stessa: P = dl dt Se θ<π/2 P>0 Se π/2 <θ< π P = dl dt = F cosθdx dt = F cosθ dx dt = Fvcosθ P<0 la forza esegue un lavoro resistente P =! F! v

6 Energia Potenziale Ø Un altro tipo generico di energia è l ENERGIA POTENZIALE che rappresenta l energia associata allo stato di un sistema di corpi che interagiscono reciprocamente per mezzo di un campo di forze. ES: sistema pallina-terra che interagiscono mediante la forza gravitazionale. Consideriamo il sistema pallina-terra che interagisce attraverso la forza Gravitazionale (forza interna al sistema) Se applichiamo una forza esterna al sistema per sollevare lentamente la pallina dalla quota y a alla quota y b ( spostamento Δy= y b y a ) compiamo sul sistema un certo lavoro che, se la pallina risulta a riposo prima e dopo lo spostamento, non può trasformarsi in energia cinetica ( che rimane nulla). Non c è neanche variazione di energia interna, in quanto non c è motivo che l energia della pallina aumenti => L energia fornita dall esterno viene immagazzinata dal sistema, pronta ad essere trasformata in energia cinetica non appena la pallina viene lasciata cadere. Questa energia è proprio Energia Potenziale Ø L energia Potenziale è energia IMMAGAZZINATA, pronta ad essere trasformata in una qualche altra forma di energia come ad esempio energia cinetica Esempi: La molla compressa (Energia potenziale elastica), un oggetto sospeso nel vuoto ad una certa distanza dal suolo (Energia potenziale gravitazionale) Ø Il lavoro può essere espresso oltre che mediante la variazione di energia cinetica anche mediante la variazione di energia potenziale

7 Forze conservative Affinché si possa parlare di energia potenziale di un sistema, il sistema e le forze che agiscono su di esso devono avere determinate proprietà. Ø Il sistema deve consistere di due o più oggetti ed il corpo ed il resto del sistema devono interagire mediante una forza La forza agendo sul sistema cambia la configurazione del sistema stesso(es: cambiamenti di posizione o cambiamento di stato di una molla ) compiendo un lavoro (L 1 ) con trasferimento di energia (cinetica o di altra forma). Quando si cambia il senso della variazione della configurazione la forza inverte il trasferimento di energia svolgendo lavoro (L 2 ) Ø Se e solo se il trasferimento di energia può essere invertito, cioè se e solo se L 1 = -L 2, si può parlare di energia potenziale Ø Forze che mettono in atto un processo di trasferimento di energia che può essere invertito vengono dette FORZE CONSERVATIVE Ø La forza gravitazionale e la forza elastica sono forze conservative Ø Le forze di attrito non sono forze conservative ( l energia cinetica viene trasformata in energia termica ed il processo non è invertibile) e l energia termica non è un energia potenziale

8 Forze Conservative (2) Ø Il lavoro compiuto da una forza conservativa su una particella che si muove tra due punti qualsiasi non dipende dal percorso eseguito ma solo dalle posizioni iniziale e finale Ø Per calcolare il lavoro eseguito è possibile utilizzare qualsiasi percorso colleghi il punto iniziale a con quello finale b. Ø Il lavoro è esprimibile come differenza dei valori di una funzione nei punti finale ed iniziale della traiettoria. = L ab2 = L ab Ø Invertendo la direzione di percorrenza della traiettoria, cambia solo il segno del lavoro eseguito. L ab = -L ba Ø Un qualunque percorso chiuso può essere pensato come la somma di un percorso di andata tra due punti qualunque della traiettoria ed un percorso di ritorno tra gli stessi punti è il lavoro di una forza conservativa che agisce su una particella che si muove lungo un percorso chiuso è nullo L chiuso = L ab + L ba = 0

9 Lavoro ed Energia potenziale Consideriamo di lanciare in aria la pallina La forza gravitazionale (rivolta verso il basso) svolge un lavoro L g negativo sulla pallina che sta salendo L g <0 => ΔT<0 (l energia cinetica diminuisce) La forza gravitazionale sottrae energia all energia cinetica della pallina L energia sottratta viene immagazzinata sotto forma di energia potenziale gravitazionale del sistema pallina-terra ΔU g >0 (l energia potenziale aumenta) La pallina rallenta fino a fermarsi e poi comincia a ricadere, a causa della forza di gravità Mentre la pallina cade (spostamento verso il basso) la forza gravitazionale questa volta svolge un lavoro positivo sulla pallina: L g >0 => ΔT>0 (l energia cinetica aumenta) L energia immagazzinata (energia potenziale gravitazionale) si trasforma in energia cinetica della pallina. ΔU g <0 (l energia potenziale diminusce) La variazione di energia potenziale gravitazionale è pari all opposto del lavoro svolto sulla pallina dalla forza gravitazionale: ΔU g = L g Stesso ragionamento può essere fatto sul sistema blocco-molla ΔU m = L m

10 Energia potenziale e Lavoro Data una forza conservativa che agisce su un corpo, la variazione di energia potenziale del corpo è pari all opposto del lavoro svolto dalla forza A partire dalla definizione di energia potenziale si può osservare che: Ø Se l energia potenziale aumenta, il lavoro eseguito è negativo ( il lavoro viene fatto dall esterno sul sistema) ΔU!! non si può estrarre lavoro dalla forza durante un processo in cui l energia potenziale aumenta, ma è necessario fornire lavoro dall esterno perché il processo possa avvenire. Ø Se l energia potenziale diminuisce, il lavoro eseguito e positivo e si può utilizzare durante il processo. ΔU!!!!! L energia potenziale indica la capacità della forza di fornire lavoro Ø L energia potenziale è definita a meno di una costante: se aggiungiamo (o sottraiamo) una costante c all energia potenziale => La variazione di energia potenziale è: ΔU = L > 0 L < 0 < 0 L > 0 Δ U' = U'( B) U'( A) = U( B) + c U( A) c = ΔU = L U ' = U + la nuova espressione per l energia potenziale soddisfa ancora la relazione c ΔU = L

11 Al suo barbiere Einstein la raccontava così (Robert L. Wolke)

12 Determinazione dell energia potenziale (1) Consideriamo un corpo che fa parte di un sistema sul quale agisca una forza conservativa F. Quando la Forza compie lavoro la variazione dell energia potenziale è pari all opposto del lavoro svolto. ΔU = (U f U i ) = L Nel caso generale in cui la forza conservativa varia durante lo spostamento: x ΔU = L F( x) dx ΔU = L f = i Ø Non esiste una forma generale per l energia potenziale, ma dipende dalla forza conservativa a cui si riferisce. Ø L energia potenziale di una forza conservativa permette di calcolare rapidamente il lavoro eseguito su qualunque traiettoria. Ø Da una forza conservativa non si può ricavare lavoro se il percorso è chiuso, ovvero, come si dice, se il processo è ciclico. x f = i!! Fdr

13 Esempio: Energia potenziale gravitazionale Consideriamo un particella di massa m che viene sollevata da un punto y i ad un punto y f.. Tale particella subisce il lavoro svolto dalla forza gravitazionale L g. La variazione di energia potenziale sarà data da: y f ΔU = L = F g (y)dy = mg y i y f y i ( ) dy = ΔU = mgδy mg y y f y i Δy = y f y i = mgδy Variazione di Energia potenziale gravitazionale Δy=y f -y i y f y i In fisica sono importanti solo le variazioni ΔU di energia potenziali ( l energia potenziale è sempre definita a meno di una costante), si può quindi decidere di misurare y da un qualsiasi livello di riferimento iniziale (che deve poi rimanere lo stesso) Una scelta conveniente del livello di riferimento è quello per cui si associa un valore U i =0 all energia potenziale del sistema nella configurazione iniziale y i =0 In questo caso possiamo scrivere: Δy = y y i = y ΔU =U U i =U U = mgy Energia potenziale gravitazionale L energia potenziale gravitazionale associata ad un sistema particella-terra dipende dalla posizione verticale y della particella rispetto alla posizione di riferimento y=0

14 Esempio:Energia potenziale elastica Consideriamo un sistema blocco-molla con il blocco attaccato ad una delle estremità della molla di costante elastica k. Durante lo spostamento del blocco dalla posizione x i alla posizione x f la forza di richiamo F = -kx compie del lavoro sul blocco. La variazione di energia potenziale sarà data da: ΔU = L = x f F m (x)dx = kx x i x f x i ( 1 )dx = 2 k x 2 x f x i = 1 2 k ( x 2 2 x ) f i ( ) ΔU = 1 k x 2 x 2 2 f i Analogamente a quanto fatto per l energia potenziale gravitazionale, associamo un valore di U ad una posizione di riferimento. Poniamo U=0 quando x=0 (cioè quando il blocco passa per la posizione di equilibrio della molla) U = 1 kx 2 2 Energia potenziale elastica

15 Energia Meccanica e conservazione dell Energia Meccanica Consideriamo un corpo che si muove dal punto A al punto B sotto l azione della sola forza gravitazionale, il lavoro compiuto sul corpo è quindi pari sia alla variazione dell energia potenziale gravitazionale cambiata di segno, sia alla variazione di energia cinetica del corpo : L AB = ΔU =U A U B L AB = ΔT = T B T A L AB = mgh = mgy A mgy B L AB = 1 2 mv 2 1 B 2 mv 2 A Uguagliando i due termini si ottiene: mgy A mgy B = 1 2 mv 2 1 B 2 mv 2 A 1 2 mv 2 + mgy A A = 1 2 mv 2 + mgy B B T A +U A = T B +U B h=y B -y A B A y B y y A 1 2 mv2 + mgy = T +U = costante U B = mgy B T B = 1 2 mv 2 B U A = mgy A T A = 1 2 mv 2 A

16 Energia Meccanica e conservazione dell Energia Meccanica L energia meccanica E di un sistema è l energia totale data dalla somma dell energia cinetica e dell energia potenziale relativa ai corpi che compongono il sistema stesso. E = U+T Per il lavoro delle forze conservative valgono allora due relazioni: 1) Teorema dell energia cinetica ( questo teorema vale per tutte le forze, conservative e non): L = T f T i = ΔT 2) Definizione di energia potenziale ( valida solo per le forze conservative): L = U i U f = ΔU L = T f T i = ΔT = ΔU =U i U f U i +T i =U f +T f PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELL ENERGIA MECCANICA: Quando in un sistema isolato agiscono solo forze conservative l energia potenziale e quella cinetica posso variare singolarmente, ma la loro somma, l energia meccanica E del sistema, deve rimanere costante E =U +T = cost conservazione dell energia meccanica

17 Principio di conservazione dell Energia Meccanica- Applicazione Quando in un sistema agiscono solo forze conservative l energia meccanica totale del sistema si conserva e la sua variazione è quindi nulla E =U +T = cost ΔE = ΔU + ΔT = 0 Il principio di conservazione dell energia meccanica ci permette di risolvere in modo semplice problemi che dal punto di vista dinamico sarebbero molto complessi

18 Energia totale e forza peso Abbiamo visto che l energia potenziale gravitazionale può essere espressa come: U=mgy Sappiamo che, nel caso della caduta di un grave, si conserva l energia totale data da: E =T+U= ½m v 2 + mgy = costante Consideriamo quindi un corpo che scivola su un piano inclinato privo di attrito. La reazione vincolare è sempre perpendicolare alla traiettoria e non compie lavoro. Se il corpo parte da fermo da un altezza h, arriverà alla fine del piano con velocità tale che: E = U i +T i = mgh + 0 = U f +T f = 0 + ½ m v 2 Da cui: v = 2gh La velocità è quindi indipendente dalla massa del corpo (come già sapevamo) e dall inclinazione del piano. La velocità è pari a quella di un qualsiasi corpo che cade al suolo da un altezza h. NB: Nel moto l energia potenziale si e trasformata in energia cinetica.

19 Esempio Consideriamo un camion che scendendo da una discesa incontra poi una salita che ha una pendenza di 15. Quando arriva alla salita ha una velocità di 130 km/h. Calcolare la distanza minima L dall inizio della salita che il camion deve percorre prima di fermarsi ( non c è attrito ed il pilota toglie la marcia). E = cost = T i + U i = T f + U f h Stato iniziale ( camion che affronta la salita): T i = 1 2 mv 2 i U i = 0 Stato finale ( camion che si ferma): T f = 0 U f = mgh = mglsin( 15 ) h = Lsin( 15 ) Conservazione dell energia meccanica: E = 1 2 mvi2 = mglsin( 15 ) L = 2 2 mv i 2mg sin 15 ( ) = v i 2g sin( 15 ) = ( 36.1m s) = 258m

20 Energia totale e forza elastica Nel caso di una forza elastica si conserva l energia meccanica data dalla somma: E = cost = T +U = 1 2 mv kx 2 Ø Quando la molla viene compressa oppure dilatata aumenta lo spostamento x e quindi aumenta l energia potenziale => ΔU>0 La molla compie lavoro resistente => L = -ΔU<0 Se U aumenta, affinché l energia meccanica ( E=U+T ) si conservi, l energia cinetica T del corpo, e quindi il modulo della velocità, devono diminuire, fino al limite di massima compressione o dilatazione dove v e T si annullano: x = x max U =U max T = 0 E =U =U max Ø Quando la molla torna verso la sua posizione di riposo l energia potenziale si trasforma in energia cinetica: U diminuisce (ΔU<0) Durante lo scaricamento la molla compie lavoro motore => L>0 => ΔU<0 Affinché E si conservi T deve aumentare arrivando alla posizione di equilibrio x=0 con velocità(in modulo) ed energia cinetica massime x = 0 U = 0 T = T max E = T = T max NB: Il lavoro totale compiuto durante una oscillazione completa è NULLO.

21 Esempio: il pendolo Pendolo: Un corpo di massa m è fissato ad un punto tramite un filo inestensibile di lunghezza L (oppure ad un asticella di massa trascurabile) sottoposto alla forza peso. Il corpo è, ogni istante, sottoposto sia alla forza peso P, sia alla tensione del filo T, che lo mantiene a distanza costante L dal punto fisso, ed è diretto come il filo. L o s p o s t a m e n t o è s e m p r e perpendicolare alla tensione del filo, lungo una traiettoria circolare

22 Esempio: il Pendolo (2) Dato un pendolo costituito da un filo inestensibile di lunghezza L e da una massa m attaccato ad esso, determinare la velocità del pendolo nel punto più basso di oscillazione se l angolo massimo di oscillazione è θ max Le forze che agiscono sul pendolo sono la tensione del filo T e la forza θpeso max P. Lo spostamento è sempre lungo la tangente alla L traiettoria circolare che compie la massa m durante la sua oscillazione La tensione del filo quindi non compie lavoro in quanto istante per istante è perpendicolare allo spostamento. Il lavoro è svolto solo dalla forza peso. La variazione di energia potenziale sarà quindi : Scegliamo come riferimento per le quote la quota minima. Durante l oscillazione si conserva l energia totale data da: E = T+U=½m v 2 + mgy = costante L P = ΔU = mgy f + mgy i Nella posizione di massima altezza avremo:e = U= mgy max = mgl (1 - cosθ max ) (T=0) L cosθ max L-L cosθ max =L(1- cosθ max ) y max Nella posizione di minima quota avremo invece: E = T = ½m v 2 (U=0) ( ) ½m v 2 = mgl(1 - cosθ max ) v = 2gL 1 cosθ max

23 Esempio: il Pendolo (2) Dato un pendolo costituito da un filo inestensibile di lunghezza L e da una massa m attaccato ad esso, determinare la velocità del pendolo nel punto più basso di oscillazione se l angolo massimo di oscillazione è θ max Le forze che agiscono sul pendolo sono la tensione del filo T e la forza peso P. Lo spostamento è sempre lungo la tangente alla traiettoria circolare che compie la massa m durante la sua oscillazione La tensione del filo quindi non compie lavoro in quanto istante per istante è perpendicolare allo spostamento. Il lavoro è svolto solo dalla forza peso. La variazione di energia potenziale sarà quindi : L P = ΔU = mgy f + mgy i Scegliamo come riferimento per le quote la quota minima => y f =0 ed U f =0 Durante l oscillazione si conserva l energia totale data da: E = T+U=½m v 2 + mgy = costante y max Nella posizione di massima altezza (T=0) avremo:e = U= mgy max = mgl (1 - cosθ max ) Nella posizione di minima quota avremo invece: E = T = ½m v 2 (U=0) ( ) ½m v 2 = mgl(1 - cosθ max ) v = 2gL 1 cosθ max

24 L cosθ max θ max L L-L cosθ max =L(1- cosθ max )

25 Lavoro svolto su un sistema da una forza esterna Consideriamo una forza esterna che agisce su un sistema. Il lavoro è l energia trasferita dal sistema o al sistema per mezzo della forza esterna che agisce su di esso Sistema Sistema L>0 Energia trasferita al sistema L<0 Energia sottratta al sistema Ø Se il sistema è costituito da un unica particella puntiforme il trasferimento di energia avviene solo attraverso la variazione di energia cinetica Ø Se il sistema è più complesso la variazione di energia può avvenire anche attraverso altre forme (es: energia potenziale)

26 Lavoro delle forze non conservative Ø Nel caso in cui agiscano forze non conservative, quali la forza d attrito, non si può definire una energia potenziale. Ø Il lavoro dipende dalla traiettoria Ø È sempre valido il teorema dell energia cinetica: Ø Se agiscono contemporaneamente forze conservative e forze non conservative il lavoro compiuto sul sistema L sarà dato dalla somma del lavoro compiuto dalle forze conservative L c e da quello compiuto dalle forze non conservative L nc : L tot = L c + L nc = F ct dr i!" # $# Per il teorema dell energia cinetica: f non dip. dal percorso L nc = ( U cf U ) + ( T T ) ci f i f + F nct dr i!# " $# dip. dal percorso ( ) = U cf +T f!# " $# stato finale Il lavoro delle forze non conservative è pari alla variazione di energia meccanica L = ΔE nc L = f i F t dr = ΔU c + L nc L tot = ΔT = T f T i ( ) = 1 2 mv 2 1 f 2 mv i2 U ci +T i!# " $# = E E = ΔE f i stato iniziale L nc = ΔU c + L tot L nc = ΔU c + ΔT