Elettrostatica. pag. 1. Elettrostatica

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1 Carica elettrica Legge di Coulomb Campo elettrico Principio di sovrapposizione Energia potenziale del campo elettrico Moto di una carica in un campo elettrico statico Teorema di Gauss Campo elettrico e potenziale di una carica puntiforme un dipolo elettrico un condensatore Superfici equipotenziali Conduttori Isolanti pag. 1

2 Carica elettrica Proprieta elettriche della materia: note fin dall antichità (es. attrazione per strofinio) ma normalmente nascoste nella struttura atomica. Costituzione dell atomo: nucleo con protoni (carica +e) e neutroni (carica 0) elettroni (carica -e) orbitanti attorno al nucleo Carica elettrica = proprietà intrinseca della materia, grandezza fisica scalare derivata ( v.corrente elettrica) con unità di misura: Coulomb (C) (C = A s) Proprietà fondamentali: 3 stati di carica: positiva/negativa (i due tipi di carica) e neutra sempre multipla di ±e = ± C carica elementare si conserva (non si crea e non si distrugge, ma si separa/unisce) L elettrostatica studia i fenomeni elettrici in cui le cariche sono a riposo. pag. 2

3 Forza di Coulomb Tra due corpi di carica q 1 e q 2 (a riposo), posti a distanza r, si esercita sempre una forza di attrazione o di repulsione -diretta lungo la congiungente tra i due corpi -proporzionale alle due cariche -inversamente proporzionale al quadrato di r LEGGE DI COULOMB F = ± K q 1 q 2 r r 2 r attrazione tra cariche opposte repulsione tra cariche uguali K = N m 2 /C 2 costante di Coulomb nel vuoto ANALOGIA CON LA FORZA GRAVITAZIONALE pag. 3

4 Forza coulombiana vs. forza gravitazionale Analogie tra forza coulombiana e forza gravitazionale: - diretta lungo la congiungente tra i due corpi - proporzionale alle due cariche / alle due masse - inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza Differenze tra forza coulombiana e forza gravitazionale: COULOMBIANA attrattiva o repulsiva GRAVITAZIONALE sempre attrattiva K = NC -2 m 2 molto grande G = NKg -2 m 2 molto piccola Es. Tra protone e elettrone nell atomo (r=10-10 m): F G = - G m p m e /r 2 = - ( ) ( ) ( )/(10-10 ) 2 N = (-27)+(-31)-(-20) N = N = N F C = K q p q e /r 2 = ( ) ( ) ( )/(10-10 ) 2 N = (-19)+(-19)-(-20) N = N = N La forza coulombiana è volte più grande di quella gravitazionale! pag. 4

5 Uguaglianza di cariche elementari + e - La materia è globalmente neutra: le forze elettriche non sono generalmente visibili a scale superiori rispetto a quella atomica, anche se molto più intense delle forze gravitazionali (es: nel moto dei corpi celesti conta solo l interazione gravitazionale). Esempio per assurdo: supponiamo q p = ( ) q e, con q p (q e ) = carica del protone (elettrone). Valutiamo la forza elettrica con cui si respingerebbero due palle di Fe di 1 kg a distanza R = 1 m. Massa atomica 26 Fe ~ 55. Massa molare ~ 55 g. N A = Numero di atomi in 1 kg di Fe = (1000/55) N A = Numero di p (e) in 1 kg di Fe: N = = Q sfera ( netta ) = N(q p -q e ) = C C F = k Q 2 /R 2 = NC -2 m 2 ( C) 2 1m N!!! (corrispondente alla forza-peso per una massa di ~ Kg!!!) pag. 5

6 Forza di Coulomb nella materia (cenni) Normalmente la forza di Coulomb si scrive nella forma F = 1 q 1 q 2 K = 1 costante di Coulomb 4πε 0 r 2 4πε 0 nel vuoto In generale: K = 1/(4π ε 0 ε r ) ε = ε 0 ε r = costante dielettrica assoluta del mezzo ε r = costante dielettrica relativa del mezzo (adimens.) ε r = 1 nel vuoto e nell aria > 1 nei materiali ( 80 nell acqua) Effetto dovuto alla polarizzazione delle molecole del mezzo indotta dalla presenza delle cariche. ε 0 = C 2 /Nm 2 ε 0 = costante dielettrica del vuoto - q 1 +F F + r - q 1 +F + F q 2 vuoto q 2 materia Nell acqua la forza è 80 volte più debole! pag. 6

7 Principio di sovrapposizione La forza che agisce su una carica (es: q 1 ) ad opera di altre cariche (es: q 2, q 3, q 4 ) è uguale alla somma vettoriale delle forze che le cariche eserciterebbero su di essa da sole. pag. 7

8 Campo elettrico: forza per unità di carica Tra due cariche q e Q poste a distanza r si esercita la forza: 1 4πε 0 ε r Q q r F = 2 Visione alternativa con cui studiare il fenomeno: la carica Q crea attorno a sé un campo elettrico. rˆ La regione di spazio attorno a una carica elettrica Q ( sorgente ) è sede di un campo di forza, il campo elettrico E: ogni altra carica q ( di prova ) che si trova in quella regione risente di una forza di attrazione/repulsione, dovuta alla presenza della carica sorgente Q, descritta dalla legge di Coulomb. Carica di prova unitaria positiva q = + 1 C E = F q N/C pag. 8

9 Campo elettrico: esempi Carica puntiforme Q: Q>0 linee di forza uscenti (F repulsiva su q) Q<0 linee di forza entranti (F attrattiva su q) Distribuzione di cariche: risultante vettoriale del contributo di ciascuna carica separatamente dalle altre (principio di sovrapposizione) +q E +Q E +q Q + P E pag. 9

10 Linee di Forza: campo elettrico di due cariche Linee di forza: in ogni punto la direzione della tangente alla linea di forza indica la direzione di E in quel punto, il verso di E è indicato sulla linea; il numero di linee che attraversano una superficie unitaria normale ad esse è proporzionale all intensità di E; le linee di forza escono dalle cariche positive ed entrano in quelle negative. pag. 10

11 Energia potenziale elettrostatica La forza coulombiana è conservativa (come gravitazione): il lavoro compiuto per spostare una carica q in un campo elettrico lungo una traiettoria chiusa è nullo. Il lavoro L AB (=-L BA ) per portare q da A a B dipende solo dalla posizione relativa di A e B e non dal cammino seguito. q r A Energia potenziale gravitazionale: lavoro della forza peso sollevando m da A a B L AB = U A -U B Se U A =0 ( terra ) U B = energia potenziale nel punto B Energia potenziale elettrostatica: lavoro della forza coulombiana spostando q da A a B L AB = U A -U B Se U A =0 ( terra ) U B = energia potenziale nel punto B Q A D B r B C pag. 11

12 Ricordiamo che per le forze conservative: Se una forza è conservativa si può definire una opportuna funzione scalare della posizione (U(x) = f(x) + k) detta energia potenziale, sempre definita a meno di una costante arbitraria, in modo che: L AB = U A U B = -ΔU Questo permette di ricavare una importante relazione funzionale tra F e U: F = -du/dx (caso 1-D) F = -(du/dx, du/dy, du/dz) (caso 3-D) A (3) (1) (2) B Nota l energia potenziale si ricava la forza e viceversa. Ad esempio per la forza di Coulomb: U(r) = kqq/r + cost. pag. 12

13 Potenziale elettrico: U per unità di carica Il lavoro compiuto contro la forza coulombiana (L = -L AB ) si ritrova sotto forma di energia potenziale immagazzinata dalla carica (o meglio dal sistema di cariche...) In ogni punto del campo elettrico si può definire un energia potenziale rispetto a un punto di riferimento arbitrario a energia potenziale nulla. Potenziale elettrico in un punto = energia potenziale di una carica unitaria positiva (q=+1 C) posta in quel punto potenziale elettrico = lavoro per portare la carica q da terra a P (nel punto P) carica trasportata q V = L/q V Volt = Joule/Coulomb V = J/C = (N m)/c E = N/C = V/m Cariche negative si muovono spontaneamente da V minore a V maggiore. Viceversa le cariche positive. pag. 13

14 Differenza di potenziale Poiché, come per il campo gravitazionale, il punto di riferimento del valore del potenziale (V=0) è arbitrario, non conta il valore assoluto del potenziale in ogni punto ma la differenza tra due valori di potenziale, che non cambia anche se cambia il valore di riferimento arbitrario. - V = V A -V B = lavoro (energia) necessario per spostare una carica di 1 Coulomb da A a B (fatto contro la forza di coulomb) diff.di potenziale (d.d.p.) o tensione elettrica fornita ad es. da: rete elettrica V = 220 V (alternata a 50 Hz) pila V = 1.5 V (stilo) pag. 14

15 ElettronVolt Volt = Joule/Coulomb Joule = Coulomb Volt Lavoro = Energia = Carica elettrica Potenziale elettrico Unità di misura pratica di energia su scala atomica: energia di 1 elettrone in una d.d.p. di 1 V elettronvolt (ev) = ( C) (1 V) = J e carica elettrone 1 ev = J 1 J = 1/( ) ev = ev pag. 15

16 Moto di una carica in un campo elettrostatico Una carica q di massa m e lasciata libera e in quiete nella posizione x = 0m in una regione di spazio in cui esiste un campo elettrostatico uniforme concorde e parallelo all asse x. Descriverne il moto. pag. 16

17 Carica puntiforme (nel vuoto) 1 4πε 0 Q r E = 2 rˆ N/C = V/m U = 1 4 πε 0 Qq r J V = 1 4πε 0 Q r J/C = V L( A B) = B A r r F ds = q B A r r E ds = Qq 4πε 0 1 ra 1 r B = U ( A) U ( B) = q [ V ( A) V ( B) ] pag. 17

18 Dipolo elettrico (cenni) d p = momento di dipolo elettrico r r p = qd r r p E r 3 E ext Se il dipolo elettrico si trova in un campo elettrico esterno, il campo esercita su di esso un momento torcente pxe ext. Il dipolo ha un energia potenziale associata all orientamento nel campo U = - p E ext pag. 18

19 Teorema di Gauss (1) Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie è proporzionale al numero di linee di forza che la attraversano. Φ = r r E A = ε Φ = Q q 0 int i int i La legge di Gauss mette in relazione il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa con la carica racchiusa dalla superficie stessa. Può essere considerata come una generalizzazione della legge di Coulomb. pag. 19

20 Teorema di Gauss (2) Il Teorema di Gauss è utile per il calcolo dei campi elettrici di distribuzioni di cariche con particolari simmetrie. Una volta individuato il tipo di simmetria si sceglie un opportuna superficie gaussiana attraverso cui calcolare il flusso del campo. Esempio: carica puntiforme simmetria sferica pag. 20

21 Teorema di Gauss (3) Esempio: piastre conduttrici A r A r d Condensatore r E = ±σ 2ε σ = densità superficiale di carica [C/m 2 ] 0 r σ E = ε 0 r V = E d = σ d ε 0 pag. 21

22 Superfici equipotenziali (cenni) Spostare una carica nel campo elettrico senza che sia richiesto un lavoro (pos. o neg.), ovvero muoverla lungo una superficie equipotenziale, implica: pag. 22

23 Conduttori (cenni) I conduttori sono sostanze attraverso cui le cariche si muovono liberamente (nei metalli, gli elettroni di conduzione). Un conduttore si può caricare: per contatto con un corpo carico (acquista la stessa carica) per induzione elettrostatica (acquista carica opposta) pag. 23

24 Proprietà dei conduttori (cenni) In condizioni di equilibrio elettrostatico (cariche a riposo): E = 0 V/m all interno di un conduttore posto in campo esterno schermo elettrostatico (conduttori cavi): gabbia di Faraday. Le cariche si distribuiscono sulla superficie esterna del conduttore (da legge di Gauss, altrimenti ci sarebbe E 0 V/m nel conduttore). Il conduttore ha potenziale costante (la sua superficie e equipotenziale). Le linee di forza del campo elettrico cadono perpendicolarmente sulla superficie del conduttore. E = σ/ε 0 in prossimità del conduttore Effetto delle punte pag. 24

25 Isolanti (cenni) Gli isolanti (o dielettrici) sono sostanze in cui le cariche non si possono muovere liberamente Se si avvicina ad un isolante una sbarretta carica, gli atomi vengono deformati e si produce eccesso di carica (di polarizzazione ) sulla superficie del corpo. pag. 25

26 Esercizi (I) Es (Gia) Quanto vale il modulo della forza di attrazione elettrostatica tra un nucleo di ferro (q = +26e) e il suo elettrone più interno che orbita a circa m? Es Esempi (Gia) Tre particelle, aventi carica Q1 = -8 µc, Q2 = +3 µc e Q3 = -4 µc, sono disposte su una retta. La carica 2 è posta tra le altre due ad una distanza di 0.3 m dalla 1 e di 0.2 m dalla 3. Calcolare il modulo della forza totale agente sulla particella 3 dovuta alle altre due. Es Esempi (Gia) Due cariche elettriche da -25 µc e +50 µc distano 10 cm. (a) Determinare l intensità e la direzione del campo elettrico nel punto P posto tra le due cariche lungo la congiungente a distanza di 2 cm dalla carica negativa. (b) Determinare l accelerazione iniziale (modulo e direzione) di un elettrone (m = Kg) posto a riposo nel punto P. Es (Gia) Calcolare l intensità del campo elettrico in un punto dello spazio in cui un protone (m = Kg) è sottoposto ad una accelerazione di 10 6 g. - Esercizi pag. 26

27 Esercizi (II) Es. 1 Quattro cariche uguali di C sono disposte ai quattro vertici di un quadrato di 10 cm di lato. (a) Calcolare modulo e direzione della forza agente su ciascuna carica. (b) Calcolare il campo elettrico e il potenziale nel centro del quadrato. (C) Come cambia il risultato se sui vertici ci sono alternativamente cariche di segno opposto? Es. 2 L atomo di idrogeno è costituito da un protone e un elettrone (m e = kg, m p = kg). Nello stato fondamentale l elettrone descrive un orbita circolare di raggio m attorno al protone. Calcolare l energia totale del sistema. Es. 3 Un elettrone si sposta tra due punti A e B sotto l azione di un campo elettrico. La velocità dell elettrone in A è nulla. La differenza di potenziale tra A e B è di 10 V. Calcolare la velocità dell elettrone in B. Es Esempi (Gia) Un elettrone nel tubo catodico di un televisore viene accelerato dalla sua posizione di riposo mediante una differenza di potenziale V ab = V. (a) Quanto vale la variazione di energia potenziale elettrica dell elettrone? (b) Quanto vale la velocità finale dell elettrone? (m = Kg). - Esercizi pag. 27

28 Esercizi (III) Es (Gia) Un elettrone si muove dal punto A al punto B per effetto di un campo elettrico. La sua energia cinetica aumenta di J. Determinare la differenza di potenziale tra i punti A e B e quale dei due è a potenziale maggiore. Es (Gia) Calcolare la differenza di potenziale necessaria per incrementare l energia cinetica di un nucleo di elio (particella α, Q = 2e) di 65 KeV. Es. 16-H (Gia) Un filo molto lungo è carico con densità lineare di carica Q/L uniforme. Determinare il campo elettrico in punti vicini al filo (esterni ad esso) e lontani dalle sue estremità. Es. 4 Dimostrare che il campo elettrico sulla superficie di un conduttore vale E = σ/ε o. Es (Gia) Il campo elettrico tra due lastre metalliche quadrate, di lato 1 m e distanti 3 cm, vale 130 N/C. Calcolare la carica presente su ciascuna lastra, supponendo le cariche uguali ed opposte e trascurando gli effetti di bordo. Es (Gia) Una sfera metallica piena di raggio 3 m ha carica µc. Quanto vale il campo elettrico a distanza (a) 0.15 m, (b) 2.9 m, (c) 3.1 m, (d) 6 m dal centro? (e) Come cambierebbero le risposte se il conduttore fosse, invece di una sfera piena, un guscio sferico sottile? - Esercizi pag. 28