CAPITOLO 3 LA LEGGE DI GAUSS

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1 CAPITOLO 3 LA LEGGE DI GAUSS

2 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Premessa TEOREMA DI GAUSS Formulazione equivalente alla legge di Coulomb Trae vantaggio dalle situazioni nelle quali vi è una SIMMETRIA nella distribuzione delle cariche Mette in relazione i campi elettrici su superfici chiuse (superfici gaussiane) e le cariche da esse racchiuse

3 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Flusso di un campo vettoriale Concetto di flusso ricavabile partendo dai FLUIDI: Si consideri un fluido in scorrimento Definizione di FLUSSO (attraverso una sezione del tubo): «quantità in volume o portata volumetrica del fluido stesso» Flusso MASSIMO: tubo ortogonale alla velocità (o alle linee di corrente) Flusso MINIMO (nullo): tubo parallelo alla velocità

4 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Flusso di un campo vettoriale Si consideri la superficie infinitesima dσ, posta in una regione in cui è definito un campo v Si calcoli il FLUSSO del campo v ATTRAVERSO la superficie dσ dφ v = v dσ = v u n dσ = v cos θ dσ = v n dσ dσ v θ u n v n Dove dσ = vettore superficie infinitesima Modulo: dσ = area della superficie infinitesima Direzione: u n (perpendicolare al piano della superficie stessa)

5 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Flusso di un campo vettoriale Estendendo ad una superficie finita Σ Suddivisa in tanti elementi infinitesimi dσ i Per ciascun elemento, si può calcolare il flusso infinitesimo: dφ v i = v i u i,n dσ i Sommando i contributi si ottiene un INTEGRALE DI SUPERFICIE v θ u n Φ v = න Σ v u n dσ

6 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Flusso di un campo vettoriale Estendendo ad una superficie CHIUSA v θ u n Φ v = ර Σ v u n dσ Per convenzione, u n si orienta verso l ESTERNO della superficie Se v è diretto verso l esterno contributi positivi (v u n > 0) FLUSSO «USCENTE» Se v è diretto verso l interno contributi negativi (v u n < 0) FLUSSO «ENTRANTE»

7 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Flusso del campo elettrostatico Il concetto introdotto si può definire per QUALUNQUE CAMPO VETTORIALE La parola «FLUSSO» deriva dalle applicazioni IDRODINAMICHE Flusso di materia attraverso una superficie Definizione di flusso di un campo vettoriale: CONCETTO MATEMATICO Nel caso del campo ELETTROSTATICO si considerano sempre superfici «GAUSSIANE», ovvero superfici chiuse

8 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A La legge di Gauss Relazione tra il flusso netto del campo elettrico attraverso una superficie chiusa con la carica racchiusa al suo interno Φ E = ර E u n dσ = 1 ε 0 q i i int Il flusso del campo elettrico E prodotto da un sistema di cariche q i attraverso una superficie chiusa Σ è uguale alla SOMMA ALGEBRICA di tutte le cariche (con segno) contenute ALL INTERNO della superficie, divisa per ε 0. Somma delle cariche negativa Flusso di E negativo Somma delle cariche positiva Flusso di E positivo

9 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A La legge di Gauss Nel caso di distribuzioni CONTINUE di carica: E θ Φ E = ර E u n dσ = 1 න ε 0 τ Integrale esteso al volume τ racchiuso dalla superficie Σ dq τ q u n FORMULAZIONE GENERALE della LEGGE DI GAUSS Φ E = ර E u n dσ = q ε 0 Unità di misura per il flusso del campo elettrostatico: [Φ] = Volt metro UNITÀ DI MISURA Vm

10 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Dimostrazione della legge di Gauss Si consideri la situazione di una carica puntiforme q che produce un campo elettrostatico E = q 4 π ε 0 r 2 u r u n θ E dσ Ci interessa calcolare il contributo del flusso infinitesimo dφ E attraverso una qualunque superficie orientata nello spazio dσ, posta a distanza r dalla carica θ: angolo fra la direzione normale della superficie u n e la direzione u r del campo elettrico E q

11 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Dimostrazione della legge di Gauss Occorre proiettare dσ (in blu) sul piano dσ 0 (in arancione) dσ 0 elemento infinitesimo di superficie perpendicolare a u r u r = versore di r, che descrive la distanza della carica q dal piano u r dσ u n θ dσ 0 E Si ottiene dunque: q dφ E = E u n dσ q = 4 π ε 0 r 2 u r u n dσ q = dσ cosθ 4 π ε 0 r2 = q dσ 0 4 π ε 0 r 2

12 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Dimostrazione della legge di Gauss Definizione di ANGOLO SOLIDO dω dσ 0 r 2 Corrisponde all estensione nello spazio del concetto di angolo piano Angolo piano: Angolo sotteso da ds rispetto a O è dato da dθ = ds r O

13 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Dimostrazione della legge di Gauss Angolo solido Misura della parte di spazio compresa entro un fascio di semirette uscenti da O Si consideri l area di un elemento di calotta sferica in coordinate polari dσ 0 = AB AD O dφ A D B C dσ 0 = r dθ r senθ dφ = r 2 senθ dθ dφ r Quindi: dω dσ 0 r 2 = senθ dθ dφ dω NON DIPENDE dal RAGGIO r O θ dθ OA = r O A = rsen θ

14 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Dimostrazione della legge di Gauss Per una superficie finita, l angolo solido è dato dall integrale: Ω = න senθ dθ dφ Integro separatamente in dφ e in dθ: π Ω = න 0 2π senθ dθ න dφ = 2 2π = 4π 0 Risultato valido per una superficie di qualsiasi forma che contenga O L angolo solido sotto cui un punto interno ad una superficie chiusa vede la superficie è sempre 4p, che è il valore massimo di Ω Unità di misura dell angolo solido: STERADIANTE

15 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Dimostrazione della legge di Gauss Ritornando all espressione del flusso del campo elettrico, si trova che: dφ E = q 4 π ε 0 dω Il flusso di una carica puntiforme dipende solo dall ANGOLO SOLIDO NON DIPENDE da superficie nè dalla distanza dalla carica! u n E dσ Tracciando delle semirette da q che definiscono un cono infinitesimo con vertice in q, il flusso di E è lo stesso per qualsiasi superficie il cui contorno si appoggi sulle superfici laterali del cono stesso r u n q dσ 0

16 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Dimostrazione della legge di Gauss Flusso attraverso una superficie FINITA u n E Φ E = න Σ E u n dσ = = q 4 π ε 0 න dω q 4 π ε 0 Ω Σ Ω = angolo solido sotto cui è visto il contorno della superficie Σ dalla carica q q Ω

17 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Dimostrazione della legge di Gauss Flusso attraverso una superficie CHIUSA Caso A: Carica INTERNA A E θ u n Φ E = q 4πε 0 ර dω = q ε 0 q Caso B: Carica ESTERNA dφ 1 E = E 1 u n dσ 1 = q 4πε 0 dω dφ 2 E = E 2 u n dσ 2 = q 4πε 0 dω dφ 1 E + dφ 2 E = 0 B dσ 2 E 2 dσ 1 u n u n E 1 Φ E = ර E u n dσ = 0 q

18 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Dimostrazione della legge di Gauss Estendendo al caso di più cariche puntiformi si ottiene: Φ E = 1 ε 0 int Somma estesa a tutte e sole le CARICHE INTERNE alla superficie Σ i q i Nel caso di distribuzioni CONTINUE di carica: Φ E = 1 න dq ε 0 τ Integrale esteso al volume τ racchiuso dalla superficie Σ Rappresenta la CARICA TOTALE CONTENUTA ALL INTERNO della superficie Σ

19 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Considerazioni e applicazioni della legge di Gauss CONSIDERAZIONI: 1. Il campo E è generato da TUTTE LE CARICHE, interne ed esterne alla superficie Σ 2. Il flusso del campo attraverso Σ dipende solo dalle cariche INTERNE 3. La dimostrazione della legge di Gauss si basa sul fatto che la dipendenza del campo elettrico E dalla distanza dalla carica va come 1 r 2 La legge di Gauss = formulazione alternativa della legge di Coulomb

20 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Considerazioni e applicazioni della legge di Gauss APPLICAZIONI: 1. Con la legge di Gauss è possibile determinare il campo E Nei casi di ELEVATO GRADO DI SIMMETRIA della distribuzione di carica (Es. sferica, cilindrica, pian) si individuano superfici chiuse nei cui punti il campo è parallelo o ortogonale alla superficie stessa 1. Campo PARALLELO alla superficie: E u n dσ = 0 contributo nullo 2. Campo PERPENDICOLARE alla superficie: E u n dσ = E dσ Φ E = E u n dσ = E dσ = E Σ = q ε 0 Nel caso della carica puntiforme si ricava E = q ε 0 Σ = q ε 0 4πr 2

21 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 3.1 Una carica q è distribuita con densità superficiale σ costante su una superficie sferica di raggio R. 1. Calcolare il campo elettrostatico e il potenziale nei punti all interno (per r < R) e all esterno (per r > R) della superficie. σ O R r P

22 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 3.2 Una carica q è distribuita con densità di carica volumetrica ρ uniforme nel volume di una sfera di raggio R. 1. Calcolare il campo elettrostatico e il potenziale nei punti all interno (per r < R) e all esterno (per r > R) della superficie. ρ O R r P

23 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Riepilogo campo elettrostatico Il campo elettrostatico può essere calcolato in 3 MODI DIFFERENTI: 1. Dalla definizione diretta Calcolo può implicare 3 integrali di volume 2. Come gradiente del potenziale elettrico Calcolo può implicare un integrale (per il calcolo del potenziale) ed un operazione di derivazione per ogni componente spaziale 3. Dal teorema di Gauss Calcolo più immediato, ma applicabile solo in condizioni di un elevato grado di simmetria del sistema

24 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 3.3 Calcolare il campo elettrostatico e il potenziale elettristatico generato da una carica distribuita con densità lineare λ su un filo indefinito.

25 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 3.4 Calcolare il campo elettrostatico e il potenziale elettrostatico generato da una carica distribuita con densità superficiale σ su una lamina isolante.

26 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 3.5 Si considerino due piani indefiniti paralleli, distanti tra loro d = 20 cm, carichi con densità uniformi σ 1 = σ = C/m 2 e σ 2 = σ/2. Determinare: 1. Il campo elettrico nello spazio compreso tra i due piani e nello spazio esterno ai piani; 2. Il potenziale in un punto a distanza x = 20 cm dall origine O (posta nel punto di mezzo tra i due piani), assumendo V O = 0.

27 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 3.6 Si consideri un guscio sferico di raggio interno a = 10 cm e raggio esterno b = 20 cm, caricato con densità uniforme ρ = 1 μc/m Determinare l andamento del campo elettrostatico in tutti I punti dello spazio, quindi per r < a, a < r < b e r > b, assumento nullo il potenziale all infinito. 2. Calcolare il valore del campo elettrostatico per r = b e per r = 15 cm. b ρ O a r

28 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 3.7 Si considerino due cariche q 1 = 2 μc, posta nell origine, e q 2 = 6 μc, posta ad una distanza di 3 m lungo l asse y, come in figura. Determinare: 1. Il potenziale elettrico totale nel punto P posto a 4 m lungo l asse x. 2. Il lavoro svolto dal campo per portare una carica di prova q 0 = 3 μc dall infinito al punto P.

29 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 3.8 Si consideri una distribuzione rettilinea di carica infinita che genera un campo di E = N/C ad una distanza di d = 2 m, come in figura. 1. Si calcoli la densità di carica lineare λ della distribuzione. E P λ d

30 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 3.9 Si consideri un cubo carico di lato L = 1. 4 m il cui centro sia posto nell origine del sistema di riferimento, che genera un campo che vale rispettivamente (a) E y = b y u y e (b) E x, y = a u x + c + by u y, con a = 4 N/C, b = 3 N/Cm e c = 6 N/C. Determinare: 1. Il flusso del campo elettrico attraverso le pareti del cubo nei due casi; 2. La carica racchiusa all interno del cubo per ciascuno dei due casi. z x y

31 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 3.10 Si considerino due lunghi cilindri coassiali carichi con raggi R 1 = 3 cm e R 2 = 6 cm. La densità di carica lineare è λ 1 = C/m sul cilindro interno e λ 2 = C/m su quello esterno. 1. Determinare il valore del campo elettrico ad una distanza radiale (a) r = 4 cm e (b) r = 8 cm dall asse centrale.

32 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 3.11 Una particella dotata di carica q e massa m si trova in prossimità di un piano orizzontale isolante carico con densità di carica uniforme σ in cui è praticato un foro circolare di raggio R e centro C. 1. Si calcoli l altezza h 0 rispetto a C del punto lungo l asse del foro in cui la particella è in equilibrio. q 2. Se la particella è inizialmente ferma lungo l asse ad un altezza h 0 2 rispetto a C, osservando che la particella attraversa il centro del foro, σ R C quale sarà la sua velocità? (q = 1 nc, m = 1 mg, σ = 1 μc m2, R = 1 m)

33 Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A Esercizio 3.12 Nel modello di Bohr dell atomo di Idrogeno, l elettrone compie un orbita circolare di raggio r = m attorno al protone. 1. Calcolare quanta energia è richiesta per ionizzare l atomo di idrogeno, cioè per rimuovere l elettrone dal nucleo in modo che la separazione sia effettivamente infinita.