Esame Scritto Fisica Generale T-B

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1 Esame Scritto Fisica Generale T-B (CdL Ingegneria Civile e Informatica [A-K]) Prof. M. Sioli IV Appello - 12/06/2013 Soluzioni Esercizi Ex. 1 Tre cariche puntiformi Q 1 = 2q, Q 2 = 4q e Q 3 = 6q (dove q = 1 nc) sono disposte nel piano xy su circonferenze di raggio R 1 = R, R 2 = 2R, R 3 = 3R (dove R = 1 cm), come mostrato in figura. a) Calcolare modulo, direzione e verso del campo elettrostatico nell origine O del sistema di riferimento. b) Data una carica puntiforme q di massa m = kg posta in quiete nel punto d = (0, 0, 5R) e lasciata libera di muoversi lungo l asse z, determinare la velocità che essa possiede mentre attraversa l origine O. Le tre cariche iniziano a ruotare in senso orario sulle orbite circolari con velocità lineari v 1 = 3v, v 2 = 2v, v 3 = v (v = 10 4 m/s). c) Calcolare il campo di induzione magnetica in O. y Q 2 R 3 Q 1 R 1 Q 3 x R 2 Fig. E.1 1

2 Sol. 1 a) Le cariche puntiformi generano un campo esprimibile come: E i = Q i 4πε 0 ri 2 ˆr i dove r i è il vettore posizione che va dalla carica i-esima al punto in cui si vuole calcolare il campo. Applicando il principio di sovrapposizione: E(O) = E 1 + E 2 + E 3 dove E 1, E 2 ed E 3 sono i campi elettrici generati in O separatamente dalle cariche Q 1, Q 2 e Q 3. Tenendo in considerazione i segni delle cariche elettriche: E 1 = + 2q 4πε 0 î R 2 E 2 = + q 4πε 0 ĵ R 2 E 2 = 2 q 3 Si ottiene il risultato: E(O) = 4πε 0 R 2 î q 4πε 0 R 2 (4 3 î + ĵ) Il modulo del campo elettrico risulta quindi: E = Ex 2 + Ey 2 = V/m Il vettore E forma con l asse x un angolo θ dato da: b) θ = arctan E y E x = 36.9 Si impone la conservazione dell energia totale, per cui U = K. La velocità che la particella possiede mentre passa per il punto O è dunque data da: U ini = U fin m v2 fin L energia potenziale della carica puntiforme, per il principio di sovrapposizione, è data dalla somma dei potenziali generati dalle cariche Q i moltiplicata per la carica in moto q: U ini = q (V 1 (d) + V 2 (d) + V 3 (d)) U fin = q (V 1 (O) + V 2 (O) + V 3 (O)) 2

3 Si ottiene: U ini = J U fin = J L energia potenziale che la carica possiede nel punto iniziale è minore dell energia potenziale nel punto finale: la carica puntiforme posta nel punto d non si muoverà verso l origine O. Infatti non esiste nessun valore reale di v fin tale che: c) 1 2 m v2 fin < 0 = La carica non attraversa l origine O Dalla I legge di Laplace si ricava il campo di induzione magnetica generato nell origine O da una carica puntiforme in rotazione in senso orario: B i (O) = µ 0 4π Q v i r i i ri 3 = µ 0 4π Q i dove r i è il vettore posizione che va dal punto in cui si vuole calcolare il campo alla carica i-esima. Il contributo al campo magnetico generato da ogni carica è: B 1 = µ 0 4π 6q v ˆk R B 2 2 = + µ 0 4π 2q v ˆk R B 2 3 = µ 0 2 4π 3 q v ˆk R 2 Pertanto, il campo in O risulta: v i ri 2 ˆk con modulo B = T. B(O) = 14 3 µ 0 4π q v R 2 ˆk Ex. 2 Una maglia è costituita da N = 10 generatori identici, ciascuno di f.e.m. E = 10 V e resistenza interna r (equivalente alla serie di un generatore ideale e di una resistenza r). Gli N generatori sono collegati in serie con verso concorde delle f.e.m. a) Calcolare la d.d.p. fra due punti A e B qualunque del circuito. Una seconda maglia è costituita dagli stessi N generatori disposti in serie, tutti con verso concorde tranne uno. b) Quanto vale la d.d.p. ai capi del generatore collegato in modo invertito rispetto a tutti gli altri? 3

4 Sol. 2 a) Si scrive l equazione del circuito sfruttando la legge delle maglie: E = ir = NE = N ir da cui si ricava la corrente che circola attraverso tutti i generatori: i = E r Si può notare che la corrente della maglia è la stessa che si avrebbe se si chiudesse un unico generatore in corto circuito su se stesso. Supponendo che tra A e B ci siano n < N generatori, si scrive la d.d.p. V A V B : V A V B + n E = n ir Andando a sostituire l espressione della corrente i, segue che la d.d.p. V A V B è nulla per qualsiasi punto A e B: b) V A V B = 0 In questo caso l equazione della maglia è E = (N 1) E E = N ir da cui (N 2) E i = N r Si scrive la d.d.p. V A V B ai capi del generatore invertito: da cui Ex. 3 V A V B E = ir = V A V B = (N 2) E (N 2) E r = N r N (2N 2) E N = 18 V Un solenoide toroidale, dotato di resistenza R = 6 Ω, è costituito da N = 1000 spire di raggio r = 1 mm. Il raggio medio del toroide è r tor = 10 cm. Un filo indefinito passa per il centro del toroide perpendicolarmente al piano che lo contiene. Nel filo circola una corrente i = kt, con k = 100 A/s. 4

5 a) Calcolare la f.e.m. indotta nel toroide; b) Calcolare esplicitamente il coefficiente di autoinduzione del solenoide; c) Determinare l andamento della corrente indotta in funzione del tempo. (Suggerimento: dato che r r tor, il campo magnetico all interno del toroide può essere considerato uniforme.) Sol. 3 a) Dalla I legge di Laplace si ricava il campo magnetico generato dal filo (legge di Biot-Savart): B filo ( r) = µ 0 i 2π r ûθ dove û θ è il versore tangente alle circonferenze centrate sul filo. Data la direzione del campo B, il suo flusso attraverso il solenoide è pari al flusso attraverso l area di una spira moltiplicato per il numero di spire: Φ( B filo ) = µ 0 i N π r 2 La f.e.m. indotta nel toroide è dunque: b) E = dφ dt = µ 0N π r 2 k = V Il coefficiente di autoinduzione, o induttanza, è definito come la costante di proporzionalità fra il flusso del campo magnetico e la corrente elettrica: Φ( B tor ) = L i tor dove B tor è il campo generato all interno del solenoide dalla corrente i tor che circola nelle spire: Si ricava dunque l induttanza: Φ( B tor ) = Nπr 2 B tor = µ 0N 2 πr 2 i tor L = Φ( B tor ) i tor = µ 0N 2 πr 2 = H 5

6 c) L equazione del circuito dato dall induttanza e dalla resistenza del toroide, alimentate dalla f.e.m. indotta, è: E L di tor dt = i tor R Risolvendo l equazione di maglia si ricava la corrente i tor, che ha un andamento esponenziale dovuto all autoinduzione nel solenoide: i tor (t) = E R (1 e t τ ) dove τ è la costante di tempo τ = L/R = s. 6