Esame Scritto Fisica Generale T-B

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1 Esame Scritto Fisica Generale T-B (CdL Ingegneria Civile e Informatica [A-K]) Prof. M. Sioli II Appello - 30/01/2013 Soluzioni Esercizi - Compito B Ex. 1 Due condensatori di capacità C 1 = 20 µf e C 2 = 2 µf sono connessi rispettivamente ad un generatore di f.e.m. E 1 = 40 V e ad un generatore di f.e.m. E 2 = 50 V; una volta caricati sono staccati dai generatori. Mantenendo il sistema isolato, lo spazio fra le armature di C 2 è completamente riempito con un dielettrico di costante dielettrica relativa ε r = 2. Successivamente il polo positivo di ciascun condensatore è connesso con il polo negativo dell altro tramite un filo di resistività trascurabile. Determinare le d.d.p. V 1f e V 2f e le cariche Q 1f e Q 2f sui condensatori dopo il collegamento incrociato. Sol. 1 I due condensatori sono inizialmente caricati e la d.d.p. tra le armature è pari alla forza elettromotrice del rispettivo generatore: V 1i = E 1 = 40 V V 2i = E 2 = 50 V da cui si ricavano le cariche depositate sulle armature: Q 1i = V 1i C 1 = C Q 2i = V 2i C 2 = C Dopo aver disconnesso ciascun condensatore dal rispettivo generatore, il condensatore C 2 è riempito completamente con un dielettrico mantenendo il sistema isolato. La carica depositata sulle armature di C 2 quindi non varia, mentre cambiano la capacità e la d.d.p. ai suoi capi. Dal punto di vista sperimentale, con l inserimento del dielettrico si osserva infatti un aumento della capacità ed la corrispondente diminuzione della d.d.p. tramite la relazione: C r = ε r C 0 = V r = V 0 ε r 1

2 La d.d.p. ai capi di C 2 diviene dunque V 2i = 50/2 = 25 V e la capacità risulta C 2 = 4 µf. Collegando i poli opposti dei condensatori, le cariche positive si combinano con le cariche negative. La carica totale su ogni ramo di collegamento si conserva e sarà pari alla somma algebrica delle cariche iniziali. Un ramo sarà quindi carico positivamente, mentre l altro sarà carico negativamente. La carica finale su ogni lato è in modulo: Q f = Q 1i Q 2i = C Per ricavare i valori finali della carica e della d.d.p. si applicano il principio di conservazione della carica e l uguaglianza delle d.d.p. dopo il collegamento incrociato. Per la conservazione della carica: mentre per l uguaglianza delle d.d.p.: Q 1f + Q 2f = Q f V 1f = Q 1f C 1 = V 2f = Q 2f C 2 Sostituendo e risolvendo si ottiene il risultato per le cariche finali: { C Q 1f = Q 1 f C 1 +C 2 = C C Q 2f = Q 2 f C 1 +C 2 = C e per la d.d.p. finale, uguale per i due condensatori: Ex. 2 V 1f = V 2f = Q 1f C 1 = Q f C 1 + C 2 = 29 V Quattro cariche puntiformi di uguale valore q = 200 nc, i cui segni sono indicati in figura, sono disposte ai vertici di un quadrato di lato a = 4 cm e costituiscono un sistema rigido di cariche. a) Calcolare l energia potenziale elettrostatica ed il momento di dipolo del sistema; b) calcolare il potenziale nel punto P = (0, 2a, 0) e determinare di quanto varia il calcolo se si ricorre all approssimazione di dipolo. 2

3 y -q -q +q +q x Sol. 2 a) L energia potenziale elettrostatica di un sistema di cariche corrisponde al lavoro compiuto per costruire il sistema stesso, portando le cariche dall infinito alla loro posizione finale. Seguendo il procedimento di costruzione, si può dimostrare che l energia potenziale di una determinata configurazione è espressa dalla formula: U E = 1 q i q j 2 4πε 0 r ij i,j i dove r ij è la distanza fra le cariche i e j. Il fattore 1/2 è necessario per non contare due volte i contributi al calcolo del lavoro. Dal calcolo risulta: U E = 2q2 4πε 0 a 2 = J Il momento di dipolo si calcola scomponendo sugli assi la definizione: p = i q i r i La componente x si annulla, la componente z è nulla, il momento di dipolo è dunque orientato lungo l asse y (verso negativo): p = 2qa ĵ = p = C m Il risultato si può dedurre anche osservando che il sistema è composto di due dipoli elementari uguali e paralleli, ciascuno con momento di dipolo p = qa diretto dalla carica negativa alla carica positiva, dunque con verso ĵ. b) Il potenziale nel punto P si calcola applicando il principio di sovrapposizione, tenendo in considerazione i segni delle cariche e l espressione del potenziale generato da una carica puntiforme: V (P ) = V 1 (P ) + V 2 (P ) + V 3 (P ) + V 4 (P ) = = 1 ( ) 2q 4πε 0 (a/2) 10 2q (a/2) = V 26 3

4 Ricorrendo all approssimazione di dipolo, il potenziale risulta: V (P ) 1 p r 4πε 0 r 3 = 1 2qa 4πε 0 (2a) 2 = V Ricorrendo all approssimazione di dipolo per il problema in questione, il calcolo del potenziale V (P ) ha una precisione del 4%. Ex. 3 Il circuito mostrato in figura è formato da un solenoide di lunghezza L = 5 cm, con N = 10 4 spire di raggio a = 3 mm, da un generatore di forza elettromotrice E = 100 V e da una resistenza variabile linearmente nel tempo R(t) = R 0 + R 1 t, con R 0 = 1 Ω e R 1 = 0.2 Ω/s. Una spira circolare di raggio b = 2 cm, dotata di resistenza r = 0.5 Ω, è posta attorno al solenoide (t = 0). Il piano sul quale giace la spira è ortogonale all asse del solenoide. Sapendo che il filo conduttore che parte dal polo positivo del generatore si avvolge in senso orario a formare il solenoide e trascurando l autoinduzione: a) determinare modulo, direzione e verso del campo magnetico nel solenoide; b) ricavare la f.e.m. indotta nella spira circolare e determinare il verso della corrente che la percorre; c) calcolare la carica totale che attraversa la spira circolare tra l istante di tempo t = 0 s e l istante t = 4 s. E r a y b R(t) x Sol. 3 a) La corrente i(t) = E/R(t), dato l avvolgimento del filo, circola in senso orario nelle spire del solenoide. Il verso del campo magnetico B sarà dunque il verso negativo dell asse y mostrato in figura. Trascurando effetti di bordo (L a), il campo magnetico B all interno del solenoide è uniforme: N B = µ 0 L i(t) ĵ = µ N E 0 L R 0 + R 1 t ĵ come si può verificare applicando la legge di circuitazione di Ampère. 4

5 b) La f.e.m. indotta nella spira circolare è generata dalla variazione nel tempo del flusso del campo B: E ind = dφ( B) Data la direzione del campo B ed essendo trascurabile il campo magnetico esterno al solenoide, il suo flusso attraverso la spira circolare è pari al flusso attraverso l area di una spira del solenoide: Φ( B) = µ 0 N L i π a2 avendo scelto il versore ˆn normale alla spira concorde con il versore ĵ. La f.e.m. indotta nella spira circolare risulta quindi: E ind = dφ( B) N E πa 2 R 1 = µ 0 L (R 0 + R 1 t) 2 La corrente circola in senso orario. c) La carica totale si ricava per integrazione dalla corrente i(t): i(t) = E ind r N E πa 2 R 1 = µ 0 L r(r 0 + R 1 t) 2 = dq La carica totale che attraversa la spira circolare tra i due istanti di tempo t 1 = 0 s e t 2 = 4 s risulta: Q = t2 4 4 µ 0 NE πa 2 R 1 dq = i(t) = t L r (R 0 + R 1 t) 2 = = µ 0 NE πa 2 [ ] 1 4 = C L r R 0 + R 1 t 0 5