FAM. Serie 34: Elettrodinamica IX. Esercizio 1 Legge di Faraday e legge di Lenz. C. Ferrari. Considera una spira come nella figura qui sotto

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Valentino Rocchi
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1 Serie 34: Elettrodinamica IX FAM C. Ferrari Esercizio 1 Legge di Faraday e legge di Lenz Considera una spira come nella figura qui sotto n C S 1. Disegna la corrente indotta nella spira se il campo magnetico cresce/decresce sulla superficie S sottesa dalla curva C. Giustifica la tua risposta. 2. Utilizzando la forma locale della seconda legge di Maxwell, ossia rot E = B, descrivi la densità di corrente indotta j dalla variazione di B nella spira supponendo che B n costante. Indicazione: Per un campo vettoriale V C 2 (R 3 ;R 3 ) per il quale V = N costante allora si ha N n = 1 S C Γ C ( V) e, se V = 0, V è un campo vettoriale le cui linee di campo sono dei cerchi come illustrato nella figura qui sotto 1 N = V V Utilizza pure la legge di Ohm E = r j. 1 Questo risultato può essere stabilito sfruttando la simmetria del problema e le coordinate cilindriche, infatti si ha E = (E r (r),e θ (r),e z (r)). 1

Utilizzando la forma locale della seconda legge di Maxwell, ossia rot E = B, descrivi la densità di corrente indotta j dalla variazione di B nella spira supponendo che B n costante.

2 3. Verifica che il campo elettrico indotto genera una corrente in accordo con la legge di Lenz. Esercizio 2 Alcune proprietà utili Dimostra che: 1. calcolando la divergenza sulla seconda equazione di Maxwell in forma locale si ottiene div B = cost. Concludi che l unica possibilità per la costante è di essere nulla e quindi la terza legge di Maxwell resta immutata nel caso dei fenomeni dipendenti dal tempo: div B = il flusso magnetico attraverso la superficie sottesa da una curva C è indipendente dalla superficie S C scelta. Indicazione: Utilizza che div B = 0 ed il teorema della divergenza. Esercizio 3 Induttanza Se una spira è percorsa da una corrente I, essa genera un campo B ed è quindi possibile calcolare il flusso magnetico attraverso la spira stessa. Il flusso magnetico, notato per semplicità Φ, è direttamente proporzionale alla corrente I: Φ = LI dove la costante di proporzionalità L è chiamata induttanza. Se abbiamo N spire l induttanza è definita da L = Φ tot I = NΦ 1 I Considera un solenoide, composto da N spire percorse da una corrente I, di lunghezza l sufficientemente grande in modo da poter considerare in campo magnetico al suo interno costante (vedi le serie precedenti per il valore), e di raggio r. Dimostra che L = µ 0 n 2 (πr 2 l) dove n = N/l è il numero di spire per unità di lunghezza. Osservazione: L induttanza è un elemento classico che si trova nei circuiti elettrici. In generale i possibili elementi sono: resistenza R, capacità C, induttanza L. Per più dettagli vedi: Halliday, Resnick, Walker, Fondamenti di fisica. Elettromagnetismo, Zanichelli.. 2

Concludi che l unica possibilità per la costante è di essere nulla e quindi la terza legge di Maxwell resta immutata nel caso dei fenomeni dipendenti dal tempo: div B = 0. 2.

3 Esercizio 4 Potenziali scalare e vettoriale Partendo dalle due leggi di Maxwell rot E = B e div B = 0 (= B = rot A) e supponendo i campi di classe C 2 (R 3 R;R 3 ), dimostra che possiamo esprime i campi E e B in termini dei potenziali scalare ϕ e vettoriale A come E = gradϕ A = rot A. Questa è l espressione generale dei campi in termini dei potenziali. Esercizio 5 Forza elettromotrice 1. Una piccola spira di area A è all interno di un lungo solenoide il cui asse coincide con quello della spira che conta n avvolgimenti per unità di lunghezza ed è percorso da una corrente I. Se I(t) = I 0 sin(ωt), determina la forza elettromotrice indotta nella spira. 2. Il flusso del campo magnetico attraverso la spira illustrata nell figura qui sotto aumenta secondo la seguente relazione Φ S ( B) = 6,0t 2 +7,0t dove t è espresso in secondi ed il flusso in 10 3 Tm 2 = 10 3 Wb (Wb è l unità di misura del flusso chiamata weber.) R (a) Determina l intnesità della forza elettromotrice indotta nella spira per t = 2,0s. (b) Qual è la direzione della corrente indotta attraverso la resistenza R? Se R = 8,5Ω quanto vale l intensità della corrente per t = 2,0s? 3

Una piccola spira di area A è all interno di un lungo solenoide il cui asse coincide con quello della spira che conta n avvolgimenti per unità di lunghezza ed è percorso da una corrente I.

4 Esercizio 6 Generatore di corrente alternata Si consideri una bobina rettangolare formata da N spire di lunghezza a e larghezza b, che viene fatta ruotare a frequenza ν in un campo magnetico uniforme B, come nella figura qui sotto. y b R z x a contatti striscianti 1. Dimostra che nella spira viene indotta una forza elettromotrice pari a dove ω = 2πν. E(t) = ωnabbsinωt = E 0 sinωt 2. Progetta una bobina che generi una forza elettromotrice di E 0 = 311V ruotando con una frequenza di 50giri/s in un campo magnetico uniforme di 0,50 T. 3. Disegna la funzione I(t) nella resistenza R, supponendo valida la legge di Ohm. 4. Calcola il valore detto RMS della corrente indotta, definito da 1 T I RMS = I T 2 (t) dt dove T è il periodo Verifica che il valore RMS di E è dato da E RMS = E 0 2. Esercizio 7 Campo elettrico indotto Considera un lungo solenoide di diametro 2R = 12,0 cm. Facendo scorrere nel solenoide una corrente I, al suo interno viene generato un campo magnetico uniforme di intensità B = 30,0 mt. Diminuendo I, il campo magnetico diminuisce alla velocità di 6,50 mt/s. 4

Progetta una bobina che generi una forza elettromotrice di E 0 = 311V ruotando con una frequenza di 50giri/s in un campo magnetico uniforme di 0,50 T. 3. Disegna la funzione I(t) nella resistenza R, supponendo valida la legge di Ohm.

5 1. Disegna le linee di forza del campo elettrico indotto. 2. Determina l intensità del campo elettrico indotto in funzione della distanza dall asse del solenoide (considera separatamente i casi r R e r > R). 3. Determina l intensità del campo elettrico indotto ad una distanza di 2,20 cm dall asse del solenoide. 4. Qual è il valore dell accelerazione istantanea a cui è sottoposto un protone immobile posto ad una distanza 2,20 cm? Esercizio 8 Correnti di Foucault Consideriamo una placca conduttrice che si muove in un campo magnetico omogeneo come illustrato nella figura qui sotto. 1. Spiega perché fino al momento in cui la placca non ècompletamente nel campo magnetico nel conduttore si inducono delle correnti indotte. 2. È necessario fornire energia alla placca per mantenere la velocità costante? Spiega. Osservazione: Queste correnti indotte nei conduttori sono chiamate correnti di Foucault o correnti parassite. 5

Determina l intensità del campo elettrico indotto ad una distanza di 2,20 cm dall asse del solenoide. 4.

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